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第 02 讲 整式的乘除
课程标准 学习目标
①单项式×单项式
1. 掌握单项式×单项式，多项式，多项式×多项式的运
②单项式×多项式
算法则并能够熟练应用。
③多项式×多项式
2. 掌握单项式初单项式，多项式÷单项式的运算法则
④单项式÷单项式
并能够熟练应用。
⑤多项式÷多项式
知识点01 单项式×单项式
1. 单项式×单项式的运算法则：
系数 ，同底数幂分别 。对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它的
作
为积的一个因式。
如： ＝ ＝
题型考点：①单项式×单项式的计算。
【即学即练1】
1．计算
（1）4y•（﹣2xy2） （2）（﹣ x2）•（﹣4x）
（3）（3m2）•（﹣2m3）2 （4）（﹣ab2c3）2•（﹣a2b）3【即学即练2】
2．计算：
（1）（2x2）3﹣x2•x4； （2）（﹣an）3（﹣bn）2﹣（a3b2）n；
（3）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7﹣（﹣5a3）3；
（4）（﹣ ）1000×（﹣10）1001+（ ）2023×（﹣3 ）2022．
知识点02 单项式×多项式
1. 单项式×多项式的运算法则：
单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的 。再把所得的积 。若有同类
项，则一定要合并同类项。
说明：
题型考点：①单项式×多项式的计算。
【即学即练1】
3．计算下列各题．
（1）3a2b（﹣4a2b+2ab2﹣ab）； （2） ．
【即学即练2】4．计算：
（1）（﹣5x）•（3x2﹣4x+5）： （2）﹣2a•（3ab2﹣5ab3）：
（3）（﹣a2b）（2a﹣ab+3b）； （4）﹣2xn•（﹣3xn+1+4xn﹣1）．
知识点03 多项式×多项式
1. 多项式×多项式的运算法则：
用一个多项式的 乘以另一个多项式的 ，再把所得的积 。若有同
类项，一定合并同类项。
说明：
题型考点：①多项式×多项式的计算。
【即学即练1】
5．计算：
（1）（x﹣6）（x2+x+1）﹣x（2x+1）（3x﹣1）；
（2）（2x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（2x﹣1）．
【即学即练2】
6．计算：
（1）（﹣2x2y3）3•（5x3y4z）2； （2）（3x﹣5）（2x+1）； （3）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）．
知识点04 整式的除法
1. 单项式÷单项式的运算法则：
单项式除以单项式，系数 ，同底数幂 。对于只在被除式里面出现的字母，连同
它的 作为商的一个因式。对于只在除数式里面出现的字母，连同它的指数作为商的分母。
说明：
2.
多项式÷单项式的运算法则：
多项式÷单项式，用多项式的 去除以单项式，再把得到的商相加。
说明：
题型考点：①单项式÷单项式、多项式÷单项式的计算。
【即学即练1】
7．计算：
（1）a5÷a3； （2）（﹣x4）÷（﹣x3）； （3）（8x8）÷（2x3）；
（4）（12m2）÷（3m）； （5）20x3y5z÷（﹣5x2y3）； （6）（2ab）5÷（2ab）3；
（7）（6m3﹣4m2）÷2m； （8） ．
【即学即练2】8．计算：
（1）（x4）2÷（x2）2÷x2﹣x2 （2）28x3y4÷（﹣4x2y2）
（3）（12m6n6p5）÷（﹣3m2n4p）÷（﹣2m3n2p4） （4）
（5） ．题型01 整式的乘除运算
【典例1】
计算：
（1）（x2y）3•（﹣2xy3）2； （2）（xny3n）2+（x2y6）n；
（3）（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2； （4）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a）6．
【典例2】
计算：
（1）a3•a4•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2． （2）a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2．
（3）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
【典例3】
化简：
（1）2（2x2﹣xy）+x（x﹣y）； （2）ab（2ab2﹣a2b）﹣（2ab）2b+a3b2．
【典例4】
计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）． （2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【典例5】
计算：
（1）﹣3a（2a﹣4b+2）+6a； （2）（x﹣2y）（2x+y）．
【典例6】
计算：
（1）4（a+b）+2（a+b）﹣5（a+b）； （2）（﹣18a2b+10b2）÷（﹣2b）．
【典例7】
计算：
（1） ； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
题型02 化简求值
【典例1】
先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．【典例2】
先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【典例3】
先化简，再求值： ，其中x＝﹣3， ．
【典例4】
化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
【典例5】
（1）先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3），其中x＝2；（2）已知x﹣y＝﹣3，求代数式（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3的值．
题型03 不含项与无关问题
【典例1】
已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．
（1）求m与n的值．
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【典例2】
若（x2+px﹣ ）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+3pq的值．【典例3】
已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．
（1）求m，n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【典例4】
（1）试证明代数式（2x+3）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16的值与x的值无关．
（2）若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2和x3的项，求m，n的值．【典例5】
已知代数式A＝2x2﹣3xy+2x﹣ ，B＝x2﹣6xy﹣x﹣1，C＝a（x2﹣1）﹣b（2x+1）．
（1）化简2A﹣B所表示的代数式；
（2）若代数式2A﹣B﹣C值与x的取值无关，求出a、b的值．
【典例6】
已知A，B是关于x，y的多项式，某同学在计算多项式A﹣3B的结果时，不小心把表示B的多项式弄脏了，
现在只知道A＝3x2+ax﹣3y+2，A﹣3B＝（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10．
（1）试求B表示的多项式．
（2）若多项式A﹣3B的值与字母x的取值无关，求9a+b的值．题型04 粗心大意错解题
【典例1】
小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为﹣2x2
﹣2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果．
【典例2】
小明在进行两个多项式的乘法运算时（其中的一个多项式是 b﹣1），把“乘（b﹣1）”错看成“除以（b
﹣1）”，结果得到（2a﹣b），请你帮小明算算，另一个多项式是多少？【典例3】
在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：
x2+x﹣6．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果．
【典例4】
小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：（x2+3x﹣2）（x﹣a）．
（1）小万在做题时不小心将x﹣a中的x写成了x2，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值；
（2）小鹿在做题时将x2+3x﹣2中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的
值可能是多少？题型05 整式的乘除与面积问题
【典例1】
数学课上，老师和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A
型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为c的正方形．
（1）请用含a、c的代数式分别表示出B型卡片的长x和宽y，以及B型卡片的面积S；
（2）如果a＝10，c＝3，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积S长方形 ．
【典例2】
如图，某社区在一块长和宽分别为（x+2y）m，（2x+y）m的长方形空地上划出两块大小相同的边长为ym
的正方形区域种植花草（数据如图所示，单位：m），留下一块“T”型区域建休闲广场（阴影部分）．
（1）用含x，y的式子表示休闲广场的面积并化简；
（2）若|y﹣5|+（x﹣2）2＝0，请计算休闲广场的面积．【典例3】
如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进
行广场硬化，阴影部分是边长为b米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．
【典例4】
如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平
行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．1．下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a5＝a10 B．（a2）3＝a6
C．（3ab）2＝3a2b2 D．a6÷a2＝a3
2．计算（2m+1）（3m﹣2），结果正确的是（ ）
A．6m2﹣m﹣2 B．6m2+m﹣2 C．6m2﹣2 D．5m﹣1
3．若2a＝3，2b＝4，则2a+2b等于（ ）
A．7 B．12 C．48 D．32
4．数学老师讲了单项式乘多项式后，请同学们自己编题，小强同学编题如下：﹣2x（﹣2y+x+□）＝4xy﹣
2x2+6x．你认为□内应填写（ ）
A．﹣12x B．﹣12 C．3 D．﹣3
5．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．16．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
7．若（x+2）（x﹣n）＝x2+mx+2，则m﹣n的值是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．﹣6
8．如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（3a+2b），宽为
（a+3b）的大长方形，那么需要C类卡片的张数是（ ）
A．11 B．9 C．6 D．3
9．计算：（4a3b4﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝ ．
10．已知（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，则qp＝ ．
11．已知A＝x，B是多项式，在计算B+A时，小明把B+A看成B÷A，计算结果是x+1，则B+A＝ ．
12．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m 为正整数），面积分别为 S 、S ．
1 2
（1）请比较S 与S 的大小：S S ．
1 2 1 2
（2）满足条件4＜n＜|S ﹣S |的整数n有且只有4个，则m＝ ．
1 2
13．（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
14．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中 x的系数，得到的结果为 2x2﹣
9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
15．如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池
（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
16．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
