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专题12 含“字母系数”（含参）的二元一次方程组的解题思路（解析
版）
第一部分 典例剖析
类型一 利用二元一次方程的定义构造一元一次方程或二元一次方程组
1．（2020春•博兴县期中）若方程3x|m|﹣2＝3yn+1+4是二元一次方程，则m，n的值分别为（ ）
A．2，﹣1 B．﹣3，0 C．3，0 D．±3，0
思路引领：根据二元一次方程的定义得出|m|﹣2＝1，n+1＝1，解之可得答案．
解：∵方程3x|m|﹣2＝3yn+1+4是二元一次方程，
∴|m|﹣2＝1，n+1＝1，
解得m＝3或m＝﹣3，n＝0，
故选：D．
总结提升：本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的
项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．（2022春•开州区期中）若关于 x，y的方程（n﹣1）x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，则 m+n的值
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
思路引领：由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程，并求解．
解：∵关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，
∴|n|＝1且n﹣1≠0，m﹣2＝1，
解得m＝3，n＝﹣1，
∴m+n＝3﹣1＝2．
故选：B．
总结提升：此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2
个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．
3．（2017春•分宜县校级期中）方程（m2﹣9）x2+x﹣（m+3）y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的
值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
思路引领：根据二元一次方程的定义可得m2﹣9＝0，且m+3≠0，再解即可．解：由题意得：m2﹣9＝0，且m+3≠0，
解得：m＝3，
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的
次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
类型二 利用二元一次方程（组）的解的定义构造一元一次方程或二元一次方程组
{x+ y=2t
4．若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y＝9的解，求t的值和这个方程
x−y=4t
组的解．
思路引领：将t看作已知数求出方程组的解表示出x与y，代入二元一次方程中即可求出t的值，进而确
定出方程组的解．
{x+ y=2t①
解： ，
x−y=4t②
①+②得：2x＝6t，
解得：x＝3t，
①﹣②得：2y＝﹣2t，
解得：y＝﹣t，
将x＝3t，y＝﹣t代入2x+3y＝9中得：6t﹣3t＝9，
解得：t＝3，
{ x=9
则方程组的解为 ．
y=−3
总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
{ax+by=7 {x=2
5．（2020春•天津期末）已知方程组 的解为 ，则a，b的值为（ ）
ax−by=5 y=1
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝1 D．a＝1，b＝3
思路引领：把x与y的值代入方程组求出a与b的值即可．
{x=2
解：把 代入方程组得：
y=1
{2a+b=7①
，
2a−b=5②
①+②，得
4a＝12，
∴a＝3，把a＝3代入①，得
6+b＝7，
∴b＝1，
∴a＝3，b＝1，
故选：C．
总结提升：此题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义，方程组的
解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
{x=−2
6．已知方程2x+（1+m）y＝﹣1与方程nx﹣y＝1有一个相同的解 ，你能求出（m+n）2020的值吗？
y=1
思路引领：把x与y的值代入方程求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．
{x=−2
解：把 代入2x+（1+m）y＝﹣1，得﹣4+1+m＝﹣1，解得m＝2；
y=1
{x=−2
把 代入程nx﹣y＝1，得﹣2n﹣1＝1，解得n＝﹣1．
y=1
∴（m+n）2020＝（2﹣1）2020＝1．
总结提升：此题考查了有理数的乘方以及二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知
数的值，叫做二元一次方程的解．
类型三 已知方程组的错解构造一元一次方程求解
{ mx+ y=5①
7．（2021春•青神县期中）甲、乙两人同时解方程组 甲解题看错了①中的m，解得
2x−ny=13②
{ 7
x= { x=3
2 ，乙解题时看错②中的n，解得 ．试求：
y=−7
y=−2
（1）原方程组m，n的正确值；
（2）原方程组的解．
思路引领：（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可；
（2）把m与n的值代入方程组求出解即可．
{ 7
x=
解：（1）把 2 代入②得：7+2n＝13，
y=−2
解得n＝3，
{ x=3
把 代入①得：3m﹣7＝5，
y=−7解得m＝4．
所以m＝4，n＝3；
{ 4x+ y=5①
（2）把m＝4，n＝3代入方程组得： ，
2x−3 y=13②
①×3+②得：14x＝28，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣3，
{ x=2
则方程组的解为 ．
y=−3
总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
类型四 利用方程同解构造二元一次方程组
{2x+4 y=−6 {ax−by=11
8．（2021春•上思县期末）若方程组 和方程组 的解相同，试求（3b﹣2a）2021
8x−4 y=16 bx−ay=13
的值．
思路引领：求出第一个方程组的解，代入第二个方程组求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
{2x+4 y=−6①
解： ，
8x−4 y=16②
①+②得：10x＝10，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：2+4y＝﹣6，
解得：y＝﹣2，
{ x=1
∴方程组的解为 ，
y=−2
{ x=1 {ax−by=11 {a+2b=11
把 代入方程组 得： ，
y=−2 bx−ay=13 b+2a=13
{a=5
解得： ，
b=3
则（3b﹣2a）2021＝（3×3﹣2×5）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
{ 3x−y=5 {2x−3 y+4=0
9．已知关于x，y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值．
4ax+5by=−22 ax−by−8=0
思路引领：因为关于x，y的方程组有相同的解，根据二元一次方程组的解的定义，只需把两个方程组
中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．
{ 3x−y=5 {4ax+5by=−22
解：由题意，关于x，y的方程组 和 的解也相同．
2x−3 y+4=0 ax−by−8=0{ 3x−y=5①
解方程组 ，
2x−3 y+4=0②
19
{x=
得 7 ．
22
y=
7
19
{x=
把 7 代入{4ax+5by=−22，
22 ax−by−8=0
y=
7
76 110
{ a+ b=−22
得 7 7
19 22
a− b=8
7 7
14
{ a=
解得 19 ．
21
b=−
11
总结提升：本题考查了二元一次方程组的解法及方程组解的意义，由于数比较大，计算较复杂，理解方
程组公共解的意义和掌握解二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
{ 4x+ay=16 {3x+ay=13
10．（2019春•大丰区期末）已知关于x、y的方程组 和 的解相同，求a、b
2x+ y=4b+2 2x−3 y=−6
值．
思路引领：先把方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，可得x的值，再代入方程2x﹣3y＝﹣6，求出y的值，
再把x，y的值代入第一个方程组即可求得a，b的值．
解：方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，得x＝3，
把x＝3代入方程2x﹣3y＝﹣6，得y＝4．
{ 4x+ay=16
把x＝3，y＝4代入方程组 ，得
2x+ y=4b+2
{12+4a=16
6+4=4b+2
解这个方程组，得
a＝1，b＝2．总结提升：利用方程组的解相同，可以重新组合方程组，求得未知数的值．
类型五 利用二元一次方程组的解适合第3个方程，构造一元一次方程或者用整体思想求解
{2x+3 y=7，
11．已知方程组 的解能使等式x﹣7y＝2成立，求m的值．
5x−y=3m+1
思路引领：观察方程组中两方程的x与y的系数，发现方程①减去方程②×2后恰好直接得到（x﹣7y）
的值．
{ 2x+3 y=7①，
解：
5x−y=3m+1②，
由②﹣①×2，得x﹣7y＝3m﹣13，
∴3m﹣13＝2，
解得m＝5．
总结提升：本题主要考查的是解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键．
{3x+4 y=a+2
12．（2022春•沙坪坝区期末）已知关于x，y的方程组 的解满足x+y＝1，求a的值及方程
2x+3 y=2a
组的解．
思路引领：根据题意，①﹣②得x+y＝﹣a+2，再根据已知条件可得a的值，根据加减消元法解二元一
次方程组即可．
{3x+4 y=a+2①
解： ，
2x+3 y=2a②
①﹣②得x+y＝﹣a+2，
∵x+y＝1，
∴﹣a+2＝1，
解得a＝1，
{3x+4 y=3①
∴原方程组化为 ，
2x+3 y=2②
①×2﹣②×3得﹣y＝0，
解得y＝0，
将y＝0代入3x+4y＝3，
得3x＝3，
解得x＝1，
{x=1
∴原方程组的解为 ．
y=0
总结提升：本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
{3x+2y=m+3
13．（2019春•西湖区校级月考）已知关于x，y的二元一次方程组 的解x与y的值互为相
2x−y=2m−1
反数，试求m的值和方程组的解．
5m+1 9−4m
思路引领：由已知方程组，利用加减消元法求出x= ，y= ，再由x与y的值互为相反数，
7 7
即可求出m的值，再将m的值代入所求x、y的表达式，即可求方程组的解．
{3x+2y=m+3①
解：方程组 ，
2x−y=2m−1②
②×2+①得7x＝5m+1，
5m+1
∴x= ，
7
5m+1 9−4m
将x= 代入②，得y= ，
7 7
∵x与y的值互为相反数，
5m+1 9−4m
∴ + =0
7 7
∴m＝﹣10，
∴x＝﹣7，y＝7，
{x=−7
∴原方程组的解为 ．
y=7
总结提升：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，同时结合相反数的
性质灵活解题是关键．
14．当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m﹣1，n+1）为巧妙点．
（1）若A（m﹣1，5）是巧妙点，则m＝ ，巧妙点A（ ，5）；
（2）判断点P（3，1）是否为巧妙点，并说明理由．
{ x+ y=4
（3）已知关于x，y的方程组 ，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是巧妙
x−y=2a
点？
思路引领：（1）利用题中的新定义列式计算即可；
（2）利用题中的新定义判断即可；
（3）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
解：（1）由题意得：2（m﹣1+1）﹣（5﹣1）＝8，解得：m＝6，
∴m﹣1＝5，
∴巧妙点A（5，5），
故答案为：6，5；
（2）点P（3，1）是巧妙点，理由如下：
{m−1=3
根据题意得 ，
n+1=1
{m=4
解得： ，
n=0
代入得：2m﹣n＝8﹣0＝8，
∴点P（3，1）是巧妙点；
{ x+ y=4①
（2） ，
x−y=2a②
①+②得：2x＝2a+4，
解得：x＝a+2，
把x＝a+2代入①得：y＝2﹣a，
{m−1=a+2
根据题意得： ，
n+1=2−a
{m=a+3
解得： ，
n=1−a
代入得：2m﹣n＝2a+6﹣1+a＝3a+5，
当3a+5＝8，即a＝1时，满足2m﹣n＝8，即以方程组的解为坐标的点B（x，y）是巧妙点．
总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
第二部分 专题提优训练
1．（2022 春•滨海县月考）若方程（a﹣6）x|a|﹣5+5y＝1 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a 的值为
（ ）
A．±6 B．﹣6 C．±5 D．5
思路引领：根据二元一次方程的定义解答即可．
解：∵（a﹣6）x﹣y|a|﹣5＝1是关于x，y的二元一次方程，
{ a−6≠0
∴ ，
|a|−5=1
解得a＝﹣6．故选：B．
总结提升：本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知数，
并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2．（2021春•银海区期中）若（R﹣2）x|R|﹣1﹣3y＝2是关于x，y的二元一次方程，那么3R﹣2的值为（
）
A．4 B．﹣8 C．8 D．4或﹣8
思路引领：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
{ R−2≠0
解：根据题意得： ，
|R|−1=1
解得R＝﹣2，
∴3R﹣2＝﹣6﹣2＝﹣8，
故选：B．
总结提升：此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像
这样的整式方程叫做二元一次方程．
{ x=3 {ax+by=1
3．（2021春•平凉期末）如果 是方程组 的解，则a2008+2b2008的值为（ ）
y=−2 ax−by=5
A．1 B．2 C．3 D．4
{3a−2b=1
思路引领：将方程组的解代入方程组可得关于a、b的二元一次方程组 ，再求解方程组即可
3a+2b=5
求解．
{ x=3 {ax+by=1
解：∵ 是方程组 的解，
y=−2 ax−by=5
{3a−2b=1①
∴ ，
3a+2b=5②
①+②得，a＝1，
将a＝1代入①得，b＝1，
∴a2008+2b2008＝1+2＝3，
故选：C．
总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题
的关键．
二．解答题（共8小题）
{x=2 { ax+ y=b
4．若 是方程组 的解，求a、b的值．
y=1 4x−by=3a−1{x=2 { ax+ y=b
思路引领：把 代入方程组 ，然后解关于a，b的方程组即可．
y=1 4x−by=3a−1
{x=2 { ax+ y=b
解：把 代入方程组 ，
y=1 4x−by=3a−1
{ 2a+1=b
得： ，
8−b=3a−1
8
{a=
解得： 5 ，
21
b=
5
8 21
故a= ，b= ．
5 5
总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是掌握用代入法解方程组．
5．已知二元一次方程px+2y＝8，5x﹣6y＝4，2x+5y﹣8＝0有公共解，求p的值．
{ 5x−6 y=4
思路引领：解方程组 得x，y的值，再代入px+2y＝8求解即可．
2x+5 y−8=0
68
{x=
解：解方程组{ 5x−6 y=4 得 37，
2x+5 y−8=0 32
y=
37
68 32 58
代入px+2y＝8，得 p+2× =8，解得p= ．
37 37 17
总结提升：本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是求出方程组公共解．
{ax+by=6 {x=3
6．（2021秋•金寨县期末）解方程组 时，甲同学因看错a符号，从而求得解为 ，乙因看
x+cy=4 y=2
{ x=6
漏c，从而求得解为 ，试求a，b，c的值．
y=−2
思路引领：甲同学因看错a符号，把x＝3，y＝2代入x+cy＝4，求出c，因看错a符号，得﹣3a+2b＝
6，乙因看漏c，把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6，组成新的二元二次方程组，解出即可．
解：∵甲同学因看错a符号，
∴把x＝3，y＝2代入x+cy＝4，
1
得c= ，
2
﹣3a+2b＝6．∵乙因看漏c，
∴把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6，
得6a﹣2b＝6，
{−3a+2b=6
得 ，
6a−2b=6
解得，a＝4，b＝9；
1
综上所述，a＝4，b＝9，c= ．
2
总结提升：本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握做题的方法是解题关键．
{x=2 {mx+ny−7=0
7．（2019秋•平桂区 期末）已知 是二元一次方程组 的解，求m+3n的值．
y=1 nx+my−2=0
思路引领：把方程组的解代入方程组求出m与n的值，即可求解．
{x=2 {mx+ny−7=0 {2m+n−7=0
解：把 代入方程组 ，得 ，
y=1 nx+my−2=0 2n+m−2=0
{m=4，
解方程组，得
n=−1
{m=4
把 代入m+3n，得m+3n＝4+3×（﹣1）＝1．
n=−1
总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
{2x+3 y=10 {bx−ay=8
8．（2021春•娄底月考）已知方程组 与方程组 的解相等，试求a、b的值．
ax+by=9 4x−3 y=2
思路引领：两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意
两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．
{2x+3 y=10 {x=2
解：由已知可得 ，解得 ，
4x−3 y=2 y=2
{x=2 {ax+by=9
把 代入剩下的两个方程组成的方程组 ，
y=2 bx−ay=8
{2a+2b=9
得 ，
2b−2a=8
1
{a=
解得 4 ．
17
b=
41
{a=
故a、b的值为 4 ．
17
b=
4
总结提升：解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力．
{ x+2y=3k
9．（2018春•岳麓区校级期中）（1）已知关于x，y方程组 的解满足x﹣y＝3，求k的值；
2x+ y=2k+1
（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．
思路引领：（1）方程组中两式相减后可得x﹣y＝1﹣k，再根据条件即可求出k的值．
（2）根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
{ x+2y=3k①
解：（1）∵ ，
2x+ y=2k+1②
∴②﹣①得：x﹣y＝1﹣k，
∵x﹣y＝3，
∴1﹣k＝3，
∴k＝﹣2．
{x+2y=−6①
（2）将k＝﹣2代入 ，
2x+ y=−3②
①×2得：2x+4y＝﹣12③
②﹣③得：﹣3y＝9，
∴y＝﹣3，
将y＝﹣3代入①得：x﹣6＝﹣6，
∴x＝0，
{ x=0
∴方程组的解为
y=−3
总结提升：本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题
型．
{ 2x+ y=5 { 5x−4 y=6
10．已知方程组 与 有公共解，求a、b的值．
ax−by=−4 2ax−3by=2
思路引领：由于两方程组有公共解，所以可把方程①和方程③联立为一个方程组进行求解，然后把所
求结果代入方程②和方程④中，形成一个关于a、b的二元一次方程组，解答即可．
{ 2x+ y=5① { 5x−4 y=6③
解：在方程组 与 ，
ax−by=−4② 2ax−3by=2④{ 2x+ y=5 {ax−by=−4
因为有公共解，所以有 和 ．
5x−4 y=6 2ax−3by=2
{x=2
由第一组可解得 ，
y=1
{2a−b=−4
代入第二组，得 ，
4a−3b=2
{a=−7
解得 ．
b=−10
总结提升：本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关
键．
{x+2y=a
11．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
2x−y=1
{x=1
（1）当方程组的解为 时，求a的值．
y=1
（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．
{x=−2
（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将 代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．
y=−2
小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．
{x=1 {x+2y=a
思路引领：（1）将 代入方程组 即可求a的值；
y=1 2x−y=1
（2）用加减消元法求方程组的解即可；
{x=−2 {x=−2
（3） 不是方程2x﹣y＝1的解，因此 不是方程组的解．
y=−2 y=−2
{x=1 {x+2y=a
解：（1）∵ 是方程组 的解，
y=1 2x−y=1
∴1+2×1＝a，
∴a＝3；
（2）∵a＝﹣2，
{x+2y=−2①
∴ ，
2x−y=1②
②×2得，4x﹣2y＝2③，
①+③得，5x＝0，
∴x＝0，
将x＝0代入②得，y＝﹣1，{ x=0
∴方程组的解为 ；
y=−1
（3）不正确，理由如下：
{x=−2
将 代入方程2x﹣y＝1，
y=−2
可得2×（﹣2）﹣（﹣2）＝﹣2≠1，
{x=−2
∴ 不是方程组的解，
y=−2
∴解法不正确．
点睛：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会用加
减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
