文档文本内容
第 02 讲 二次函数 的图像和性质
1. 会用描点法画出二次函数 （a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、
对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；
2. 掌握二次函数 （a≠0）的图像和性质，并解决简单的应用；
知识点 1 y=ax²的图像画法：
（1）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0
为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，
并注意变化趋势。
【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。
【解答】解：（1）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
（2）描点、连线：
．
二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图像是一条抛物线（2）关于y轴对
称（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，
当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象．【解答】解：列表得：
﹣2 ﹣1 0 1 2
﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4
y＝﹣x2
描点、连线可得图象为：
．
二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对
称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，
当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
总结： y=ax²的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 来说， 越大，抛物线的开口越小
y = ax²
知识点2：二次函数y=ax²的图像及性质的应用
二次函数y=ax²的图像关于y轴对称，因此图像左右两部分折叠可以重合，在比较二次函数大小时，我们可以根据图中点具有的对称性转变到同一变化区
域；根据图像中函数值高低去比较；对于不规则的图形面积，采用等面积割补
法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。
【题型1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
【典例1】抛物线 y=3x2 的对称轴是（ ）
A．直线 x=3 B．直线 x=−3 C．直线 x=0 D．直线 y=0
【变式1-1】（2022九上·定南期中）抛物线y=2x2的图象的对称轴是 ．
【变式1-2】抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是 ；对称轴是
【题型2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
【典例2】抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
【变式2-1】（2022九上·青秀月考）二次函数y=−x2的图象开口（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
【变式2-2】（2022九上·瑞安期中）已知抛物线y=ax2（a≠0）的开口向下，
则a的值可能为（ ）
1
A．-2 B． C．1 D．❑√2
4
.【典例3】（2021秋•武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么
a ，a ，a ，a 的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
1 2 3 4
【变式3-1】（2022九上·上思月考）在同一个平面直角坐标系中，二次函数
y =a x2，y =a x2，y =a x2的图象如图2所示，则a ，a ，a 的大小关系为
1 1 2 2 3 3 1 2 3．
【变式3-2】（秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a
1
a （填“＞”、“＝”或“＜”）．
2
【变式3-3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y
＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
【题型3 二次函数y=ax²图像性质】
【典例4】关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴 D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
【变式4-1】（2021九上·肥东期末）二次函数y=x2的图象经过的象限是
（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式4-2】（2022九上·河西期中）在抛物线y=x2上的点为（ ）
A．（1，0） B．（2，2） C．（-1，1） D．（0，
1）【变式4-3】（2022九上·萧山期中）对于y=−x2下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x=0
C．顶点为(0，0) D．y随x增大而减小
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
【典例5】（2022秋•津南区期末）抛物线y＝（x﹣2）2是由抛物线y＝x2平移
得到的，下列平移正确的是（ ）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
【变式5-1】（2022九上·密云期末）将抛物线y=x2向右平移一个单位，得到的
新抛物线的表达式是（ ）
A．y=(x+1) 2 B．y=(x−1) 2 C．y=x2+1 D．y=x2−1
【变式5-2】（2022九上·门头沟期末）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位长
度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A．y=(x+3) 2 B．y=(x−3) 2 C．y=x2+3 D．y=x2−3
【变式5-3】（2023九上·南宁期末）抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线
（ ）
A．y=(x+1) 2 B．y=(x−1) 2 C．y=x2+1 D．y=x2−1
【题型5 二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
【典例6】（2022九上·普陀期中）已知点A(x ，y )，B(x ，y )在抛物线
1 1 2 2
y=−x2上，如果x <x <0，那么y y ．（填“＞”、“＜”或
1 2 1 1
“＝”）
【变式6】若点A(−1,y )，B(2,y )在抛物线y=2x2上，则y ，y 的大小关系为：
1 2 1 2
y y （填“＞”，“=”或“＜”）．
1 2
【题型6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【典例7】（榆社县期末）在同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的
图象的大致位置可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式7-1】（2022九上·桐庐月考）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函
数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2021九上·鄂尔多斯期中）二次函数 y＝ax2 与一次函数
y＝ax+a 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【题型7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】
【典例8】（2020•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位
AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时 0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持
续多少小时才能到达拱桥顶？
【变式8-1】（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心
1 1
为原点建立平面直角坐标系，作出函数y= x2 与y=− x2 的图象，则阴影部分
3 3
的面积是 ．
【变式8-2】（2020九上·临江期末）如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且
AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝2 ❑√2 ，
则图中阴影部分的面积为1．（2023•宾阳县一模）抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得抛物线的解析式
是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
2．（2022•黑龙江）若二次函数 y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象
必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
3．（2023•延安一模）如图是四个二次函数的图象，则 a、b、c、d的大小关系
为（ ）
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
4．（2023•增城区一模）已知 A（0，y ），B（3，y ）为抛物线y＝（x﹣2）2
1 2
上的两点，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
1．若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它也经过（ ）
A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)
2．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0
3．二次函数 y=x2 ，当 −1≤x≤3 时，函数值y的取值范围是（ ）
A．1≤ y≤9 B．0≤ y≤9 C．0≤ y≤1 D．y≥0
4．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范
围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
5．若抛物线y=ax2经过点P(−❑√7,4)，则该抛物线一定还经过点（ ）
A．(4,−❑√7) B．(❑√7,4) C．(−4,❑√7) D．(−❑√7,−4)
6．二次函数 y＝ax2 与一次函数 y＝ax+a 在同一坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
7.（秋•龙岩期末）将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝（x+5）2，对
这一平移过程描述正确的是（ ）
A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度
1
8．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝
2
9.8），则s与t的函数图象大致是（ ）A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 y=2 ，与二次函数 y=x2 ，
y=ax2 分别交于A、B和C、D，若 CD=2AB ，则a为（ ）
1 1
A．4 B． C．2 D．
4 2
10.（2021秋•金安区校级月考）二次函数y＝2x2的图象开口方向是 ．
11．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若
抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是
．
12．二次函数y=x2的图象如图所示，点A 位于坐标原点，点A ，A ，A ，…，
0 1 2 3
A 在y轴的正半轴上，点B ，B ，B ，…，B 在二次函数y=x2位于第一象
2020 1 2 3 2020
限的图象上，△A B A ，△A B A ，…，△A B A 都是直角顶点在抛物
0 1 1 1 2 2 2019 2020 2020
线上的等腰直角三角形，则△A B A 的斜边长为 ．
2020 2021 2021
