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第 02 讲 二次根式的乘除【7 个必考点】
【人教版】
【知识点1 二次根式的乘法】..................................................................................................................................1
【必考点1 二次根式的乘法计算】..........................................................................................................................1
【知识点2 二次根式的除法】..................................................................................................................................6
【必考点2 二次根式的除法计算】..........................................................................................................................6
【必考点3 积、商的算术平方根的运用】.............................................................................................................9
【必考点4 二次根式的乘除混合运算】................................................................................................................11
【知识点3 最简二次根式】....................................................................................................................................14
【必考点5 最简二次根式的定义】.......................................................................................................................15
【必考点6 探究二次根式的规律题】...................................................................................................................17
【必考点7 分母有理化的计算】............................................................................................................................20
【知识点1 二次根式的乘法】
1.二次根式的乘法法则：
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即❑√a·❑√b=❑√ab，（a≥0，b≥0）.
2.二次根式的乘法法则的拓展：
（1）二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的运算，即❑√a·❑√b·❑√c=❑√abc，（a≥0，b≥0，
c≥0）.
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，
即m❑√a·n❑√b=mn❑√ab，（a≥0，b≥0）.
3.积的算术平方根：
积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即❑√ab=❑√a·❑√b，（a≥0，b≥0）.
【必考点1 二次根式的乘法计算】
【例1】计算
（1）❑√28•❑√7
√1
（2）❑ •❑√256
4
1
（3）❑√2• ❑√3•❑√6
3√1
（4）6❑√27x•❑ （x≥0，y＞0）
y
（5）5❑√ab•（4❑√a3b）（a≥0，b≥0）
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可；
（2）直接利用二次根式的性质化简求出即可；
（3）直接利用二次根式的性质化简求出即可；
（4）直接利用二次根式的性质化简求出即可；
（5）直接利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：（1）❑√28•❑√7=2❑√7×❑√7=14；
√1 1
（2）❑ •❑√256= ×16＝8；
4 2
1 1
（3）❑√2• ❑√3•❑√6= ×❑√6×6=2；
3 3
√1 ❑√y 18❑√3xy
（4）6❑√27x•❑ （x≥0，y＞0）＝18❑√3x× = ；
y y y
（5）5❑√ab•（4❑√a3b）（a≥0，b≥0）＝20a2b．
【例2】计算：
（1）❑√18a⋅❑√2a(a≥0)；
√1
（2）2❑√3×❑ ；
3
（3）❑√14×❑√35；
（4）2❑√5a⋅❑√10a(a≥0)；
2
（5）3a❑√12ab⋅(− ❑√6b)（a≥0；b≥0）．
3
【分析】（1）先进行二次根式的乘法，然后将所得二次根式化为最简即可．
（2）直接进行二次根式的乘法运算即可．
（3）先进行二次根式的乘法，然后将所得二次根式化为最简即可．
（4）先进行二次根式的乘法，然后将所得二次根式化为最简即可．
（5）先进行二次根式的乘法，然后将所得二次根式化为最简即可．
【解答】解：（1）原式=❑√36a2 =6a；√ 1
（2）原式＝2❑3× =2；
3
（3）原式=❑√2×7×7×5=7❑√10；
（4）原式＝2❑√50a2 =10a❑√2；
（5）原式＝﹣3a❑√72ab2 =−18ab❑√2a．
【变式1】化简下列各题：
（1）❑√252−242；
√ 25
（2）❑(−4)× ×(−169)；
9
7 2
（3）(− ❑√24)×(− ❑√6)；
4 7
√12x4
（4）6❑√3x2y3 ⋅3❑ ；
y
（5）❑√10x⋅❑√10−1xy；
√3 √ 2
（6）❑ ×(−❑2 )×❑√56．
4 3
【分析】（1）被开方数利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（2）被开方数利用乘法法则计算，开方即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘单项式法则及二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
（4）原式利用单项式乘单项式法则及二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
（5）原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
（6）原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=❑√(25+24)×(25−24)
=❑√49
＝7；
√ 25
（2）原式=❑4× ×169
9
√25
=❑√4×❑ ×❑√169
95
＝2× ×13
3
130
= ；
3
1
（3）原式= ❑√24×6
2
＝6；
（4）原式＝18❑√36x6 y2
＝108x3y；
（5）原式=❑√x2y
＝x❑√y；
√3 8
（6）原式=−❑ × ×56
4 3
＝﹣4❑√7．
【变式2】计算：
（1）❑√15×❑√5；
（2）3❑√7×2❑√14；
（3）3❑√2×5❑√14a2（a≥0）；
√4
（4）❑√5n•❑ mn（m≥0，n≥0）；
5
2
（5）4❑√48×(− ❑√0.5)×6❑√6；
3
√b
（6）a❑√ab•3❑ （a＞0，b≥0）．
a
【分析】根据二次根式的乘除法的法则和二次根式的性质化简计算即可．
【解答】解：（1）❑√15×❑√5=❑√15×5=5❑√3；
（2）3❑√7×2❑√14=3×2×❑√7×❑√14=42❑√2；
（3）3❑√2×5❑√14a2 =3×5×❑√2×2×7a2 =30❑√7a（a≥0）；
√4 √ 4
（4）❑√5n•❑ mn=❑5×n× ×mn=2n❑√m（m≥0，n≥0）；
5 52 2 √ 1
（5）4❑√48×(− ❑√0.5)×6❑√6=4×(− )×6×❑48× ×6=−16×4×3＝﹣192；
3 3 2
√b √ b
（6）a❑√ab•3❑ =3a×❑ab× =3a×b＝3ab（a＞0，b≥0）．
a a
【变式3】计算：
（1）−2❑√15×4❑√6；
1 √ 3
（2）−8❑√35×(− ❑1 )；
4 7
√ x
（3）6❑√27xy⋅❑ （x≥0，y＞0）；
y
（4）❑√18mn⋅❑√2m2n4（m≥0，n≥0）；
√3xy 5
（5）4❑ ⋅(− ❑√28x2y)（x≥0，y≥0）；
7 6
（6）❑√16ab⋅❑√a3−2a2b+ab2（a≥b＞0）．
【分析】（1）应用二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案；
（2）应用二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案；
（3）应用二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案；
（4）应用二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案；
（5）应用二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案；
（6）应用二次根式的乘法法则和完全平方式进行计算可得原式＝4a❑√b|a﹣b|，再根据已知条件a≥b＞
0，可得a﹣b≥0，再应用绝对值的化简方法进行化简即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣8❑√15×6
＝﹣8❑√90
＝﹣8❑√9×❑√10
＝﹣24❑√10；
√ 10
（2）原式＝2❑35×
7
＝2❑√50
＝2❑√25×2
＝10❑√2；
√ x
（3）原式＝6❑9×3×xy×
y＝18❑√3x2
＝18❑√3x；
（4）❑√18mn⋅❑√2m2n4原式=❑√18×2×mn×m2n4
=❑√36m3n5
＝6mn2❑√mn；
√3xy 5 5 √3xy
（5）4❑ ⋅(− ❑√28x2y)原式＝4×(− ）❑ ×28x2y
7 6 6 7
10
=− ❑√12x3y2
3
10
=− ×2xy❑√3x
3
20
=− xy❑√3x；
3
（6）❑√16ab⋅❑√a3−2a2b+ab2原式=❑√16ab⋅❑√a(a2−2ab+b2
)
＝4❑√a2b⋅❑√(a−b) 2
＝4a❑√b|a﹣b|；
∵a≥b＞0，
∴a﹣b≥0，
原式＝4a❑√b（a﹣b）＝（4a2﹣4ab）❑√b．
【知识点2 二次根式的除法】
1.二次根式的除法法则：
❑√a √a
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即 =❑ ，（a≥0，b＞0）.
❑√b b
2.二次根式的除法法则的拓展：
二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即❑√a÷❑√b÷❑√c=❑√a÷b÷c，
（a≥0，b＞0，c＞0）.
3.商的算术平方根：√a ❑√a
（1）商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即❑ = ，（a≥0，b＞0）.
b ❑√b
（2）分母有理化就是把分母中的根号化去的过程
方法:将分子和分母都乘一个恰当的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根号.
【必考点2 二次根式的除法计算】
【例1】计算：
❑√32
（1） ．
❑√2
（2）❑√1.6．
❑√7
（3） ．
❑√6a
❑√3a
（4） ．
❑√8a
√ 1 √ 2
（5）−❑4 ÷❑2 ．
2 3
1 √b 1 √ b
（6） ❑ ÷ ❑ ．
a a b a3
【分析】（1）先将二次根式化为最简，再进行二次根式的除法运算即可；
（2）先将小数化为分数，然后将二次根式化为最简即可；
（3）进行分母有理化的运算即可；
（4）直接进行二次根式的除法运算，然后将二次根式化为最简即可．
（5）将带分数化为假分数，然后进行二次根式的除法运算，继而化简二次根式可得出答案；
（6）直接进行二次根式的除法运算，将所得二次根式化为最简．
4❑√2
【解答】解：（1）原式= =4；
❑√2
√16 √8 2
（2）原式=❑ =❑ = ❑√10；
10 5 5
❑√7⋅❑√6a ❑√42a
（3）原式= = ；
❑√6a⋅❑√6a 6a
√3a √3 ❑√3 ❑√6
（4）原式=❑ =❑ = = ；
8a 8 2❑√2 4√9 3 3❑√3
（5）原式=−❑ × =− ；
2 8 4
b b
（6）原式=
❑√a2
= |a|．
a a
【例2】计算：
❑√412−402
（1）
❑√32 +42
100❑√x5y
（2）
0.5❑√x2y
√ 2 3 √ 3
（3）❑ ÷ ❑1
45 2 5
√a √b √1
（4）❑ （❑ ÷❑ ）．
b a b
【分析】（1）先进行平方差公式的运算，然后化简；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简；
（3）先进行二次根式的除法运算，然后进行化简；
（4）先进行二次根式的除法运算，然后进行化简．
❑√81×1 9
【解答】解：（1）原式= = ；
5 5
（2）原式＝200❑√x3 =200x❑√x；
2 √ 2 5 2 1 1
（3）原式= ❑ × = × = ；
3 45 8 3 6 9
√a b2
（4）原式=❑ × =❑√b．
b a
【变式1】计算：
❑√40
（1） ；
❑√10
√ 1 √ 1
（2）❑4 ÷❑2 ；
2 4
（3）6❑√72÷（﹣3❑√6）；
（4）❑√27a4÷❑√3a2（a＞0）；√x
（5）4❑√6x3÷2❑ （x＞0）．
3
【分析】（1）根据二次根式除法运算法则得出即可；
（2）利用二次根式除法运算法则进而化简得出即可；
（3）利用二次根式除法运算法则进而化简得出即可；
（4）利用二次根式除法运算法则进而化简得出即可；
（5）利用二次根式除法运算法则进而化简得出即可．
❑√40
【解答】解：（1） =❑√4=2；
❑√10
√ 1 √ 1 √9 4
（2）❑4 ÷❑2 =❑ × =❑√2；
2 4 2 9
（3）6❑√72÷（﹣3❑√6）＝6÷（﹣3）❑√72÷6=−4❑√3；
（4）❑√27a4÷❑√3a2（a＞0）=❑√9a2 =3a；
√x √ x
（5）4❑√6x3÷2❑ （x＞0）＝4÷2❑6x3÷ =2❑√18x2 =6❑√2x．
3 3
【变式2】计算：
（1）❑√6.5÷❑√0.5；
❑√3×❑√15
（2） ；
❑√5
√ 1 √ 2
（3）❑4 ÷（−❑2 ）；
2 3
2 √b
（4）− ❑√a3b÷❑ （a＞0，b＞0）．
3 a
【分析】（1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算；
（2）先逆用二次根式相乘法则，把❑√15写成❑√3×❑√5，进行约分即可；
（3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算；
（4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算．
【解答】解：（1）原式=❑√6.5÷0.5
=❑√13；
❑√3×❑√3×❑√5
（2）原式=
❑√5
=(❑√3) 2＝3；
√ 1 2
（3）原式=−❑4 ÷2
2 3
√9 3
=−❑ ×
2 8
√27
=−❑
16
3❑√3
=− ；
4
2 √ b
（4）原式=− ❑a3b÷
3 a
2 √ a
=− ❑a3b×
3 b
2
=− ❑√a4
3
2
=− a2 ．
3
【变式3】计算：
√ 1 √2
（1）❑ ÷❑
24 3
√ y
（2）❑√xy÷❑
x
√ 1 √ 2 √ 3
（3）❑1 ÷❑2 ×❑1
3 3 5
1 1 √3
（4）2❑√12÷ ❑√50× ❑ ．
2 2 4
【分析】原式各项利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
√ 1 2 √ 1 1
【解答】解：（1）原式=❑ ÷ =❑ = ；
24 3 16 8
√ y
（2）原式=❑ xy÷ =❑√x2 =|x|；
x
√4 8 8 √4 2❑√5
（3）原式=❑ ÷ × =❑ = ；
3 3 5 5 5
5 1 2 3❑√2 3❑√2
（4）原式＝4❑√3÷ ❑√2× ❑√3= × = ．
2 4 5 2 5【必考点3 积、商的算术平方根的运用】
【例1】（2024秋•顺义区校级期中）如果❑√x•❑√x−6=❑√x(x−6)，那么（ ）
A．x≥0 B．x≥6
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
【分析】根据二次根式的意义列出不等式组，求公共的解集．
{ x≥0 )
【解答】解：∵ ，
x−6≥0
∴x≥6，
故选：B．
√ x+1 ❑√x+1
【例2】（2023秋•沈丘县期末）若❑ = 成立，则x的值可以是（ ）
2−x ❑√2−x
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【分析】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围进而得出答案．
√ x+1 ❑√x+1
【解答】解：∵若❑ = 成立，
2−x ❑√2−x
{ x+1≥0 )
∴ ，
2−x＞0
解得：﹣1≤x＜2，
故x的值可以是0．
故选：B．
√ x ❑√x
【变式 1】（2024 秋•秦安县校级月考）若❑ = 在实数范围内成立，则 x 的取值范围是
x−4 ❑√x−4
（ ）
A．x≥0 B．x≥4 C．0≤x＜4 D．x＞4
√a ❑√a
【分析】根据❑ = (a≥0、b＞0)直接求解即可得到答案．
b ❑√b
√ x ❑√x
【解答】解：∵❑ = ，
x−4 ❑√x−4
∴x≥0，x﹣4＞0，
解得x＞4，故选：D．
【变式 2】（2024 春•招远市期末）若❑√(x−3)(4−x)=❑√x−3⋅❑√4−x成立，则 x 的取值范围是
（ ）
A．x＞3 B．x＜4 C．3≤x≤4 D．3＜x≤4
【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0且4﹣x≥0，
解得：3≤x≤4，
故选：C．
【变式3】（2024春•武威期中）能使❑√a(3−a)=❑√a⋅❑√3−a成立的所有整数a的和是 ．
【分析】由二次根式有意义的条件即可求出a取值范围，再求出所有整数的和即可．
【解答】解：∵❑√a(3−a)=❑√a⋅❑√3−a成立，
{ a≥0 )
∴ ，
3−a≥0
解得：0≤a≤3，
满足条件的所有整数为0，1，2，3，
∴它们的和为0+1+2+3＝6，
故答案为：6．
√x−5 ❑√x−5 √x2−4x+4
【变式4】（2024秋•淇滨区月考）已知❑ = ，且x为偶数，求(x+2)❑ 的值．
8−x ❑√8−x x2−4
{x−5≥0)
【分析】根据二次根式有意义的条件得到 ，解得5≤x＜8，则x＝6，再把原式化简得到原式
8−x＞0
=❑√x2−4，然后把x＝8代入计算即可．
【解答】解：由分式和二次根式有意义的条件得，
{x−5≥0)
，
8−x＞0
解得，5≤x＜8，
∵x为偶数，
∴x＝6，
√x2−4x+4 √ (x−2) 2
∴（x+2）❑ =（x+2）❑ =❑√(x−2)(x+2)，
x2−4 (x−2)(x+2)当x＝6时，原式=❑√4×8=4❑√2．
【必考点4 二次根式的乘除混合运算】
【例1】计算：
3 1 √ 2
（1） ❑√20×(− ❑√48)÷❑2 ；
2 3 3
❑√3a √ b √ 1
（2） ⋅(❑ ÷2❑ )．
2b 2a 3b
【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算．
3 1 √8
【解答】解：（1）原式=− ×2❑√5× ×4❑√3÷❑
2 3 3
3 1 √ 3
=− ×2× ×4×❑5×3×
2 3 8
√45
＝﹣4❑
8
3❑√10
＝﹣4×
4
＝﹣3❑√10；
❑√3a ❑√2ab 1
（2）原式= • • ❑√3b
2b 2a 2
❑√3a⋅2ab⋅3b
=
8ab
3ab⋅❑√2
=
8ab
3
= ❑√2．
8
【例2】计算题：
√ 1 3 √ 2
（1）9❑√45÷3❑2 × ❑2 ；
2 2 3
√b √9b2
（2）a2❑√ab•b❑ ÷❑ ．
a a
【分析】（1）先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．1 3 √ 2 8
【解答】解：（1）原式＝9× × ×❑45× ×
3 2 5 3
＝18❑√3；
√ b a
（2）原式＝a2•b•❑ab⋅ ⋅
a 9b2
a2b
= ❑√a．
3
【变式1】计算：
√ 1 √ 2
（1）❑2 ÷3❑√28×（−5❑2 ）；
2 7
（2）
5
❑√ab3×（−
2
❑√ab）÷
1
❑
√b
．
b 5 3 a
【分析】（1）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可；
（2）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可．
√ 1 √ 2
【解答】解：（1）❑2 ÷3❑√28×（−5❑2 ）
2 7
1 √5 1 √ 2
= ❑ × ×（−5❑2 ），
3 2 28 7
5 √5 1 16
=− ❑ × × ，
3 2 28 7
5 ❑√10
=− × ，
3 7
5❑√10
=− ；
21
（2）
5
❑√ab3×（−
2
❑√ab）÷
1
❑
√b
b 5 3 a
5 2 √ a
= ×（− ）×3❑ab3×ab× ，
b 5 b
6
=− ❑√a3b3 ，
b
＝﹣6a❑√ab．
【变式2】计算：
√ 2 1 √2 1
（1）3❑2 ÷ ❑ ×（− ❑√15）
3 2 5 8（2）
2
❑√ab5÷3❑
√b
•（−
3
❑√a3b）（a＞0）
b a 2
【分析】分别利用根号内和根号内的乘除，根号外和根号外的乘除，然后再开方化简．
1 1 √8 5 3 15
【解答】解：（1）原式＝[3÷ ×（− ）]❑ × ×15=− ×10=− ；
2 8 3 2 4 2
2 3 √ a 1
（2）原式＝[ ÷3×(− )]❑ab5 ⋅ ⋅a3b=− ×❑√a5b5 =−a2b❑√ab．
b 2 b b
【变式3】计算：
√ 1 √ 2
（1）❑2 ÷3❑√28×（﹣5❑2 ）
2 7
√ y 1 √ x
（2）5x❑√xy÷3❑ × ❑
x 3 y
（3）
2
❑√ab5•（−
3
❑√a3b）÷3❑
√b
．
b 2 a
【分析】（1）利用二次根式的乘除法法则求解即可；
（2）利用二次根式的乘除法法则求解即可；
（3）利用二次根式的乘除法法则求解即可．
√ 1 √ 2
【解答】解：（1）❑2 ÷3❑√28×（﹣5❑2 ）
2 7
❑√10 1 20❑√7
= × ×（− ）
2 6❑√7 7
5❑√10
=− ；
21
√ y 1 √ x
（2）5x❑√xy÷3❑ × ❑
x 3 y
3❑√xy ❑√xy
＝5x❑√xy÷ ×
x 3 y
x ❑√xy
＝5x❑√xy× ×
3❑√xy 3 y
5x2❑√xy
= ；
9 y
（3）
2
❑√ab5•（−
3
❑√a3b）÷3❑
√b
b 2 a2 3 1
=− × × ×❑√a❑ 5b❑ 5 =−a2b❑√ab．
b 2 3
【变式4】计算：
n √ n 1 √ n3 √ n
（1） ❑ •（− ❑ ）÷❑ （m＞0，n＞0）
m 2m2 m m3 2m3
√3m2−3n2 3 √m+n √ a2
（2）﹣3❑ ÷（ ❑ ）×❑ （a＞0）
2a2 2 a2 m−n
【分析】（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式乘、除法运算法则得出即可；
（2）首先化简二次根式，进而利用二次根式乘、除法运算法则得出即可．
n √ n 1 √ n3 √ n
【解答】解：（1） ❑ •（− ❑ ）÷❑ （m＞0，n＞0）
m 2m2 m m3 2m3
n ❑√2n 1 n❑√mn ❑√2m3
= × ×（− × ）×
m 2m m m2 ❑√n
n ❑√2n 1 n❑√mn m❑√2mn
= × ×（− × ）×
m 2m m m2 n
n
=− ×2mn❑√n
2m4
n2
=− ❑√n；
m3
√3m2−3n2 3 √m+n √ a2
（2）﹣3❑ ÷（ ❑ ）×❑ （a＞0）
2a2 2 a2 m−n
❑√6(m+n)(m−n) 2 a √ a2
＝﹣3× × × ×❑
2a 3 ❑√m+n m−n
=❑√6．
【知识点3 最简二次根式】
1.定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，这样的二次根式称为最简
二次根式.
2.化为最简二次根式的步骤：
(1)把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；(2)将被开方数中能开尽的因数(或因式)进行开方；
√a ❑√a
(3)利用商的算术平方根❑ = ，（a≥0，b＞0），使被开方数中不含分母；
b ❑√b
(4)分母有理化，化去分母中的根号；
(5)约分化简，整理成最简二次根式。
【必考点5 最简二次根式的定义】
√1
【例1】下列二次根式：❑√5，❑ ，❑√0.5a，−2❑√a2b，❑√x2 +y2中，是最简二次根式的有（ ）
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
√1
【解答】解：❑√5，❑ ，❑√0.5a，−2❑√a2b，❑√x2 +y2中是最简二次根式的有❑√5，❑√x2 +y2，
3
故选：A．
【例2】下列二次根式中，最简二次根式有（ ）个．
√ 2 ❑√a
❑√5ab；❑√a2−b2；❑√a2−2ab+b2；❑ ； ．
ab 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
❑√a
【解答】解：最简二次根式有❑√5ab，❑√a2−b2， ，共3个，
2
故选：C．
【变式1】把下列根式化成最简二次根式：
（1）❑√200
√3
（2）4❑
8
（3）2❑√4a3b2c(a＞0，b＞0)
（4）❑√16a3 +32a2 (a＞0)
【分析】根据最简二次根式的定义和最简二次根式必须满足两个条件进行化简计算即可．
【解答】解：（1）❑√200=10❑√2；
√ 6
（2）原式＝4×❑ =❑√6；
8×2（3）原式＝2×2ab❑√ac=4ab❑√ac；
（4）原式=❑√16a2 (a+2)=4a❑√a+2．
【变式2】把下列各式化成最简二次根式：
27 √132−122
（1） ❑ ；
5 27
abc √ c3
（2）− ❑ ．
2 2a4b
【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．
27 √25 27 5 √1 √1
【解答】解：（1）原式= ❑ = × ×❑ =9❑ =3❑√3；
5 27 5 3 3 3
abc c √ c c2
（2）当b，c同为正数时，原式=− × ×❑ =− ❑√2bc．
2 a2 2b 4a
abc c √ c c2
当b，c同为负数时，原式=− ×（− ）×❑ =− ❑√2bc．
2 a2 2b 4a
当c＝0时，原式＝0．
√1
【变式3】已知a、b是整数，如果❑ x2b−5是最简二次根式，求2√a5b+1的值，并求2√a5b+1的平方根．
a
【分析】根据最简二次根式的定义得出a＝1，2b﹣5＝1，进而求出答案．
√1
【解答】解：∵❑ x2b−5是最简二次根式，
a
∴a＝1，2b﹣5＝1，
解得：a＝1，b＝3，
∴2√a5b+1=❑√16=4，
∴2√a5b+1的平方根为±2．
【变式4】已知A＝5❑√2x+1，B＝3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求
❑√2y−x2的值．
【分析】根据最简二次根式的定义可得2x+1＝x+3，从而可得：x＝2，进而可得A＝5❑√5，B＝3❑√5，然
后求出C＝8❑√5=❑√320，从而可得10x+3y＝320，进而可得y＝100，然后把x，y的值代入式子中进行
计算，即可解答．【解答】解：∵A，B为最简二次根式，
∴2x+1＝x+3，
解得：x＝2，
∴A＝5❑√5，B＝3❑√5，
∵A+B＝C，
∴C＝A+B＝8❑√5=❑√320，
∵C=❑√10x+3 y，
∴10x+3y＝320，
∴20+3y＝320，
解得：y＝100，
∴❑√2y−x2 =❑√2×100−22 =❑√196=14，
∴❑√2y−x2的值为14．
【必考点6 探究二次根式的规律题】
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
【例1】有依次排列的一列式子：❑1+ + ，❑1+ + ，❑1+ + ，小明对前两个式子进行操作
12 22 22 32 32 42
时发现：
√ 1 1 1 1 √ 1 1 1 1 1
❑1+ + =1+ =1+1− ，❑1+ + =1+ =1+ − ，根据操作，小明得出来下面几个
12 22 1×2 2 22 32 2×3 2 3
结论：
√ 1 1 1 1 1
①❑1+ + =1+ =1+ − ；
32 42 3×4 3 4
√ 1 1 1 1 1
②对第n个式子进行操作可得❑1+ + =1+ =1+ − ；
n2 (n+1) 2 n(n+1) n n+1
109
③前10个式子之和为 ；
10
4
④如果前n个式子之和为n+ ，那么n＝4；
5
小明得出的结论中正确的有（ ）A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【分析】通过阅读题中给出的操作方法，总结出规律即可．
【解答】解：根据规律可知①②都正确；
1 1 1 1 1 1 1 120
前10个式子之和为1+1− +1+ − +1+ − +⋯⋯+1+ − = ，故③错误；
2 2 3 3 4 10 11 11
1 1 1 1 1 1 1 1 4
如果前n个式子之和为1+1− +1+ − +1+ − +⋯⋯1+ − =n+1− =n+ ，
2 2 3 3 4 n n+1 n+1 5
则n＝4，故④正确；
故选：D．
√ 1 √1 √ 2 √2 √ 3 √ 3
【 例 2 】 小 明 做 数 学 题 时 ， 发 现 ❑1− =❑ ； ❑2− =2×❑ ； ❑3− =3×❑ ；
2 2 5 5 10 10
√ 4 √ 4 √ 8 √8
❑4− =4×❑ ；…；按此规律，若❑a− =a⋅❑ （a，b为正整数），则a+b＝ ．
17 17 b b
√ n √ n
【分析】找出一系列等式的规律为❑n− =n❑ （n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的
n2 +1 n2 +1
值，即可求得a+b的值．
√ n √ n
【解答】解：根据题中的规律得：❑n− =n❑ （n≥1的正整数），
n2 +1 n2 +1
√ 8 √8
∵❑a− =a•❑ ，
b b
∴a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
√ 2 √8 √22×2 √2
【变式1】先来看一个有趣的现象：❑2 =❑ =❑ =2❑ ，这里根号里的因数2经过适当的演变，
3 3 3 3
2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：
√ 3 √3 √ 4 √ 4
❑3 =3❑ ，❑4 =4❑ 等等．
8 8 15 15
（1）①请你写一个有“穿墙”现象的数；
√ 8 √8
②按此规律，若❑a =a❑ （a，b为正整数），则a+b的值为 ．
b b（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律；
√ 5
【分析】（1）①答案不唯一可以举例说明❑5 ．
24
②判断出a，b的值，可得结论；
（2）通过观察例子中数据的特点即可得出规律，再仿照例子即可证明．
√ 5 √ 5
【解答】解：（1）①❑5 =5❑ ；
24 24
②由题意a＝8，b＝63，
∴a+b＝8+63＝71．
故答案为：71；
√ n √ n
（2）结论：❑n+ =n•❑ ．
n2−1 n2−1
√ n √n3−n+n √ n
理由：❑n+ =❑ =n❑ ．
n2−1 n2−1 n2−1
【变式2】（1）比较下列算式的结果的大小（填“＞”“＜”或“＝”）．
4+5 2❑√4×5
1 √ 1
8+ 2❑8×
2 2
5+5 2❑√5×5
（2）通过观察归纳，用含字母a，b的式子表示（1）中的规律，并证明．
【分析】把根号外面的数移到根号里面去，然后判断数的大小．
【解答】解：∵2❑√4×5=2❑√20=❑√4×20=❑√80，而8＜❑√80＜9，
∴8＜2❑√4×5＜9，
∴4+5＞2❑√4×5；
√ 1
∵2❑8× =2❑√4=4，
2
1 √ 1
∴8+ ＞2❑8× ；
2 2
∵5❑√5×5=5×5＝25，
∴5+5＝25，
∴5+5＝5❑√5×5；
故答案为：＞，＞，＝．（2）规律：a+b≥2❑√ab，证明如下：
∵（❑√a−❑√b）2≥0，
∴a﹣2❑√ab+b≥0，
即a+b≥2❑√ab．
【变式3】观察下列计算，完成后面的问题：
√1 1 1 √2 √1 1 √ 1 √ 2 1 √2
❑ − = ❑ 验证：❑ − =❑ =❑ = ❑ ；
2 3 2 3 2 3 2×3 22×3 2 3
√1 1 1 1 √3 √1 1 1 √ 1 √ 2 1 √3
❑ ( − )= ❑ 验证：❑ ( − )=❑ =❑ = ❑ ；
2 3 4 3 8 2 3 4 2×3×4 2×32×4 3 8
√1 1 1 √1 1 1 √ 1 √ 4 1 √ 4
❑ ( − )验证：❑ ( − )=❑ =❑ = ❑ ；
3 4 5 3 4 5 3×4×5 3×42×5 4 15
√1 1 1
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想❑ ( − )的变形结果并进行验证；
4 5 6
（2）针对上述各式反映的规律，请用含n（n≥1的自然数）的等式表示出来．
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质❑√a2 =a（a≥0），把根号
内的移到根号外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分
√1 1 1 1 √ n
子、分母之间的关系可得：❑ ( − )= ❑ ．
n n+1 n+2 n+1 n(n+2)
√1 1 1 1 √ 5
【解答】解：（1）❑ ( − )= ❑
4 5 6 5 24
√1 1 1 √ 1 √ 5 1 √ 5
验证：❑ ( − )=❑ =❑ = ❑ ；
4 5 6 4×5×6 4×52×6 5 24
√1 1 1 1 √ n+1
（2）❑ ( − )= ❑ ．
n n+1 n+2 n+1 n(n+2)
√1 1 1 √ 1 1 √ n+1
验证：❑ ( − )=❑ = ❑ ．
n n+1 n+2 n(n+1)(n+2) n+1 n(n+2)【变式4】计算下列各式，将结果填在横线上．
10×10＝ ；13×13＝ ；16×16＝ ；
9×11＝ ；12×14＝ ；15×17＝ ．
你发现了什么？ ．
请根据上述规律完成计算：
❑√2009×2011+1= ；
❑√(n−1)(n+1)+1= ．（n为正整数）
【分析】首先根据已知数据直接计算进行填空即可；利用前面所求得出数字变化规律进而得出发现的规
律．
【解答】解：10×10＝100；13×13＝169；16×16＝256；
9×11＝99；12×14＝168；15×17＝255．
发现规律：n2＝（n﹣1）（n+1）+1．
❑√2009×2011+1
=❑√(2010−1)×(2010+1)+1
=❑√20102
＝2010；
❑√(n−1)(n+1)+1=❑√n2 =n．
故答案为：100；169；256；99；168；255；n2＝（n﹣1）（n+1）+1；2010；n．
【必考点7 分母有理化的计算】
【例1】分母有理化：
5
（1） = ；
❑√5
2
（2） = ；
1+❑√3
x2−1
（3） = ．
❑√x−1
【分析】根据分母有理化的方法，分子，分母同乘有理化因式，逐一进行计算即可．
5
【解答】解：（1） =❑√5；
❑√5
故答案为：❑√5；2 2(❑√3−1)
（2） = =❑√3−1；
1+❑√3 (1+❑√3)(❑√3−1)
故答案为：❑√3−1；
x2−1 (x+1)(x−1)❑√x−1
（3） = =(x+1)❑√x−1；
❑√x−1 ❑√x−1⋅❑√x−1
故答案为：(x+1)❑√x−1．
1
【例2】分母有理化： = ．
2❑√3−3❑√2
【分析】将分数的分母和分子同时乘2❑√3+3❑√2，再利用平方差公式计算即可．
1
【解答】解：
2❑√3−3❑√2
2❑√3+3❑√2
=
(2❑√3−3❑√2)(2❑√3+3❑√2)
2❑√3+3❑√2
=
12−18
❑√3 ❑√2
=− − ．
3 2
❑√3 ❑√2
故答案为：− − ．
3 2
【例3】分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式
中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
1 1×(❑√2−1)
= =❑√2−1，观察此算式规律回答问题，
1+❑√2 (❑√2+1)(❑√2−1)
2024
已知m= ，则m2﹣2m﹣2024的值是 ．
❑√2025−1
【分析】先将m进行化简，再将要求的式子变形为（m﹣1）2﹣2025，然后代入计算即可．
【 解 答 】 解 ：
2024 2024×(❑√2025+1) 2024×(❑√2025+1) 2024×(❑√2025+1)
m= = = = =❑√2025+1
❑√2025−1 (❑√2025−1)×(❑√2025−1) 2025−1 2024
，
∴m2﹣2m﹣2024＝m2﹣2m+1﹣1﹣2024
＝（m﹣1）2﹣2025
=(❑√2025+1−1) 2−2025
=(❑√2025) 2−2025
＝2025﹣2025
＝0，
故答案为：0．
1 1
【变式1】已知：x= ，y= ，求代数式（x+2）（y+2）的值．
❑√5+❑√3 ❑√5−❑√3
【分析】先分母有理化，再代入根据平方差公式和简便计算求值即可．
1 ❑√5−❑√3 1 ❑√5+❑√3
【解答】解：x= = ，y= = ，
❑√5+❑√3 2 ❑√5−❑√3 2
∴（x+2）（y+2）
＝xy+2（x+y）+4
1
= +2❑√5+4
2
1
＝4 +2❑√5
2
【变式2】阅读下列材料，然后回答问题．
【思维启迪】
2
【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
简： = = =❑√3−1．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2−12
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
【材料2】∵❑√4＜❑√5＜❑√9，即2＜❑√5＜3，
∴1＜❑√5−1＜2．
∴❑√5−1的整数部分为1．
∴❑√5−1的小数部分为❑√5−2．
【学以致用】2
（1）化简 ；
❑√5+❑√3
1
（2）已知 的整数部分为a，小数部分为b，
2−❑√3
①求a、b的值．
②求a2+b2的值．
【分析】（1）根据分母有理化进行化简即可；
（2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定a，b的值，进而求出a2+b2的值即可．
2(❑√5−❑√3)
【解答】解：（1）原式= =❑√5−❑√3；
(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
1 2+❑√3 2+❑√3
（2）① = = =2+❑√3，
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3) 4−3
∵❑√1＜❑√3＜❑√4，
∴1＜❑√3＜2，
∴3＜2+❑√3＜4，
∴a＝3，b=2+❑√3−3=❑√3−1；
②∵a＝3，b=❑√3−1，
∴a2 +b2 =32 +(❑√3−1) 2 =9+3−2❑√3+1=13−2❑√3．
【变式3】阅读材料，然后解答下列问题：
3 2
在进行代数式化简与计算时，我们会碰到形如 ， ，❑√4−2❑√3，❑√3−❑√5这样的式子，其实
❑√3 ❑√3−1
我们可以将其进一步化简与计算：
3 3×❑√3
解： = =❑√3；
❑√3 ❑√3×❑√3
2 2(❑√3+1) 2(❑√3+1)
= = =❑√3+1；
❑√3−1 (❑√3−1)×(❑√3+1) 2
❑√4−2❑√3=❑√3−2❑√3+1= ❑√ (❑√3) 2 −2❑√3+12 = ❑√ (❑√3−1) 2 =❑√3−1；
√2(3−❑√5) √6−2❑√5 √ (❑√5) 2 −2❑√5+12 √ (❑√5−1) 2
❑√3−❑√5=❑ =❑ = ❑ = ❑
2 2 2 2❑√5−1 ❑√10−❑√2
= = ．
❑√2 2
学会解决问题：
2
（1）化简 ；
❑√5−❑√3
（2）计算二次根式❑√5+2❑√6的值；
2
（3）比较大小： 与❑√5+2❑√6；
❑√5−❑√3
1 1 1 1
（4）计算： + + +⋯+ 的值．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2023+❑√2021
【分析】（1）根据分母有理化的计算方法，将分子、分母同时乘以(❑√5+❑√3)即可求解；
（2）将5拆成3+2，根据3=(❑√3) 2 ，2=(❑√2) 2，再根据完全平方公式变形计算即可求解；
（3）根据（1）、（2）中的计算结果，无理数的估算方法进行计算即可求解；
（4）运用分母有理化的方法化简，再根据二次根式的加减混合运算即可求解．
2 2(❑√5+❑√3)
【解答】解：（1） =
❑√5−❑√3 (❑√5−❑√3)(❑√5+❑√3)
2(❑√5+❑√3)
=
2
=❑√5+❑√3；
（2）❑√5+2❑√6=❑√3+2❑√6+2
= ❑√ (❑√3+❑√2) 2
=❑√3+❑√2；
（3）由（1）、（2）可知，❑√5+❑√3＞❑√3+❑√2，
2
∴
＞❑√5+2❑√6；
❑√5−❑√3
1
（4）原式= (❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2023−❑√2021)
2
1
= (❑√2023−1)
2
❑√2023−1
= ．
21 1×(❑√5−❑√4) ❑√5−❑√4
【变式4】阅读下列解题过程： = = =❑√5−❑√4=❑√5−2；
❑√5+❑√4 (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4) (❑√5) 2−(❑√4) 2
2 2×(❑√6+❑√5) 2❑√6+2❑√5
= = =2❑√6+2❑√5；
❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5) (❑√6) 2−(❑√5) 2
请解答下列问题：
3
（1）观察上面解题过程，计算 ；
❑√10−❑√7
1
（2）请直接写出 的结果．（n≥1）
❑√n+❑√n−1
1 1 1 1 1
（3）利用上面的解法，请化简： + + +⋯+ + ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
【分析】（1）观察上面解题过程，得出原式的结果即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式利用各种分母有理化，计算即可得到结果．
3(❑√10+❑√7)
【解答】解：（1）原式= =❑√10+❑√7；
(❑√10−❑√7)(❑√10+❑√7)
1
（2）归纳总结得： =❑√n−❑√n−1（n≥1）；
❑√n+❑√n−1
（3）原式110﹣1＝9．
