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第 02 讲 分式的基本性质
课程标准 学习目标
1. 掌握分式的基本性质，并能够通过性质对分式进行熟练的变
①分式的基本性质
形。
②分式的约分
2. 掌握分式的约分和通分的方法，并能够运用分式的基本性质
③分式的通分
对分式进行熟练的通分和约分。
知识点01 分式的基本性质
1. 分式的性质的基本内容：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个 的整式，分式的值 。
2. 式子表达：
（A、B、C均是整式且C≠0）
3. 分式的符号改变法则：分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意 符号分式不会发生改变。
即：
【即学即练1】
1．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】
3．若把分式 中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
知识点02 分式的约分
1. 公因式的概念：
一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的 。
2. 公因式的求法：
对分子分母进行因式分解，然后求出系数的 与 最低次幂。
他们的乘积为公因式。
3. 最简分式的概念：
分子分母没有 的分式叫做最简公因式。
4. 约分的概念：
根据分式的 ，把分子分母的 约去，这个过程叫约分。
5. 约分的步骤：
①对分式中能 的分子或分母先进行因式分解。
分子分母的公因式即可。
②约去
【即学即练1】4．分式 中分子、分母的公因式为 ．
【即学即练2】
5．下列各式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练3】
6．化简下列分式：
（1） ； （2） ．
知识点03 分式的通分
1. 通分的概念：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值 的 的分式
的过程叫做通分。这个相同的分母叫做 。
2.
最简公分母的求法：
最简公分母＝所有系数的 ×所有因式的 。对能进行因式分解的分母先
因式分解，在确定所含有的因式。
3. 通分的步骤：
①将所有能分解因式的 分解因式。
②求出 。
③利用 在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成 。
【即学即练1】
7．分式 与 的最简公分母是（ ）
A．abc B．a2b2c C．6a2b2c D．12a2b2c
【即学即练2】8．分式 ， ，﹣ 的最简公分母是（ ）
A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2
C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2
【即学即练3】
9．通分：
（1） ， ， ； （2） ， ， ．
题型01 根据分式的性质判断分式的变形
【典例1】下列式子从左到右的变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】下列各式中，正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝C． ＝ D． ＝﹣
题型02 判断分式的倍数变化
【典例1】若把分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【变式1】将分式 中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【变式2】若分式 中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小到原来的
题型03 判断最简分式
【典例1】下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】从代数式：3，a2﹣1，a+1中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即
可）
题型04 分式的约分
【典例1】化简 的结果是（ ）
A．m B．4﹣m C． D．【变式1】下列约分结果正确的是（ ）
A． B． ＝x﹣y
C． ＝﹣m+1 D．
【变式2】化简：
（1） ； （2） ．
【变式3】先约分，再求值： ，其中a＝﹣2，b＝ ．
题型05 求分母的最简公分母
【典例1】式子 的最简公分母是（ ）
A．36x2y2 B．24x2y2 C．12x2y2 D．6x2y2
【变式1】分式 与 的最简公分母是（ ）
A．（x+y）2 B．2（x+y）3 C．2（x+y）2 D．2x+2y
【变式2】下列三个分式 中的最简公分母是 ．
题型06 分式的通分
【典例1】若将分式 与分式 通分后，分式 的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分
式 的分子应变为（ ）A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y）
【变式1】将分式 与分式 通分后， 的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则 的
分子变为（ ）
A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a
【变式2】通分 ， ， ．
【变式3】通分：
（1） ， ， ；
（2） ， ， ．1．下列分式 ， ， ， ， 中，最简分式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．阅读下列各式从左到右的变形
（1）
（2）
（3）
（4）
你认为其中变形正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．将分式 中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．缩小到原来的
4．下列说法错误的是（ ）
A．当x＝2时，分式 无意义
B．当x＞5时，分式 的值为正数
C．当分式 时，m＝±3
D．分式 与 的最简公分母是3ab2
5．下列说法正确的是（ ）
A．若分式 的值为0，则x＝±2
B． 是最简分式C．把分式 中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍
D． 与 的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
6．分式 、 、 的最简公分母是（ ）
A．（x+y）（x﹣y） B．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）
C．（x+y）（x2﹣y2） D．（x﹣y）（x2﹣y2）
7．分式 化简得 ，则x应满足的条件是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0且x≠﹣1 D．x≠﹣1
8．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列
分式中，是“和谐分式”的是（ ）
A． B．
C． D．
9．把 与 通分后， 的分母为（1﹣a）（a+1）2，则 的分子变为（ ）
A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a
10．把 ， ， 通分后，各分式的分子之和为（ ）
A．2a2+7a+11 B．a2+8a+10
C．2a2+4a+4 D．4a2+11a+13
11．若 成立，则x的取值范围是 ．
12．若m为实数，分式 不是最简分式，则m＝ ．
13．若 ，则 ＝ ．
14．小丽在化简分式 时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测*部分的式子应该是 ．
15．已知 ＝2， ＝3， ＝1，则 ＝ ．16．（1）通分： 和 ； （2）约分： ．
17．已知三个整式x2+4x，4x+4，x2．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
18．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 （a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设 ，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知： ，其中x+y+z≠0，求 的值．
19．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数
大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真
分式”．如 ， 这样的分式就是假分式； ， 这样的分式就是真分式．类似地，
假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ， ；
解决下列问题：
（1）分式 是 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式 化为带分式；
（3）如果x为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的x的值．
20．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如： ，则称分式 是“巧分式”，4x为它的
“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
（1）下列分式中是“巧分式”的有 （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若分式 （m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值；
（3）若分式 的“巧整式”为1﹣x．
①求整式A．
② 是“巧分式”吗？
