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专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）
第一部分 典例精析
类型一 点的运动规律探究
（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，
如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10
个点的坐标为 ，第55个点的坐标为 ．
思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，
…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计
算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，
∴第10个点在第4列自下而上第4行，
n−1 n−1 1−n
所以奇数列的坐标为（n， ）（n， −1）…（n， ）；
2 2 2
n n n
偶数列的坐标为（n， ）（n， −1）…（n，1− ），
2 2 2
由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．
代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），
故答案为：（4，2），（10，5）．
总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，
还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1个单位长度的半圆O ，O ，O ，…
1 2 3
π
组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第
2
2022秒时，点P的坐标是 ．
思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．
π
解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷ =2（秒），
2
∵2022＝1011×2，
∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，
∴点P的坐标为（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解
题的关键．
3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点 O出发，按“向上→向右→向下→向
右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A ，第二次
1
移动到点A ，…，第n次移动到点A ，则点A 的坐标是（ ）
2 n 2021
A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）
思路引领：观察图形可知，A ，A ，…都在x轴上，求出OA ，OA ，…OA 的长度，然后写出坐标即
4 8 4 8 4n
可；根据以上规律写出点A 的坐标即可求出点A 的坐标，则A 点的坐标即可求出．
4n 2020 2021
解：由图可知，A ，A ，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，
4 8
∴OA ＝2，OA ＝4，…OA ＝2n，
4 8 4n
∴点A 的坐标为（2n，0），
4n
∴点A 的坐标为（1010，0），
2020∴A （1010，1），
2021
故选：B．
总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A 都在x轴上是解题的关键．
4n
（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律
4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1， 回形线与射线OA交于A ，A ，A ，…．若从O
1 2 3
点到A 点的回形线为第1圈（长为7），从A 点到A 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10
1 1 2
圈的长为 ．
B
A
A A A O
3 2 1
思路引领：如图，以点O为原心，建立平面直角坐标系，则A，A，A，…的坐标分别为（－1，0），
1 2 3
（－2，0），（－3，0），…，A 的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第
10
10圈的长．
解：观察图形发现：
第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；
第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n圈的长是2（2n-1+2n）+1=8n-1．
当n=10时，原式=80-1=79．
B
A
A A A O
3 2 1
故答案为79．
题眼直击：坐标表示图形，规律探究．
总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第
10圈．
5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P （﹣1，0），P （﹣1，﹣1），P
1 2 3（1，﹣1），P （1，1），P （﹣2，1），P （﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 的坐标为 ．
4 5 6 2022
思路引领：根据题意可得到规律，P （n，n），P （﹣n﹣1，n），P （﹣n﹣1，﹣n﹣1），P
4n 4n+1 4n+2 4n+3
（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．
解：根据题意可得到规律，P （﹣1，0），P （﹣1，﹣1），P （1，﹣1），P （1，1），P （﹣2，
1 2 3 4 5
1），P （﹣2，﹣2），P （2，﹣2），P （2，2），P （3，3），P （4，4），...，P （n，n），
6 7 8 12 16 4n
P （﹣n﹣1，n），P （﹣n﹣1，﹣n﹣1），P （n+1，﹣n﹣1），
4n+1 4n+2 4n+3
∵2022＝4×505+2，
∴P （﹣506，﹣506），
2022
故答案为：（﹣506，﹣506）．
总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．
类型二 图形变换的点的坐标规律探究
6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA B ，第二
1 1
次将三角形OA B 换成三角形OA B ，第三次将三角形OA B 换成三角形OA B ，……，若A（﹣3，
1 1 2 2 2 2 3 3
1），A （﹣3，2），A （﹣3，4），A （﹣3，8），点B（0，2），B （0，4），B （0，6），B
1 2 3 1 2 3
（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA B ，则A 的坐标是
2018 2018 2018
．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；
解：∵A （﹣3，2），A （﹣3，4），A （﹣3，8）；
1 2 3
∴A点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…
得出：A （﹣3，2n），
n
∴n＝2018时，
A （﹣3，22018），
2018
故答案为（﹣3，22018）
总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A，B点横纵坐标变化规律是解题关键．
7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA B 第二次将OA B 变换成三角形
1 1 1 1
OA B ，第三次将三角形 OA B 变换成三角形 OA B ，已知A(1，3)，A(2，3)，A(4，3)，A(8，3)，
2 2 2 2 3 3 1 2 3
B(2，0)，B (4，0)，B (8，0)，B (16，0)．
1 2 3
y
A A 1 A 2 A 3
O B B B B x
1 2 3
(1)求三角形OAB的面积；
(2)写出三角形OA B 的各个顶点的坐标；
4 4
(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA B 的面积与三角形OAB的面积的大小关系吗？
n n
解：(1)S ＝ ×2×3＝3；
三角形OAB
(2)根据图示知O的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A(2，3)，A(4，3)，A(8，3)，对于A，A…A 坐标找规律比较从而发现A 的横坐标为
1 2 3 1 2 n n
2n，而纵坐标都是3；
同理B ，B …B 也一样找规律，规律为B 的横坐标为2n＋1，纵坐标为0．
1 2 n n
由上规律可知：A 的坐标是(16，3)，B 的坐标是(32，0)；
4 4
综上所述，O(0，0)，A(16，3)，B (32，0)；
4 4
(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，
所以OB ＝2n＋1，
n
S ＝ ×2n＋1×3＝3×2n＝2nS ，即S ＝2nS
三角形OAnBn 三角形OAB 三角形AnBn 三角形OAB。
8．如图所示，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，1)，C(3，3)，D(1，3)．
(1)在同一直角坐标系中，将正方形向左平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标．
(2)将正方形向下平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标．
(3)在(1)(2)中，你发现各点的横、纵坐标发生了哪些变化？
y
3 D C
2
1 A B
x
–1 O 1 2 3
–1
思路引领：（1）让正方形ABCD的四个顶点分别向左平移2个单位，画出相应图形，根据各点所在象限
的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；
（2）让正方形ABCD的四个顶点分别向下平移2个单位，画出相应图形，根据各点所在象限的符号和距
坐标轴的距离可得各点的坐标；
（3）从上二题中可以看出正方形ABCD→正方形A′B′C′D′各点的横坐标都减去2，纵坐标不变；
正方形ABCD→正方形A″B″C″D″各点的纵坐标都减去2，横坐标不变．
解：(1)将正方形向左平移2个单位，也就是横坐标都减去2，纵坐标不变．如图1所示：
A(－1，1)，B(1，1)，C(1，3)，D(－1，3)．
(2)将正方形向下平移2个单位，也就是横坐标不变，纵坐标减去2．如图2所示．
A(1，－1)，B(3，－1)，C(3，1)，D(1，1)．y y
D 3 C 3
2 2
1 1 D C
A B
x x
–1 O 1 2 3 –1 O 1 2 3
–1
–1 A B
图1 图2
(3)在(1)中，各点的横坐标都减少了2，纵坐标未变；在(2)中，横坐标未变纵坐标都减少了2．
点睛：本题考查的是平移变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移中点的变化规
律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．第二部分 专题提优训练
一．试题（共6小题）
1．（2019春•马山县期中）如图，一个点在第一，四象限及x轴上运动，在第1次，它从原点运动到点
（1，﹣1），用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（1，﹣1）→（2，0）→（3，
1）→…，它每运动一次需要1秒，那么第2019秒时点所在的位置的坐标是 ．
思路引领：根据已知得出点的横坐标为：等于运动次数，纵坐标从﹣1，0，1，0依次循环，即可得出
答案．
解：∵（0，0）→（1，﹣1）→（2，0）→（3，1）→…，
第4秒时点所在位置的坐标是：（4，0），
∴第5次运动点的坐标为：（5，﹣1），
第6次运动点的坐标为：（6，0），
第7次运动点的坐标为：（7，1），
第8次运动点的坐标为：（8，0），
∴质点的横坐标为：等于运动次数，纵坐标从﹣1，0，1，0依次循环，
∴第2019秒时点所在位置的坐标是：横坐标为：2019，
∵2019÷4＝504…3，
纵坐标为：1，
∴第2019秒时点所在位置的坐标是：（2019，1）．
故答案为：（2019，1）．
总结提升：此题主要考查了数字变化规律以及坐标性质，根据已知得出质点坐标的变化规律是解题关键．
2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次
接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动
后，动点P的坐标是 ，经过第2020次运动后，动点P的坐标是 ．思路引领：分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∵1000＝4×250，
∴当第250循环结束时，点P位置在（1000，0），
∵2019＝4×504+3，
2020＝4×505，
∴当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2），运动四次到
点（2020，0），
故答案为（2019，2）；（2020，0）．
总结提升：本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
3．（2021春•新抚区期末）一只电子玩具在第一象限及x，y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），
然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，每次跳一个单位长度，
则第2021次跳到点 ．
思路引领：根据电子玩具运动的速度确定：（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）
次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，
6）是第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次，后退4次可得2021次所对应的坐标．
解：电子玩具运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第
8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，
到（0，6）第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次．2025﹣1﹣3＝2021，
故第2021次时电子玩具所在位置的坐标是（3，44）．
故答案为：（3，44）．
总结提升：此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺
序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
4．（2022秋•承德期中）如图，动点P从（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形OABC的
边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第1次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），
则第33次碰到长方形边上的点的坐标为（ ）
A．（7，4） B．（8，3） C．（5，0） D．（1，4）
思路引领：通过分析观察，总结出图形变化规律为每碰撞6次回到起始点，所以，33÷6＝5⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，
则第33次碰到长方形边上的点的坐标与第3次碰到长方形边上的点的坐标一样，即可求解．
解：观察图1可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），
第2次碰到长方形边上的点的坐标为（7，4），
第3次碰到长方形边上的点的坐标为（8，3），
第4次碰到长方形边上的点的坐标为（5，0）
，第5次碰到长方形边上的点的坐标为（1，4），
第6次碰到长方形边上的点的坐标为（0，3），
第7次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），
所以每碰撞6次回到起始点，
因为33÷6＝5⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，
所以第33次碰到长方形边上的点的坐标为（8，3）．
故选：B．
总结提升：本题考查了图形规律探究，掌握图形变化规律是关键．
5．（2014•惠安县二模）如图，直角坐标平面xoy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…，按这样的
运动规律，动点P第11次运动到点（ ， ）；第2014次运动到点（ ， ）．
思路引领：观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动 4个单位，用11
除以4，2014除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可．
解：∵11÷4＝2余3，
∴动点P第11次运动为第3个循环组的第3次运动，
横坐标2×4+3﹣1＝10，纵坐标为﹣2，
∴点的坐标为（10，﹣2）；
∵2014÷4＝503余2，
∴第2014次运动为第504循环组的第2次运动，
横坐标为503×4+2﹣1＝2013，纵坐标为0，
∴点的坐标为（2013，0）．
故答案为：（10，﹣2）；（2013，0）．
总结提升：本题是对点的坐标变化规律的考查，观察出每4次运动为一个循环组循环是解题的关键，也
是本题的难点．
6．（2021春•新疆期中）如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA B ，第二次将三
1 1
角形OA B 变换成三角形OA B ，第三次将三角形OA B 变换成三角形OA B ，…已知A（1，3），A
1 1 2 2 2 2 3 3 1
（2，3），A （4，3），A （8，3），B（2，0），B （4，0），B （8，0），B （16，0）．
2 3 1 2 3
（1）求三角形OAB的面积；
（2）求A 和B 的坐标；
5 5
（3）直接写出点A 与B 的坐标．
n n思路引领：（1）由点的坐标求出OB＝2，OB边上的高为3，即可得出答案；
（2）由题意得A 的横坐标是25＝32，纵坐标是3，B 的横坐标是25+1＝64，纵坐标是0，即可得出答案；
5 5
（3）由（2）得出A 的纵坐标为3，横坐标为2n，B 的纵坐标为0，横坐标为2n+1，即可得出答案．
n n
解：（1）∵A（1，3），B（2，0），
∴OB＝2，△OAB底边OB上的高为3，
1
∴S△OAB = ×2×3＝3；
2
（2）由题意得：A 的横坐标是24＝16，纵坐标是3，
4
B 的横坐标是24+1＝32，纵坐标是0，
4
A 的横坐标是25＝32，纵坐标是3，
5
B 的横坐标是25+1＝64，纵坐标是0，
5
∴A （32，3），B （64，0）；
5 5
（3）由（2）规律可知：A 的纵坐标为3，横坐标为2n，B 的纵坐标为0，横坐标为2n+1，
n n
∴A （2n，3），B （2n+1，0）．
n n
总结提升：本题考查了三角形面积的计算、坐标与图形的性质、规律性等知识；仔细观察图形中点的横
坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键．
