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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 12 中心对称图形
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·东光期中）如图， 与 关于O成中心对称，下列结论中不一
定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：∵对应点的连线被对称中心平分，
∴ ， ，
即B、D符合题意，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即 ，
∴C符合题意，
故答案为：A．
【思路引导】先求出 ， ，再求出 ，最后判断即可。
2．（2分）（2020九上·东城期末）在平面直角坐标系 中， 与 关于原点
成中心对称的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【完整解答】解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'B'C'关于（- ，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；
【思路引导】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．（2分）（2021九上·西安期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．中心对称图形 B．对边分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】D
【完整解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故答案为：D.
【思路引导】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案.
4．（2分）（2020九上·福州月考）如图， 是一个中心对称图形的一部分，O点是对称中心，点A和点B是一对对应点， ，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【完整解答】解：如图，
∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，
∴AC′=BC，BC′=AC，
∴四边形ACBC′是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形ACBC′是矩形．
故答案为：A．
【思路引导】根据中心对称的性质得出AC′=BC，BC′=AC，利用两组对边分别相等可证四边形ACBC′是平
行四边形，由∠C=90°，可证平行四边形ACBC′是矩形．
5．（2分）（2017九上·平桥期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的
坐标为（a，b），则点A'的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1）
C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）
【答案】D
【完整解答】如图，把AA′向上平移1个单位得A的对应点A 坐标为（a，b+1）．
1
因A、A 关于原点对称，所以A′对应点A（﹣a，﹣b﹣1），∴A′（﹣a，﹣b﹣2）．
1 2 2
故答案为：D．
【思路引导】把AA′向上平移1个单位，根据平移的性质及点的坐标的平移规律得A的对应点A 坐标，根
1
据关于坐标原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由A 的坐标即可得出A 的坐标，再
1 2
根据点的坐标的平移规律得A 的对应点A'坐标.
2
6．（2分）（2022八下·漳州期末）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的
引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌，观察发现，图2中的图案可以由
图3中的图案经过对称、旋转等变换得到.下列关于图2和图3的说法中，不正确的是（ ）
A．图2中的图案是轴对称图形
B．图2中的图案是中心对称图形
C．图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合
D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案
【答案】D
【完整解答】解：如图，图2中的图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故A、B正确；
这3条对称轴将图2平均分成了六份，其中每份所占的圆心角的度数为
图2中的图案绕对称轴的交点旋转60°，可以与自身重合，故C正确；
将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，不能设计出图2中的图案，故D错误.
故答案为：D.
【思路引导】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图
形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，据此可判断A、B；根
据图2可知图形被平分成6份，利用360°除以6可得旋转的度数，据此判断C；若每次旋转120°，则旋
转三次可绕城一周，据此判断D.
7．（2分）（2022·和平模拟）下列，图形中，是轴对称而不是中心对称图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】A
【完整解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：A．
【思路引导】弄清轴对称图形和中心对称图形区别与联系是关键。
8．（2分）（2022八下·漳浦期中）下列命题不正确的是 （ ）
A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B．两边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.
D．中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.
【答案】C
【完整解答】解：A、一个锐角和一条边分别相等再加上两个直角是相等角，用ASA或AAS可证明两三角形
全等，故此选项正确，不符合题意；
B、若是一条直角边一条斜边分别相等，则用HL证明全等；若是两条直角边分别相等，则用SAS证明全等，
因此两边分别相等的两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意；
C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故此选项错误，符合题意；
D、中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分，是中心对称图形的性质，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【思路引导】由直角三角形中两直角相等，加上一个锐角和一条边对应相等，符合ASA或AAS判定三角形
全等，即可判断A选项；一直角边和一斜边对应相等，符合HL判定定理，两条直角边分别对应相等加直角
对应相等，符合SAS判定全等，即可判断B选项；根据旋转前后图形形状和大小不变可知，对应线段相等
但不一定平行，可判断C选项；根据中心对称图形的性质，对应点连成的线段都被对称中心平分，即可判
断D选项.
9．（2分）（2017·孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的
个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图
形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【完整解答】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
【思路引导】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对
称图形的定义一一判断即可．
10．（2分）（2022·雅安模拟）下列四个图形：①等边三角形；②等腰梯形；③平行四边形；④正五边
形.其中中心对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【完整解答】解：根据中心对称图形的定义可以判断③平行四边形是中心对称图形；①等边三角形、②等
腰梯形、④正五边形均不是中心对称图形，
故答案为：A.
【思路引导】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来
的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022八下·拱墅期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ，
， ，则 的长为 .【答案】12
【完整解答】解： 在 中， ， ，
，
∵B与B'关于A中心对称，
.
故答案为：12.
【思路引导】在直角三角形ABC中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得AB=2AC，然后根据中心
对称的性质得BB'=2AB可求解.
12．（2分）（）已知点A（-1，2）与点B（3，4）是成中心对称的图形上的两个对称点，则对称中心的
坐标为 。
【答案】（1，3）
【完整解答】解：设对称中心为（x，y），
∴x= =1，y= =3，
∴对称中心的坐标为 （1，3）.
故答案为： （1，3） .
【思路引导】根据中点坐标公式分别求出对称中心的横纵坐标，即可解答.
13．（2分）（）在方格纸中，选择标有序号①、②、③、④中的一个小正方形涂黑，能与图中阴影部分
构成中心对称图形的小正方形的序号是 。
【答案】②
【完整解答】解：根据中心对称图形的特点可知， ② 符合条件.故答案为： ② .
【思路引导】中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合，依此特点分别判断即可.
14．（2分）（2021九上·互助期中）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝
90°，则AE的长是 ．
【答案】
【完整解答】 与 关于点C成中心对称
故答案为： .
【思路引导】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可得到答案。
15．（2分）（2021九上·鼓楼月考）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，
∠BAC＝90°，则AE的长是 .
【答案】2
【完整解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝ .
故答案为： .
【思路引导】由题意可得△ABC≌△DEC，则AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，求出AD的值，
然后利用勾股定理就可得到AE.
16．（2分）（2019九上·望城期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，点O是AC的中点，以
O为旋转中心，将△ABC绕点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，则BC'的最大值为
．
【答案】8
【完整解答】解：根据题意可知，点C’的运动路径为以O为圆心OC’长为半径的圆，
∴当B、O、C'共线且B、C'在O点异侧时BC'最大，
∴BC'的最大值为OB+OC'，
∵AC＝6，BC＝4，
∴OC=OC'=3，OB=5，
∴BC'的最大值为OB+OC'=5+3=8，
故答案为8.
【思路引导】根据题意可知，点C’的运动路径为以O为圆心OC’长为半径的圆，当B、O、C'共线且B、
C'在O点异侧时BC'最大，然后根据勾股定理求出OB即可得.
17．（2分）（2021·南京一模）若点A与点B（1，1）关于点C（－1，－1）对称，则点A的坐标是
.
【答案】（-3，-3）
【完整解答】设点 的坐标为 ，由题意得： ，解得 ，
则点 的坐标为（-3，-3），
故答案为：（-3，-3）.
【思路引导】根据中点坐标公式点（x,y）与（x,y）的中点坐标 可得结果.
1 1 2 2
18．（2分）（2020九上·舒兰期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点
A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛
物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 ．
【答案】3
【完整解答】当y=0时，x2+mx=0，解得x=0，x=﹣m，则A（﹣m，0），
1 2
∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y=x2+x，
当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），
当y=2时，x2+x=2，解得x=﹣2，x=1，则C（﹣2，1），
1 2
∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3，
故答案为3．
【思路引导】点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，得出点A的坐标，得出抛物线解析式为
y=x2+x，当x=1时、y=2时得出A'、C的坐标，即可得出A′C的长。19．（2分）（2021九上·巧家期末）如图，正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么点A，B，C，
D中，可以作为旋转中心的有 个.
【答案】2
【完整解答】把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个.
故答案为：2.
【思路引导】利用旋转图形的性质，可得答案.
20．（2分）（2020九上·绥棱期末）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，
A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
【答案】
【完整解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×（n-1）= cm2．
【思路引导】根据题意可得出，阴影部分面积等于正方形面积的 ，已知两个正方形可得出一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分为n-1阴影部分的和。
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（8分）（2022·平房模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度， 的顶点、
点D和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）（4分）在方格纸中画出 关于点D成中心对称的 （点A的对称点是点M，点B的对
称点是点N，点C的对称点是点P），点M、N、P在小正方形的顶点上；
（2）（4分）在方格纸中画出以EF为斜边的 ，且 ，点G在小正方形的顶点上．
连接NG，请直接写出线段NG的长．
【答案】（1）解：如图， 为所求作图形；
（2）解：如图， 为所求作图形；【完整解答】解：(1) ，
在图上找到对应的点连线
【思路引导】（1）根据中心对称图形定义作出 即可；
（2）先求出 ，再利用勾股定理求出NG的长即可。
22．（6分）（2021·包河模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
．⑴请画出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
⑵以O为对称中心，画出 关于O成中心对称的图形 ；
⑶请用无刻度的直尺画出 的平分线 （点Q在线段 上）（保留作图辅助线）．
【答案】解：（1）如图所示， 即为所求，点 的坐标为 ；
（2）如图所示；
（3）如图所示，在格点上分别取一点M、N，连接AN、CM，交于点J，作射线BJ，交AC于点Q，则BQ即为
所求
【思路引导】（1）根据题意画出对称点连线即可；
（2）求出A、B、C关于原点的对称点的坐标连接即可；
（3）根据网格确定长度即可．
23．（4分）（2022八下·洋县期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，
， ， 的坐标为 ．（每个方格的边长均为1个单位长度）⑴将 平移，使点 移动到点 ，请画出平移后的 ，点 、 的对应点分别是 、 ；
⑵作出 关于原点 点成中心对称的 ，点 、 、 的对应点分别是 、 、 ．
【答案】解：⑴如图， 为所作．
⑵如图， 为所作．【思路引导】（1）把△ABC先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，即可画出△ABC；
1 1 1
（2）作出△ABC各顶点关于点O的对称点A，B，C，再顺次连接，即可画出△ABC.
2 2 2 2 2 2
24．（8分）（2022八下·晋中期末）下列三幅图中的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时
期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这
“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．
（1）（2分）图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形（阴影部分）是 （填“轴”或
“中心”）对称图形；
（2）（6分）将“弦图”中的一个直角三角形作为基本图形，通过你所学过的图形变换知识，按下列
要求画图：
①在图2中画出Rt△ABC向右平移4格后得到的△DEF；
②在图3中画出Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的 ．
【答案】（1）中心
（2）解：如图所示【完整解答】解：（1）解：“弦图”的四个直角三角形组成的图形（阴影部分）是中心对称图形；
故答案为：中心；
【思路引导】（1）利用中心对称图象的定义即可得解；
（2）①根据平移的性质将点A、B、C分别向右平移4格，可得对应点D、E、F，再顺次连接即可；
② 根据旋转的性质将点A、B、C分别确定绕点C顺时针旋转90°后的对应点A'、B'、C'，然后顺次连接
即可；
25．（11分）（2022·蜀山模拟）如图，直角坐标系中的△ABC的三个顶点坐标分别为A（-5，0），B
（-1，-4），C（-1，0），点M为线段AB的中点．
（1）（2分）点M关于y轴的对称点M的坐标为 ；
（2）（4分）画出△ABC关于点O的中心对称图形△ABC；（点A、B、C的对应点分别为点A、B、
1 1 1 1 1
C）；
1
（3）（5分）再将点M 沿y轴正方向平移，在平移过程中，直接写出当平移的距离d在什么范围时，点
1
M 在ABC 的内部（不包括边界）．
1 1 1 1
【答案】（1）（3，-2）（2）解：如图，
（3）解：直线AB 的解析式为y=kx+b过（1，4）和（5，0）
1 1
∴
解得
∴y=-x+5
∴当x=3时，y=2
∴2＜d＜4
【完整解答】（1）解：（1）∵A（-5，0），B（-1，-4），
∴AB中点M的坐标为（-3，-2），
∴M关于y轴的对称点M′的坐标（3，-2），
故答案为：（3，-2）；
【思路引导】（1）根据关于y轴对称的点坐标的特征求解即可；
（2）根据中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）先求出直线AB 的解析式，再将x=3代入解析式求出y的值，即可得到d的取值范围。
1 1
26．（12分）（2022·东洲模拟）如图，抛物线 经过A（ ），B（ ）两点，直
线AB与 轴交于点C．（1）（4分）求抛物线的解析式；
（2）（4分）点M在抛物线上，点N在直线AB上，当M，N关于原点O成中心对称时，求点N的坐标；
（3）（4分）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A，B，P，Q为顶点的四边形能否成
为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线 经过A（-1，0），B（ ）两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式
（2）解：设直线AB的解析式为 ，
∵A（-1，0），B（ ）两点在直线AB上，
∴ ， 解得
∴ .设N（ ），则M（ ）
将M（ ）代入 ，得
，
解得 ，∴ ，
∴N的坐标为（ ， ）或（ ， ）
（3）解：能，
【完整解答】(3)解：设点Q（m，n），n=- m2+m+ 2，点P(1，s)，点A、B的坐标分别为(-1，0)、
(4，- )，
①当AB是平行四边形的边时，
i)点B向右平移3个单位，点B在直线x=1上，
同样点A向右平移3个单位，此时横坐标为-4，
当x=-4时，y=- ×(-4)2-4+ =-10 ，
所以点A向上平移10 个单位得到点Q，同样点B向上平移10 个单位得到P，
∴s=-(10 + )=-13，
∴点p坐标为(1，-13)；
ii) 点A向右平移2个单位，点A在直线x=1上，同样点B向右平移2个单位，此时横坐标为6，当x=6时，y=- ×62+6+ =-10 ，
所以点B向上平移-10 - =8个单位得到点Q，同样点A向上平移8个单位得到P，则s=8，此时点P坐标
为(1，-8)；
②当AB是平行四边形的对角线时，AB中点坐标为( ，- )，
∴ ，∴m=2，
∴n=- ×22+2+ = ，
∴ ，
解得：s=-4，
故点P（1，-4）
综上，故点P的坐标为：(1，-4)或(1，-8)或(1，-13)．
【思路引导】（1）将点A、B的坐标代入 求出a、b的值即可；
（2）先求出直线AB的解析式为 ，设N（ ），则M（ ），将点M代
入 可得 求出m的值，即可得到点N的坐标；
（3）分情况讨论，再利用平行四边形的性质列出方程求解即可。
27．（11分）（2021·东阳模拟）已知：如图， 的边 在x轴上， ，点
B为 ，抛物线 经过点 ，点P为 的对称中心.（1）（5分）求此抛物线的函数表达式.
（2）（6分）平移抛物线，能否使平移后的抛物线同时经过点P，点C？若能，请写出平移方式，并说
明理由.
【答案】（1）解：过点A作AD⊥x轴，如图所示：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠OAD=90°-∠AOC=30°，
∵点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
把点A、B坐标代入抛物线 可得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：能使平移后的抛物线同时经过点P、C，平移方式为向左平移2个单位长度，再向下平移
个单位长度，理由如下：
连接OB，如图所示：
由（1）可得抛物线的解析式为 ，则化为顶点式为 ，
点 ，
∵点 ，
∴ ，
∴点 ，
∵点P为 的对称中心，
∴点P为 的中点，
∴根据中点坐标公式可得点 ，
设平移后的抛物线解析式为 ，把点P、C的坐标代入得：，解得： ，
∴平移后的抛物线解析式为 ，化为顶点式为 ，
∴根据二次函数图象的平移可得：由抛物线 可先向左平移2个单位长度，再向下平
移 个单位长度所得到.
【思路引导】（1） 过点A作AD⊥x轴，先求出∠OAD=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出
点A的坐标，然后根据待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由于平行四边形是中心对称图形，根据中点坐标公式求出点P的坐标，设平移后的抛物线解析式为
， 结合P、C点坐标，利用待定系数法求出平移后的解析式，将其化成顶点式，对
比原解析式，即可得出平移的过程.
