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2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼
专题10 最短路径问题
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长
最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为 .
【答案】120°
【解析】考点有轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称
点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即
可得出答案：如图，作 A关于BC和ED的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC于M，交CD于N，则
A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″
＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。
2.在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．【答案】见解析。
【解析】先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线 l的交点M即为所
求的点．
如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′交直线l于点M.
(3)则点M即为所求的点．
3. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
【答案】见解析。
【解析】到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河
边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可
联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所
求．
(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以
A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．(2)如图
2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．
4. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位
置才能使从A地到B地的路程最短？【答案】见解析。
【解析】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN
最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即
为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．
(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．
(2)连接BC与河岸的一边交于点N.
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
则MN为所建的桥的位置．
5. 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘
子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计
一条行走路线，使其所走的总路程最短？
图a 图b
【答案】见解析。
【解析】如图b.
(1)作C点关于OA的对称点C ，作D点关于OB的对称点D ，(2)连接CD ，分别交OA，OB于P，Q，那么小
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明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
6. 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．
【答案】见解析。
【解析】此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于
点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．
如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所
求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l
对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－C
B.
7.如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加
油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另
一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.
【答案】见解析。
【解析】这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路
程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称
点P 、P ,连结PP 分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，
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那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.
分别做点P关于直线OA和OB的对称点P、P,
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连结PP 分别交OA、OB于C、D，
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则C、D就是建加油站的位置.
若取异于C、D两点的点，
则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.
