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专题 11 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
考点一 同底数幂相乘 考点二 同底数幂乘法的逆用
考点三 幂的乘方运算 考点四 幂的乘方的逆用
考点五 幂的混合运算 考点六 积的乘方运算
考点七 积的乘方的逆用
考点一 同底数幂相乘
例题：（2022·河南平顶山·七年级期末）计算： ______．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则并熟练计算．
【变式训练】
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校七年级期中） =________________．
【答案】
【分析】根据同底数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题关键．
2．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学七年级期中）计算： ____________．
【答案】
【分析】根据同底数幂乘法来进行计算求解．
【详解】解： ．
答案为： ．
1【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，理解同底数幂相乘，底数不变，指点数相加是解答关
键．
3．（2022·山东·北辛中学七年级阶段练习） ＝_____．
【答案】
【分析】根据同底数幂乘法的计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，熟知同底数幂乘法底数不变，指数相加减是解题的关键．
考点二 同底数幂乘法的逆用
例题：（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）已知 ， ，则 =____
【答案】10
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算可得答案．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【变式训练】
1．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）已知 ， 的值是_______．
【答案】12
【分析】根据同底数幂相乘的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
2故答案为：12
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的逆运算，熟练掌握 （其中m，n为正整数）是解题
的关键．
2．（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）若 ， ，则 ______．
【答案】20
【分析】根据 （ ， 是正整数）可得 ，再代入 ， 计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，
指数相加．
考点三 幂的乘方运算
例题：（2022·湖南永州·七年级期中）计算 ______．
【答案】
【分析】根据幂的乘方法则求解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的运算法则，掌握幂的乘方法则是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）当 时，则 =_____
【答案】64
【分析】先将8改成 ，再用幂的乘方公式将 化为 ，最后将 代入计算即可；也可以利用
求出m，代入 计算．
【详解】解法一：∵ ，
∴ ．
3解法二：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：64．
【点睛】本题考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式是解题的关键．由于数字的特殊性导致m的值可求，
但解法一适用范围更广更需掌握．
2．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知2m＝8n＝4，则m＝_____，2m+3n＝_____．
【答案】 2 16
【分析】先求得m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；16．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
3．（2022·江西抚州·七年级期中）已知： ， ，则 ______．
【答案】15
【分析】利用同底数幂的乘法法则的逆运算及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
考点四 幂的乘方的逆用
例题：（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）已知 ， ，则 ＝
（ ）
A．24 B．36 C．48 D．12
【答案】D
【分析】利用幂的乘方的法则对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行运算
4即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是熟记相应的运算法则并灵活运用．
【变式训练】
1．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）已知 ， ，则 ＝（ ）
A．10 B．5 C．2 D．40
【答案】C
【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则可得 ，再根据幂的乘方运算法则求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方．掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．
【详解】解：∵ =962=3124， =3123， =3122，
∴a>b>c，
故选：A．
【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．
5考点五 幂的混合运算
例题：（2022·安徽阜阳·八年级期末）计算: ；
【答案】0
【分析】先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数除法，然后计算整式的减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方，再计算同底数除法，等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关
键．
【变式训练】
1．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）计算： ．
【答案】0
【分析】先根据幂的乘方计算，计算同底数幂，最后合并，即可求解．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键．
2．（2022·江苏·七年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可；
（3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．
(1)
解：
6；
(2)
解：
；
(3)
解：
．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
考点六 积的乘方运算
例题：（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）计算 的结果是（ ）
A．8x6 y2 B．4 x6 y2 C．4 x5 y2 D．8 x5 y2
【答案】B
【分析】根据幂的乘方、积的乘方进行运算即可．
【详解】解： ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
7【答案】D
【分析】根据积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
2．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故本选项不合题意；
B、 ，故本选项不合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
考点七 积的乘方的逆用
例题：（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级开学考试）计算：
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知n为正整数，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由积的乘方公式解题；
8（2）由积的乘方公式解得 ，再利用整体代入法解题．
(1)
解：
．
(2)
原式 ．
【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·江苏·南京钟英中学七年级阶段练习）若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．
利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果 ，求x的值；
（2）如果 ，求x的值；
（3）若 ， ，用含x的代数式表示y．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；
（2）利用积的乘方逆运算解答；
（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为 ， ，即可得到x与y的关系
式，由此得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
9∴ ，
解得 ；
（2）∵ ，
∴ ，
，
，
；
（3）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，
熟记法则及其逆运算是解题的关键．
2．（2020·吉林·长春市第十三中学校七年级期中）已知 ， ， ．
（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 ， ，…．应用上述等式，
求 的值．
【答案】（1）-32，-32；（2）1000000，1000000；（3） ；（4）-4
【分析】（1）分别将 ， ，代入题中计算即可；
10（2）分别将 ， 代入题中计算即可；
（3）根据（1）（2）中结论的规律解题；
（4）根据（3）中结论 ，即 将 转化成 ，再结合公式
解题即可．
【详解】（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3） （n为正整数）．
（4）
【点睛】本题考查积的乘方及其逆运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
一、选择题
1．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、 与 不是同类项，无法合并，故错误；
B、 ，故错误；
11C、 ，故错误；
D、 ，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则，理清指数
的变化是解题的关键．
2．（2022·江苏·沭阳县外国语实验学校七年级阶段练习）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将 化成 ，再根据积的乘方运算的逆运算直接求解即可．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握积的乘方运算的逆运算是解决问题的关键．
3．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）若 ，则m，n的值分别
为（ ）
A．15，9 B．5，3 C．12，6 D．3，5
【答案】B
【分析】根据积的乘方可得 ，从而得到 ，即可求解．
12【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故选：B
【点睛】本题考查了积的乘方的运用，关键是检查学生能否正确运用法则进行计算，题目比较好，但是一
道比较容易出错的题目．
4．（2022·四川达州·七年级期末）已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B．3 C．9 D．
【答案】A
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴
= ，
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂
的乘法法则是解决问题的关键．
二、填空题
5．（2022·陕西·西安爱知初级中学七年级期末）计算 的结果是______ ．
【答案】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
13【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方，正确掌握运算法则是解题关键．
6．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）若 ，则 __________________．
【答案】3
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
7．（2022·山东菏泽·七年级期中）已知： ， ，则 =_______．
【答案】 ##
【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算求解即可．
【详解】解：
=
=
= ．
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方，解题关键是熟练运用相关法则进行逆运算．
8．（2022·江苏宿迁·七年级期中）已知 ， ，则 ______．（用含a、b的代数式表示）
14【答案】
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．
【详解】解：∵12x=a，3x=b，
∴3x•4x=a，
∴b•4x=a，
∴4x= ，
∴48x=（12×4）x=12x•4x=a• = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
三、解答题
9．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）计算：
(1) (2) +
【答案】(1)2x4
(2)6a8
【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后合并同类项计算即可；
（2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，然后合并同类项计算即可．
（1）
解：原式
；
（2）
原式
．
【点睛】题目主要考查整式的加减运算，同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握运算法则是解
题关键．
10．（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)0；
15(2) ．
【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；
(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解．
(1)
解：原式=
；
(2)
解：原式=
．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相
应的计算法则是解题的关键．
11．（2022·全国·七年级）计算：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可；
（2）计算同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项即可．
【详解】解：（1） ，
= ，
= ，
= ；
（2） ，
，
．
16【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键．
12．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）先化简，再求值： ，
其中x＝2．
【答案】 ，32
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式可以化简题目中的式子，然后将x＝2代入化简
后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当x＝2时，原式 ．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，-37
【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则先计算乘方，然后算乘法，再算加法，结合绝对值和偶次幂的
非负性确定a和b的值，从而代入求值．
【详解】解：原式＝
∵ ，且 ， ，
∴ ，b−2＝0，
17解得： ，b＝2，
∴原式 ．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，掌握幂的乘方 ，积的乘方 运算
法则是解题关键．
14．（2022·山东济南·七年级期中）我们定义：三角形 ＝ab•ac，五角星 ＝
z•（xm•yn）；
(1)求 的值；
(2)若 ＝4，求 的值．
【答案】(1)27
(2)32
【分析】（1）直接根据新定义的公式，代入即可求解；
（2）由条件可得出算式 ，根据同底数幂的乘法得出 ，再根据题意得出所求的代数式是
，根据幂的乘方和积的乘方可得 ，即为 代入即可求出答案．
（1）
解：由题意可得，
＝31×32＝33＝27；
18（2）
解：∵ ＝4，
∴
∴ ，
∴
=
=
=
=
=
=2×
=2×16
=32．
【点睛】本题属于自定义题，考查了幂的运算法则的运用，解题的关键是正确识别自定义公式，和灵活运
用积的乘方法则．
15．（2022·江苏·滨海县振东初级中学七年级阶段练习）阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，
（ab）4＝a4b4…
(1)归纳得（ab）n＝ ；（abc）n＝ ；
(2)计算4100×0.25100＝ ；（ ）5×35×（ ）5＝ ；
(3)应用上述结论计算： 的值．
19【答案】(1) ，
(2)1，1
(3)﹣0.5
【分析】（1）根据已知等式，找出规律即可求解；
（2）利用积的乘方的逆运算求解；
（3）将原式变形为 ，再利用积的乘方的逆运算求解．
（1）
解：根据已知等式可归纳出 ， ，
故答案为： ， ；
（2）
解： ，
，
故答案为：1，1；
（3）
解：
．
【点睛】本题属于规律探究题，考查同底数幂乘法的逆运算，积的乘方以及其逆运算，熟练掌握运算法则
并正确计算是解题的关键．
16．（2022·江苏·南外雨花分校七年级阶段练习）算一算：
20(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)已知 ，求 的值；
(5)已知 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)128
(5)6
【分析】）（1）运用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式运算，再合并即可；
（2）运用幂的乘方和积的乘方公式运算即可；
（3）先确定符号，再用同底数幂乘法公式运算即可；
（4）逆用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式，再整体代入即可；
（5）将等式两边转化成同底数幂，再让指数相等得到一个一元一次方程，解之即可．
（1）
解：原式 ；
（2）
原式 ；
（3）
原式 ；
（4）
∵ ，
∴ ；
21（5）
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法公式，积的乘方公式，幂的乘方公式，灵活掌握这三个公式正逆用是解
题的关键．
2223
