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第 02 讲 垂直于弦的直径
课程标准 学习目标
①垂径定理 1. 掌握垂径定理以及垂径定理的相关推论，并能够在不同的题
②垂径定理的推论 目对其熟练的进行选择应用。
知识点01 垂径定理
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的 直径 ， 平分 弦，平分弦所对的 优弧 和 劣弧 。
即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧
CAD于A，则：
CE ＝ DE，弧BC ＝ 弧BD，弧AC ＝ 弧AD。
注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们
半径2 =弦心距2 +半弦长2 OC2 =OE2 +CE2
与直径构成勾股定理。即： （ ）
【即学即练1】
1．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
⊙A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC
【分析】先根据垂径定理得 CM＝DM， ， ，得出BC＝BD，再根据圆周角定理得到
∠ACD＝∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．
【解答】解：∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM， ，⊙ ，
∴BC＝BD，∠ACD＝∠ADC．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，在 O中，弦AB＝8，圆心O到AB的距离3，则 O的半径长为 5 ．
⊙ ⊙
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．
【解答】解：∵弦AB＝8，圆心O到AB的距离OC＝3，
∴AC＝BC＝4，∠OCA＝90°，
由勾股定理得：AO＝ ＝ ＝5，
故答案为：5．
【即学即练3】
3．如图， O的直径AB和弦CD相交于点M，已知AM＝5，BM＝1，∠CMB＝60°，则CD的长为 2
．
⊙
【分析】连接OD，过点O作OE⊥CD，根据题意先求出OM，再由∠CMB＝60°，得∠MOE＝30°，再
根据勾股定理求得OE，DE，由垂径定理得出CD的长．
【解答】解：连接OD，过点O作OE⊥CD，
∵∠CMB＝60°，∴∠MOE＝30°，∵AM＝5，BM＝1，∴OB＝3，OE＝ ，
∴DE＝ ，
∴CD＝2 ，
故答案为2 ．
【即学即练4】
4．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（ ）
⊙
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【分析】先利用垂径定理得到CE＝4，然后根据勾股定理计算OE的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝ ×8＝4，
在Rt△OCE中，OE＝ ＝ ＝3（cm）．
故选：C．
知识点02 垂径定理的推论
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且 平分 弦所对的 两条弧 。
推论2：弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分 弦所对的 两条弧 。
推论3：平分弦所对一条弧的直径， 垂直平分 弦，并且平分弦所对的 另一条弧 。
【即学即练1】
5．如图，AB是 O的直径，点B是 的中点．下列结论错误的是（ ）
⊙A．点A是 的中点 B．AB⊥CD
C．AB平分CD D．CD平分AB
【分析】利用垂径定理一一判断即可．
【解答】解：∵B是 的中点，
∴ ＝ ，
∵AB是直径，
∴AB⊥CD，
∴AB平分CD， ＝ ，
故A，B，C正确，
故选：D．
题型01 垂径定理求圆的半径（直径）
【典例1】如图，CD是 O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则 O的半径是（
）
⊙ ⊙
A． cm B． cm C． cm D． cm
【分析】先连接OA，由垂径定理求出AE的长，根据CE：ED＝1：5可设CE＝x，则 O的半径＝3x，
在Rt△OAE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出OA的长．
⊙
【解答】解：连接OA，
∵CD是 O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10cm，
⊙
∴AE＝ AB＝ ×10＝5cm，
∵CE：ED＝1：5，
∴设CE＝x，则OA＝3x，OE＝2x，
在Rt△AOE中，
∵AE2+OE2＝OA2，即52+（2x）2＝（3x）2，解得x＝ cm，
∴OA＝3x＝3 cm．
故选：C．【变式1】如图，AB、AC是 O的两条弦，AB⊥AC，且AB＝8，AC＝6，则 O的半径等于 5 ．
⊙ ⊙
【分析】作OM⊥AB，ON⊥AC于点M、N．连接OA，则四边形ONAM是矩形，利用垂径定理求得OM
和AM的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC于点M、N．连接OA．
则AM＝ AB＝4，AN＝ AC＝3，四边形ONAM是矩形．
∴OM＝AN＝3，
在直角△OAM中，AM＝ ＝ ＝5．
故答案为：5．
【变式2】如图，AB是 O的直径，点C在 O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3， O的
直径长是 1 0 ．
⊙ ⊙ ⊙
【分析】连接OC，如图，利用勾股定理计算出OC即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO＝90°，
在Rt△OCD中，OC＝ ＝5，∴AB＝2OC＝10，
即 O的直径为10．
故答案为10．
⊙
【变式3】如图，已知AD是 O的直径，BC是 O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝10，求 O
的直径．
⊙ ⊙ ⊙
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：连接OB，设OB＝OA＝R，则OE＝10﹣R，
∵AD⊥BC，BC＝10，
∴∠OEB＝90°，BE＝ BC＝5，
由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，
R2＝（10﹣R）2+52，
解得：R＝ ，
即 O的直径为 ．
【变式4】如图，在 O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、
⊙
E．
⊙
（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论；
（2）根据勾股定理可得半径．
【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝ AB，AE＝ AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝ ＝ （cm），
答： O的半径是 cm．
⊙
题型02 垂径定理求弦长
【典例1】如图AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．
⊙【分析】连接OC，如图，利用垂径定理得到CE＝DE，再计算出OC、OE，然后利用勾股定理计算出
CE即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝ ＝3，
∴CD＝2CE＝6．
【变式1】如图所示， O的直径CD＝10cm，AB是 O的弦，AM＝BM，OM：OC＝3：5，则AB的长为
（ ）
⊙ ⊙
A．8cm B． cm C．6cm D．2cm
【分析】先根据垂径定理的推论得，CD⊥AB，由于 O的直径CD＝10cm，则 O的半径为5cm，又已
知OM：OC＝3：5，则可以求出OM＝3，OC＝5，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB的长
⊙ ⊙
度．
【解答】解：如图所示，连接OA，
∵ O的直径CD＝10cm，AB是 O的弦，AM＝BM，
∴ O的半径为5cm，CD⊥AB，
⊙ ⊙
∴OA＝OC＝5cm，
⊙
又∵OM：OC＝3：5，所以OM＝3cm，
在Rt△AOM中，AM＝ ＝4（cm），
∴AB＝2AM＝2×4＝8（cm）．
故选：A．
【变式2】已知：如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的
长为（ ）
⊙
A．4 B．4 C．3 D．5
【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在
直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．
【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝ CD，
∵BE＝1，AE＝5，
∴OC＝ AB＝ ＝ ＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，
∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，
∴OM＝ OE＝ ×2＝1，
在Rt△OCM中，
∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2 ，
∴CD＝2CM＝2×2 ＝4 ．
故选：A．
【变式3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE＝BE，CE＝DE，从而得到AC＝BD；
（2）连接OC，OA，根据OE⊥AB且OE⊥CD可得OE＝6，CE＝DE，再根据勾股定理求出CE及AE
的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE，
故BE﹣DE＝AE﹣CE；
即AC＝BD；
（2）解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE＝4，CE＝DE，
∴DE＝CE＝ ＝ ＝2 ，
AE＝ ＝ ＝4 ，
∴AC＝AE﹣CE＝4 ﹣2 ．
【变式4】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若AB＝16，求CD的长．
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝ OB＝ OC，即证明∠OCE＝30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
＝ ，
∴AC＝AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝ OC，
∴OE＝ OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝16，
∴OC＝ AB＝8，
又∵BE＝OE，
∴OE＝4，
∴CE＝ ＝ ＝4 ，
∴CD＝2CE＝8 ．
题型03 垂径定理求弦心距离
【典例1】如图， O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得 ，在Rt△AOC中，由勾股定理即可得
到答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴ ，
在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4，
由勾股定理可得： ．
故选：C．
【变式1】如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD＝8，OA＝5，则AH的长为 8 ．
⊙
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CH，再根据勾股定理求出OH即可．
【解答】解：连接OC，则OC＝OA＝OB＝5，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OHC＝90°，CH＝DH＝4，
由勾股定理得：OH＝ ＝ ＝3，
∵OA＝5，
∴AH＝OA+OH＝5+3＝8，
故答案为：8．
【变式2】已知 O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离
为（ ）cm．
⊙
A．14或2 B．14 C．2 D．6
【分析】分两种情况进行讨论：①弦MN和EF在圆心同侧；②弦MN和EF在圆心异侧；作出半径和
弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：①当弦MN和EF在圆心同侧时，如图1，
∵MN＝12cm，EF＝16cm，
∴CE＝8cm，MD＝6cm，
∵OE＝OM＝10cm，∴CO＝6cm，OD＝8cm，
∴CD＝OD﹣OC＝2cm；
②当弦MN和EF在圆心异侧时，如图2，
∵MN＝12cm，EF＝16cm，
∴CE＝8cm，MD＝6cm，
∵OE＝OM＝10cm，
∴CO＝6cm，OD＝8cm，
∴CD＝OC+OD＝14cm；
故选：A．
【变式3】如图， O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 3 ≤ OP ≤ 5
．
⊙
【分析】因为 O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距
的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM＝3，即OP的最小值为3，所以
⊙
3≤OP≤5．
【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵ O的直径为10，
∴半径为5，
⊙
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM＝ ，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
【变式4】如图，D是 O弦BC的中点，A是 O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝
12．
⊙ ⊙
（1）求线段OD的长；
（2）当EO＝ BE时，求DE的长．
【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD＝ BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即
可得出结论；
（2）在Rt△EOD中，设BE＝x，则OE＝ x，DE＝6﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD＝ BC，
在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2．
∵BO＝AO＝8，BD＝6．
∴OD＝2 ；
（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2．
设BE＝x，则OE＝ x，DE＝6﹣x．
（2 ）2+（6﹣x）2＝（ x）2，
解得x ＝﹣16（舍），x ＝4．
1 2
则DE＝2．题型04 垂径定理的应用
【典例1】如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．
连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6（米），
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
故选：A．
【变式1】《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯
锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为 O的直径，弦
AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
⊙
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10
可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的
解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
【变式2】往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 AB
＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交 O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股
定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
⊙
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交 O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
⊙
∴BD＝ AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝ ＝ ＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：B．【变式3】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否
要采取紧急措施？
【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得
出结论．
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝ AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【变式4】一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽 AB为16m（如图），桥
拱最高处离水面4m．（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？
【分析】已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心
距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题．
【解答】解：（1）如图所示，设点O为AB的圆心，点C为 的中点，
连接OA，OC，OC交AB于D，由题意得AB＝16m，CD＝4m，
由垂径定理得OC⊥AB，AD＝ AB＝ ×16＝8（m），
设 O半径为xm，则在Rt△AOD中，
OA2＝AD2+OD2，即x2＝82+（x﹣4）2，
⊙
解得x＝10，所以桥拱的半径为10m；
（2）设河水上涨到EF位置（如图所示），
这时EF＝12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），
∴EM＝ EF＝6m，
连接OE，则有OE＝10m，
OM＝ ＝8（m）
OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6（m），
DM＝OM﹣OD＝8﹣6＝2（m）．
【变式5】如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝ BC＝ ×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ＝3，
设 O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
⊙
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝ ，
答：圆片的半径R为 cm．
1．如图， O的半径为2，弦AB＝2 ，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
⊙
A．1 B． C． D．2
【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，再根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，∵OC⊥AB，OC过圆心O，AB＝2 ，
∴AC＝BC＝ ，∠OCA＝90°，
由勾股定理得：OC＝ ＝ ＝1，
即圆心O到弦AB的距离为1，
故选：A．
2．如图， O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交 O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则
EB的长为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由题意可知，OC垂直平分AB，AE是 O的直径，易得CO是△ABE的中位线得到EB＝
2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，依据勾股定理求解即可．
⊙
【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是 O的直径，
∴CO是△ABE的中位线，
⊙
∴EB＝2OC，
在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，
∵AO2＝OC2+AC2，
∴x2＝（x﹣1）2+22，
解得： ，
即 ， ，
∴EB＝2OC＝3，
故选：B．
3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长
是（ ）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣
x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．
4．如图，在 O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交 O于点D，则线段 CD的最大值是
（ ）
⊙ ⊙
A． B．1 C． D．2
【分析】因为CD⊥OC交 O于点D，连接OD，△OCD是直角三角形，则CD＝ ，因为半
径OD是定值，当OC取得最小值时线段CD取得最大值．
⊙
【解答】解：连接OD，∵CD⊥OC交 O于点D，
∴△OCD是直角三角形，
⊙
根据勾股定理得CD＝ ，
∵半径OD是定值，
∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD＝ ，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ，
∴CD＝ ＝BC＝ ．
故选：A．
5．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB宽为8cm，水的最大深度为
2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝ AB，设OA＝r，则OD＝r﹣
2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝ ×8＝4cm，
设OA＝r，则OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故选：C．6．如图，点E在y轴上， E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则
线段AB的长度为（ ）
⊙
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】连接EB，由题意得出OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，得出EB＝ED＝ CD＝5，OE＝4，由垂
径定理得出AO＝BO＝ AB，由勾股定理求出OB，即可得出结果．
【解答】解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD＝1，OC＝9，
∴CD＝10，
∴EB＝ED＝ CD＝5，OE＝5﹣1＝4，
∵AB⊥CD，
∴AO＝BO＝ AB，OB＝ ＝ ＝3，
∴AB＝2OB＝6；
故选：C．
7．数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点 C放在 O上
的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在 O上截
⊙
得的线段（DE）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙A．3厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米
【分析】利用垂径定理得ME＝DM＝1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO的关系式，解
得结果．
【解答】解：过O点作OM⊥AB，
∴ME＝DM＝1cm，
设MO＝h，CO＝DO＝x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，
∴∠MAO＝45°，
∴AO＝ h
∵AO＝7﹣x，
∴ ，
在Rt△DMO中，
h2＝x2﹣1，
∴2x2﹣2＝49﹣14x+x2，解得：x＝﹣17（舍去）或x＝3，
故选：A．
8．如图，已知在 O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加
一个条件，这个条件可以是（ ）
⊙
A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB
【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
【解答】解：OC＝2CD．理由如下：
∵在 O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
⊙∴AD＝DB，
∵OC＝2CD，
∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，
∴四边形OACB为菱形．
故选：B．
9．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（ ）
A．6 B．2
C．6或2 D．以上说法都不对
【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得．
【解答】解：如图，
①若CD＝8，
则CF＝ CD＝4，
∵OC＝OA＝5，
∴OF＝3，
∵EF＝1，
∴OE＝2，
则AE＝ ，
∴AB＝2AE＝2 ；
②若AB＝8，
则AE＝ AB＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OE＝3，
∵EF＝1，
∴OF＝4，
则CF＝3，
∴CD＝2CF＝6；
综上，另一弦长为6或2 ，
故选：C．
10．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）A． cm B．9 cm C． cm D． cm
【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD＝OC，设AD＝a，则OD＝ a，由勾
股定理求出OA＝OB＝OE＝ a，求出EF＝FC＝4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案．
【解答】解：
连接OA、OB、OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°，
∵在Rt△ADO和Rt△BCO中
∵ ，
∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL），
∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
设AD＝a cm，则OD＝OC＝ DC＝ AD＝ a cm，
在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OE＝ a cm，
∵小正方形EFCG的面积为16cm2，
∴EF＝FC＝4cm，
在△OFE中，由勾股定理得： ＝42+ ，
解得：a＝﹣4（舍去），a＝8，
a＝4 （cm），
故选：C．
11．如图，AB是 O的弦，OC⊥AB于点D，交 O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么 O的半径为 5
⊙ ⊙ ⊙．
【分析】连接OB，先根据垂径定理求出BD的长，在Rt△BOD中根据勾股定理求解即可．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB于点D，AB＝8，
∴BD＝ AB＝4，
在Rt△BOD中，
∵OB2＝OD2+BD2
＝32+42
＝25，
∴OB＝5，
故答案为：5．
12．如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，
高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 1. 3 m．
【分析】设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【解答】解：设圆的半径为r，由题意可知， ，EF＝2.5m
在Rt△OFD中， ，r+OF＝2.5m，
∴ ，
解得r＝1.3．
经检验：r＝1.3是方程的解，
故答案为：1.3．
13．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点
A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交弧AB于点D，测出AB，CD的长度，即
可计算得出轮子的半径．现测出AB＝8cm，CD＝2cm，则轮子的半径为 5 cm．
【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而
可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中， ，
根据勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣2）2+42＝OB2，
解得：OB＝5；故轮子的半径为5cm，
故答案为：5．
14．如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 2
． ⊙
【分析】连接BE，先根据垂径定理求出AC的长，设 O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出
r的值，易得AE＝2r，连接BE，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，由三角形中位线定理得到BE＝2OC
⊙
＝6，然后在Rt△CBE中由勾股定理可求出CE．
【解答】解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝ AB＝4，
设 O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
⊙
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
且BE⊥AB
在Rt△CBE中，CE＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
15．如图， M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是 M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB
与x轴分别交于 A、B两点．若点 A、点B关于原点O对称，则当 AB取最大值时，点 A的坐标为
⊙ ⊙
（﹣ 1 4 ， 0 ） ．【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交
M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得．
【解答】解：连接PO，
⊙
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交 M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
⊙
则OQ＝6、MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP'＝r＝4，
∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14，
∴AB＝2OP'＝2×14＝28；
∴A点坐标为（﹣14，0），
故答案为：（﹣14，0）．
16．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．
（1）求CE的长度；
⊙
（2）求OC的长度．【分析】（1）由垂径定理得到CE＝ CD＝4；
（2）由勾股定理求出OC＝ ＝5．
【解答】解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴CE＝ CD＝ ×8＝4；
（2）∵∠OEC＝90°，OE＝3，CE＝4，
∴OC＝ ＝5．
17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆半径为7cm，求小圆的半径．
【分析】（1）根据垂径定理及线段的和差求证即可；
（2）根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：作OE⊥AB，垂足为E，
由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
即AC＝BD；（2）解：连接OA，OC，
在Rt△AOE中，AE＝ AB＝5cm，OA＝7cm，
∴OE＝ ＝ ＝2 （cm），
在Rt△OCE中，CE＝ CD＝3cm，
∴OC＝ ＝ ＝ （cm），
即小圆的半径为 cm．
18．如图，CD为 O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数．
⊙
（2）若CE＝ ，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）根据垂径定理得出AF＝BF，BE＝CE，根据线段垂直平分线性质得出 AC＝BC，AB＝
BC，求出AC＝BC＝AB，根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质
得出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，根据等边三角形的性质得出∠DCB＝ ACB＝30°，
求出OC＝2OE，再根据勾股定理求出OE即可．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AE过圆心O，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
同理AF＝BF，AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°；（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CD⊥AB，AC＝BC，
∴∠DCB＝ ＝30°，
∴OC＝2OE，
∵CE＝ ，OC2＝OE2+CE2，
即（2OE）2＝OE2+（ ）2，
解得：OE＝1（负数舍去），
∴OC＝2OE＝2，
即 O的半径为2．
19．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000
⊙
多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截
得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为 1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距
离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【分析】（1根据垂径定理，勾股定理列方程求解即可；
（2）根据垂径定理、勾股定理求出OG，进而计算出CG即可．
【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交 O以点D，由题意可知，CD＝1m，AB
＝6m，
⊙
∴OC⊥AB，AB＝6m，
∴AC＝BC＝ AB＝3m，
设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m，
在 Rt△AOC中，
OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2，
解得r＝5，
即该圆的半径为5m；
（2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G，∵OD⊥EF，
∴EG＝FG＝ EF＝ m，
连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m，
∴OG＝ ＝3m，
∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m），
即水面上涨的高度为 1 米．
20．如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成．
（1）如图1，一辆货车宽5.8m，高4m，它能通过该隧道吗？
（2）如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.7m的货车能驶入这个隧道吗？
（3）如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有 0.6m的隔离带，则一辆宽为
2.8m，高为4m的货车 不能 通过隧道（填“能”或“不能”）．
【分析】（1）设CD⊥AB于点D，根据勾股定理得出OD长，再进行比较即可；
（2）设CD⊥AB于点D，连接OC，根据勾股定理得出CD长，再进行比较即可；
（3）设CD⊥AB于点D，连接OC，根据勾股定理得出CD长，再进行比较即可；
【解答】解：（1）如图1所示，
设CD⊥AB于点D，CD＝4m，
∵OC＝5m，
∴ ，
∵ ，
∴这辆车能通过该隧道；（2）设CD⊥AB于点D，OD＝4m，连接OC，如图2所示，
∵OC＝5m，
∴ ，
∵3＞2.7，
∴这辆车能通过该隧道；
（3）设CD⊥AB于点D，OD＝3.1m，连接OC，如图3所示，
∵OC＝5m，
∴ ，
∵ ，
∴这辆车不能通过该隧道，
故答案为：不能．
