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2025-2026 学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇
编
专题 10 最短路径问题
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2024·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线
CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的
值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【完整解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，
连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
学科网（北京）股份有限公司∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故答案为：A．
【思路引导】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接
PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得
出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。
2．（2分）（2024•定海区期末）如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l∥l ．现要在这
1 2 1 2
条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最
短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
【思路引导】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸
且等于河宽，接连P′Q即可．
【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l，使PP′等于河宽，
2
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l 于点E，
1
则EF∥PP′且EF＝PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
3．（2分）（2024•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点
学科网（北京）股份有限公司E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数
为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
【思路引导】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与
AD交于点E′，连接BE′，可证得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由
“直角三角形两锐角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得结
论．
【完整解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点
F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司4．（2分）（2024·惠民月考）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点
P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（
）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【完整解答】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点
M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
学科网（北京）股份有限公司故答案为：D．
【思路引导】过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、
N，连接MP、NP，由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180°，
∠D+∠G+∠EPF＝180°，从而求出∠D+∠G＝=∠C=50°，有轴对称的性质可得∠G＝
∠GPN，∠D＝∠DPM，从而得出∠GPN+∠DPM＝50°，根据∠MPN＝∠DPG-
（∠GPN+∠DPM）即可求解.
5．（2分）（2024•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，
在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A． a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
【思路引导】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与
BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′
+∠A″），进而得出∠MAN的度数．
【完整解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″
与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司6．（2分）（2022•桥西区校级模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE为钝
角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点 M，N，当△AMN周长最小时，
∠MAN的度数为（ ）
A． B．α﹣90° C．2α﹣180° D．α﹣45°
【思路引导】作点A关于BC对称点A'，作点A关于DE对称点A''，则A''E＝AE，A'B＝
AB，连接 A'A''，分别交线段 BC 和线段 DE于点 M和点 N，连接 AM，AN，这时候
△AMN的周长取最小值．
【完整解答】解：作点A关于BC对称点A'，作点A关于DE对称点A''，则A''E＝AE，
A'B＝AB，
连接A'A''，分别交线段BC和线段DE于点M和点N，连接AM，AN，这时候△AMN的
周长取最小值．
∵∠B＝∠E＝90°，
∴A'M＝AM，
∴AN＝A''N，
∴∠AA'M＝∠A'AM，∠AA''N＝∠A''AN，
∴∠AMN＝2∠A'AM，∠ANM＝2∠A''AN，
∴∠MAN+∠MAB+∠NAE＝α，∠MAN+∠AMN+∠ANM＝180°，
∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN＝180°，
∴∠BAM+∠EAN＝180°﹣α，
∴∠MAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司7．（2分）（2024•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝
2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是
（ ）
A．5 B．6 C． D．
【思路引导】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对
称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式
即可得到结论．
【完整解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，
∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴∠ADB＝90°，
∵D为BC的中点，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，
∵S ＝ AB•CE＝ BC•AD，
ABC
∴6△.5•CE＝5×6，
∴CE＝ ，
∴PE+PB的最小值为 ，
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司8．（2分）（2024•新郑市期末）小颖的爸爸要在某条街道 l上修建一个奶站P，向居民区
A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引导】作A点关于直线l的对称点，连接对称点和点B交l于点P，进而根据轴对
称性质解答即可．
【完整解答】解：作A点关于直线l的对称点，连接对称点和点B交l于点P，P即为所
求；
故选：B．
9．（2分）（2024•中原区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条
中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路引导】如图连接 PB，只要证明 PB＝PC，即可推出 PC+PE＝PB+PE，由
PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【完整解答】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
学科网（北京）股份有限公司∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
∴CP+EP的最小值是6．
故选：B．
10．（2分）（2022•西城区校级开学）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝
4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF
△
的最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．
【思路引导】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则 EC+EF的最小值即
为点C到AB的垂线段长度．
【完整解答】解：在AB上取一点G，使AG＝AF，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴FE＝EG，
∴CE+EF＝CE+EG，
则最小值时CG垂直AB时，CG的长度，
CG＝ ．
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2024•临渭区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是
10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，在
线段ED上存在一点P，使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小，则△PBF周长的最
小值为 7 ．
【思路引导】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，
则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FB的长．
【完整解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴S ＝ ×BC×AF＝10，
ABC
∵B△C＝4，
∴AF＝5，
∴△PBF周长＝AF+FB＝5+2＝7，
∴△PBF周长的最小值为7，
故答案为：7．
12．（2分）（2024•宝安区期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD
平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是
△
BD上的动点，则BP+PQ的最小值为 8 ．
学科网（北京）股份有限公司【思路引导】过点 D 作 DH⊥AB 于 H，并延长 DH，先判断出△ADH≌△ADC
（AAS），再判断出∠BDE＝∠HDE，在DH上取一点Q'，时DQ'＝DQ，连接PQ'，
BQ'，进而判断出△QDP≌△Q'DP（SAS），得出PQ＝PQ'，即可判断出垂直于DH时，
BP+PQ最小，即可求出答案．
【完整解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，并延长DH，
∴∠AHD＝90°＝∠C，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAH＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△ADH≌△ADC（AAS），
∴∠ADH＝∠ADC，AH＝AC＝4，
∴BH＝AB﹣AC＝12﹣4＝8，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠BDE＝90°＝∠ADH+∠EDH，
∴∠BDE＝∠HDE，
在DH上取一点Q'，时DQ'＝DQ，连接PQ'，BQ'，
∵DP＝DP，
∴△QDP≌△Q'DP（SAS），
∴PQ＝PQ'，
∴BP+PQ＝BP+PQ'≥BQ'（假设点Q是定点，点B，P，Q'共线时，取最小BQ'），
∵点Q是动点，
∴当BQ'⊥DH时，即点Q'与点H重合，BP+PQ的最小值为BH＝8，
故答案为：8．
13．（2分）（2024•青岛期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，
点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 2 8 °时，
△PDQ的周长最小．
学科网（北京）股份有限公司【思路引导】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角
形的内角和及平角的定义求解．
【完整解答】解：
过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，
连接EF，则EF的长为△DPQ的最小值，
根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，
∴DQ＝FQ，PD＝PE，
∴DQ+DP+PQ＝FQ+QP+PE，
根据两点之间线段最短，所以EF的长是△DPQ的最小值，
此时有：∠FDQ＝ ∠DQP，∠MDP＝ ∠DPQ，
在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，
∴∠B＝50°，
∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，
∴∠QDP＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP
＝180°﹣40°﹣36°﹣ （∠DQP+∠DPQ）
＝104°﹣ （180﹣∠PDQ）
＝104°﹣90°+ ∠QDP，
解得：∠QDP＝28°．
故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小．
14．（2分）（2024•通川区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD
学科网（北京）股份有限公司＝DC，连接BD，△BCD的面积为 ，点E是边AB边上一动点，点P在线段BD上，连
接PA，PE，则PA+PE的最小值是 ．
【思路引导】根据已知条件得到BD垂直平分AC，得到点A与点C关于直线BD对称，
过C作CE⊥AB于E交BD于P，则此时，PA+PE的值最小，且PA+PE的最小值＝CE，
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【完整解答】解：连接AC，
∵AB＝BC＝4，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，
∴点A与点C关于直线BD对称，
过C作CE⊥AB于E交BD于P，
则此时，PA+PE的值最小，且PA+PE的最小值＝CE，
∵AD∥BC，
∴S ＝S ，
ABC BCD
△ △
∴ AB•CE＝ 4CE＝ ，
∴CE＝ ，
故答案为： ．
15．（2分）（2024•碑林区校级期末）如图，在等边△ABC中，BF是AC上中线，点D在
BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF的周长最小时，则
∠EAF＝ 30 ° ．
学科网（北京）股份有限公司【思路引导】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的
对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【完整解答】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∵AF＝CF，
∴FM⊥AC，
∴E′是等边三角形三条角平分线的交点，
∴∠E′AF＝30°，
即∠EAF＝30°．
故答案为：30°．
16．（2分）（2022•南京模拟）如图△ABC为等腰三角形，其中∠ABC＝∠BAC＝30°，以
AC 为底边作△ACD，其中∠ACD＝∠CAD＝30°，再以 AD 为底边作△ADE，其中
∠ADE＝∠DAE＝30°，△ADE两底角的角平分线交于点O，点P为直线AC上的动点，
已知|BP﹣DP|最大值为8．则DP+OP的值为 4 ．
学科网（北京）股份有限公司【思路引导】作D点关于AC的对称点D'，BD'与AC的交点P为点A，此时|BP﹣DP|的
值最大为BD'，即BD'＝8，连接CD'，证明△ODD'≌△OAD'（SSS），求出D'O＝D'A＝
4，即可求解．
【完整解答】解：作D点关于AC的对称点D'，
∵∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴D'在AB上，
∴BD'与AC的交点P为点A，
∴DP＝D'P，
此时|BP﹣DP|的值最大为BD'，
∵|BP﹣DP|最大值为8，
∴BD'＝8，
连接CD'，
∵∠CBA＝30°，∠ACD＝30°，∠ACD'＝∠DCA，
∴∠BCD'＝120°﹣30°＝90°，
∴AD＝AD'＝CD＝CD'＝BD'•sin30°＝4，
∵∠D'AD＝60°，
∴DD'＝4，
∵OA是∠DAE的角平分线，DO是∠ADE的角平分线，
∴∠OAD＝∠ODA＝15°，
∴D'AO＝75°，
∵DO＝OA，DD'＝AD'，
∴△ODD'≌△OAD'（SSS），
∴∠AOD'＝∠DOD'＝75°，
∴∠D'OA＝∠D'AO＝75°，
∴D'O＝D'A＝4，
∴DP+OP的值为4，
故答案为：4．
学科网（北京）股份有限公司17．（2分）（2024•卧龙区期末）如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，
点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若AB＝5，AC＝6，BC＝3，则△PBC周长的最
小值是 8 ．
【思路引导】找出C点关于a的对称点A，AB交a于P，则△PBC的周长最小，求出即
可．
【完整解答】解：设直线 a与AB交于P′，当点P与点P′重合时，PB+PC最小，即
△PBC的周长最小，
∵直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，
∴直线a是AC的垂直平分线，
∴P′C＝P′A，
∴△PBC的周长＝PC+PB+BC＝P′A+P′B+BC＝AB+BC＝5+3＝8，
∴△PBC周长的最小值是8，
故答案为：8．
18．（2分）（2021秋•西青区期末）如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝12．点M在BC
边上，且MC＝ BC，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB
上一动点．
（Ⅰ）线段MP+NP是否存在最小值？ 是 （用“是”或“否”填空）
（Ⅱ）如果线段MP+NP存在最小值，请直接写出BN的长；如果不存在，请说明理由．
【思路引导】作点M关于直线CD的对称点M'，过M作M'N⊥AB于N，交CD于P，此
学科网（北京）股份有限公司时，MP+PN的值最小．则CM'＝CM＝3，所以BM'＝BC+CM'＝12+3＝15，推出BN＝
BM'＝ ＝ ．
【完整解答】解：如图，作点M关于直线CD的对称点M'，过M作M'N⊥AB于N，交
CD于P，此时，MP+PN的值最小，
∵BC＝12，MC＝ BC＝3，
∴CM'＝CM＝3，
∴BM'＝BC+CM'＝12+3＝15，
∵∠B＝60°，∠BNM'＝90°，
∴∠M'＝30°，
∴BN＝ BM'＝ ＝ ．
故答案为：是．
19．（2分）（2024•抚州期末）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为160，点F是
BC边上的一个动点，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CD+DF的最
小值为 1 6 ．
【思路引导】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝
DC，推出DF+DC＝AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是
线段AF的长．
【完整解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．
学科网（北京）股份有限公司∵EG垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴DF+DC＝AD+DF，
∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，
∵ •BC•AH＝160，
∴AH＝16，
根据垂线段最短，
∴当AF＝AH时AF最小，
∴CD+DF的值最小为16．
故答案为：16．
20．（2分）（2024•霞浦县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，
∠ABP＝20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝ 50 °
．
【思路引导】当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．
【完整解答】解：∵BP为定长，
∴当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠ABP＝20°，
∴∠PBQ＝40°，
∴∠BPQ＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
学科网（北京）股份有限公司三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边
上的高，P是AB边上的一点，试在高AD上找一点E，使得△PEB的周长最短．
【思路引导】利用轴对称求最短路线作法得出答案．
【完整解答】解：①连接PC，交AD于点E．
②由等腰三角形对称的性质可知BE＝CE，故BE+PE＝PC，
③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为PC+PB．
22．（6分）（2024•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以
AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝
α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 α+β ＝
180° ；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 8
；
学科网（北京）股份有限公司（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 CE ＝ BC + CD ．
【思路引导】（1）①先证∠CAE＝∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等
∠ABD＝∠ACE，即可得出结论；
②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图 2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出
△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论；
②根据全等三角形的性质即可得到结论．
【完整解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，AD＝AE，
∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，
当AD⊥BC时，AD最短，
即四边形ADCE周长的值最小，
∵点A到直线BC的距离是3，
∴AD＝AE＝3，
学科网（北京）股份有限公司∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，
故答案为：8；
（2）①成立，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，
即α+β＝180°；
②∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．
23．（6分）（2021秋•潼南区校级期末）已知四边形ABCD，请在四边形ABCD内部找一
点O．
（1）使点O到点A、B、C、D的距离之和最小．保留作图痕迹，不写作法．（请用黑
色签字笔作图）
（2）这样作图的理由是 两边之和大于第三边 ．
学科网（北京）股份有限公司【思路引导】连接AC和BD交于点O，可得点O到点A，B，C，D的距离之和最小．
【完整解答】解：（1）连接AC、BD，交于点O，则点O为所求的点．
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．
（2）这样作图的理由是，两边之和大于第三边．
故答案为：两边之和大于第三边．
24．（8分）（2024•东港市月考）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，
在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
【思路引导】作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，分别交OA、OB于点
N、M，即M、N为所求．此时△PMN的周长最短．
【完整解答】解：如图．
作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，
分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．
此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，
即最小值为P'P''的长度．
学科网（北京）股份有限公司25．（9分）（2024•万州区期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，
（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一
动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；
（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当
MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．
【思路引导】（1）设∠O＝∠OMN＝α，由三角形外角可得∠MNB＝2α，再由
MD∥OB，可得∠AMD＝α，根据NE平分∠MNC，得到∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝
β，可求∠CNB＝2α﹣2β，∠MCN＝2α﹣2β，再由三角形内角和定理，得
∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，可得∠MEN＝α﹣β，进而得到2∠MEN＝∠MCN；
（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分
别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，
∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，所以∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣
∠OQN'），代入已知∠AOB＝20°，可得∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，所以∠OPM+∠OQN
＝200°．
【完整解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，
∴∠MNB＝2α，
∵MD∥OB，
∴∠AMD＝α，
∵NE平分∠MNC，
∴∠MNE＝∠ENC，
设∠MNE＝β，
∴∠CNB＝2α﹣2β，
学科网（北京）股份有限公司∵MD∥OB，
∴∠MCN＝2α﹣2β，
∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，
∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，
∴∠MEN＝α﹣β，
∴2∠MEN＝∠MCN；
（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分
别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，
∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，
由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，
∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），
∵∠AOB＝20°，
∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，
∴∠OPM+∠OQN＝200°．
26．（8分）（2024•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线
a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB
上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M
为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说
明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
【思路引导】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，
解答即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）当t＜m时，点P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；
（3）当t＞m时，点P在BE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论．
【完整解答】解：（1）在△PCD中，PC+PD＞CD，
当点P与E重合时，此时PC+PD＝CD最小，
∴AP＝AE，
∵BE：AE＝1：2，AB＝15cm，
∴AE＝ AB＝10cm，
∴t＝m＝ ＝10s．
故m＝10时，PC+PD值最小；
（2）如图，当t＜m即t＜10时，点P在AE上，过点P作PN∥a，
∵a∥b，
∴PN∥a∥b，
∴∠PCM＝∠CPN，∠PDA＝∠DPN，
∴∠PCM+∠PDA＝∠CPN+∠DPN，
∵∠CPD＝∠CPN+∠DPN，
∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD．
（3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH∥a，如图：
又∵a∥b，
∴PH∥a∥b，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即当12≥t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．
学科网（北京）股份有限公司当t＞12时，同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
综上所述，t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
27．（8分）（2020秋•天心区校级月考）如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形
沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点．
（1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE＝∠CBF；
（2）若M是DC上一点，且DM＝2，求DN+MN的最小值；
（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2）
（3）若点P在射线BC上，且NB＝NP，求证：NP⊥ND．
【思路引导】（1）用SAS证明△ADE≌△CBF，从而得出∠ADE＝∠CBF；
（2）由于D、B关于AC对称，所以当B、N、M在一直线上时，DN+MN最小．根据勾
股定理可求出BM的长度，从而得出DN+MN的最小值；
（3）当点P在射线BC上时，分三种情况进行讨论：①点P在线段BC上（P与B、C
不重合）；②点P与点C重合；③点P在BC延长线上．针对每一种情况，都证明
∠DNP＝90°，然后根据垂直的定义，得出NP⊥ND．
【完整解答】解：（1）证明：∵E、F为AC的三等分点，
∴AE＝ AC，CF＝ AC，∴AE＝CF．
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝∠BCA＝45°，
同理∠DAC＝45°，
∴∠BCA＝∠DAC．
∵△ADE≌△CBF，
∴CB＝AD，
∴在△ADE和△CBF中，
AE＝CF，∠DAE＝∠BCF，AD＝CB，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠ADE＝∠CBF．
（2）∵D、B关于AC对称，所以当B、N、M在一直线上时，DN+MN最小．（4分）
∵AB＝8，DM＝2，∴CM＝6．
在Rt MCB中，∠MCB＝90°，CM＝6，BC＝8，根据题中定理可求出BM＝10．
△
学科网（北京）股份有限公司∴DN+MN最小值为10．
（3）①当点P在线段BC上（P与B、C不重合）时，
∵NB＝NP，∴∠NBP＝∠NPB．
∵D、B关于AC对称，
∴∠NBP＝∠NDC，
∴∠NPB+∠NPC＝∠NDC+∠NPC＝180°
∴∠DNP＝360°﹣（∠BCD+∠NDC+∠NPC）＝90°
∴NP⊥ND．
②当点P与点C重合时，点N恰好在AC的中点处，
∵∠NDC＝∠NCD＝45°，∴∠DNC＝90°．
∴NP⊥ND．
③当点P在BC延长线上时，
∵NB＝NP，∴∠NBP＝∠NPB．
∴D、B关于AC对称，∠NBP＝∠NDC，
∴∠NPC＝∠NDC，
又∵∠DHN＝∠CHP，
∴∠DNP＝∠DCP＝90°，
∴NP⊥ND．
学科网（北京）股份有限公司28．（9分）（2020八上·椒江期中）如图
（1）（1分）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，
PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB PC（填“ ”“ ”或“=”）；
（2）（5分）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则
，请帮小明说明原因.
（3）（5分）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿
站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？
【答案】（1）=
△
（2）解：理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴ ；
（3）解：①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P、P，连接PP
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP 、AP ，
1 2
由对称的性质可得AP =AP=AP ，DP =DP，EP =EP，
1 2 1 2
∴PD+DE+PE= DP +DE+ EP = P P，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此
1 2 1 2
时PD+DE+PE最小，即PP 的长
1 2
即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；
②∵S =10，BC=5，
ABC
△
∴ BC·AP=10
解得：AP=4
由对称的性质可得AP =AP=AP =4，DP =DP，EP =EP，∠DAP =∠DAP，∠EAP =∠EAP
1 2 1 2 1 2
∴∠DAP ＋∠EAP =∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°
1 2
∴∠PAP =60°
1 2
∴△PAP 是等边三角形
1 2
∴PP= AP=4
1 2 1
即PD+DE+PE的最小值是4.
【完整解答】解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，
∴PB=PC
故答案为：=；
【思路引导】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；（2）过点D作DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结
论；（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P、P，连接PP
1 2 1 2
分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP 、AP 即可；②根据三角形的面积公式即可
1 2
求出AP，然后根据对称的性质可得AP =AP=AP =4，DP =DP，EP =EP，
1 2 1 2
∠DAP =∠DAP，∠EAP =∠EAP，从而证出△PAP 是等边三角形，即可得出结论.
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司
