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专题15 二次函数中的矩形、菱形
类型一 二次函数中的矩形
1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点
B的横坐标为﹣1
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以
A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)P点坐标为（2，0）或（0，1）
【解析】
【分析】
（1）把顶点B的横坐标﹣1代入对称轴方程 ，可解得b得值；将b，A（﹣3，0）代入y＝﹣x2＋
bx＋c可得c的值，继而可得到抛物线L的函数表达式；
（2）由抛物线L与L′关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形，可得P为矩形ABCD对角线的
交点，PA＝PC＝PB＝PD；因为P在坐标轴上，所以本题需分两种情况进行分析①当P在x轴上时，设点
P坐标为（x，0）②当P在y轴上时，设点P坐标为（0，y），然后根据矩形的性质可求解．
(1)
解：∵顶点B横坐标为﹣1，∴
解得b＝﹣2；
将A（﹣3，0）代入，得0＝﹣9+6+c；
解得c＝3；
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
(2)
解：由（1）可求出B的坐标为（﹣1，4）；
∵抛物线L与L′关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形；
∴P为矩形ABCD对角线的交点；
∴PA＝PC＝PB＝PD；
①当P在x轴上时：
设点P坐标为（x，0）；
∴PB2＝（x+1）2+42＝PA2＝（x+3）2；
解得x＝2，
∴P（2，0）．
②当P在y轴上时：
设点P坐标为（0，y）；
∴PB2＝（﹣1）2+（4﹣y）2＝PA2＝（﹣3）2+y2；
解得y＝1；
∴P（0，1）．
即综上所述，P点坐标为（2，0）或（0，1）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及矩形的性质是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 ， 两点，直线
交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，
DG分别交直线BC，AB于点E，F．(1)求b和c的值；
(2)H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．
(1)
∵抛物线y= -x2 + bx + c过A(0，-2)，B(4， 0)两点，
∴ ，
解得 ，
∴
故答案为：b= ，c=-2
(2)
①如图1中，过点H作HM⊥EF于M，∵四边形BEHF是矩形，
∴EH//BF，EH= BF，
∴∠HEF=∠BFE，
∵∠EMH=∠FGB= 90°
∴△EMH≌△FGB (AAS)，
∴MH=GB，EM=FG，
∴HM=OG，
∴OG= GB= OB=2，
∵A(0，-2)， B(4，0)，
∴直线AB的解析式为y= x- 2，
设E(a，-2a+8)，F(a， a-2)，
由MH = BG得到，a-0=4-a，
∴a= 2，
∴E(2，4)， F(2，-1)，
∴ FG= 1，
∵ EM= FG，
∴4- = 1，
∴yH =3，∴H(0， 3)．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考压轴题．
3．如图，抛物线与 轴交于 、 两点（ 点 在点 的左侧），点 坐标 ，抛物线与 轴交于点
，点 为抛物线顶点，对称轴 与 轴交于点 ，连接 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线上一动点，点 是平面上一点，若以点 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，直接写
出满足条件的点 的横坐标．
(1)
解：由题意得： ，
解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
(2)解：设点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ，
当 是边时，
点 向右平移 个单位向上平移 个单位得到点 ，
同样 向右平移 个单位向上平移 个单位得到点 ，且 ，
或 ，
联立 并解得 舍去 或 ；
联立 并解得 舍去 或 ，
故 或 ；
当 是对角线时，
由中点公式和 得： ，
联立 并解得 ，
综上，点 的横坐标为 或 或 ．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
4．抛物线 与 轴交于另一点 ， 两点．与 轴交于 ， 为抛物线的顶点．(1)求 ， ， ， 的坐标；
(2)点 是 轴上一动点，点 为平面内任意一点，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形，直接写
出点 的坐标．
(1)
令 ，则 ，
或 ，
， ，
令 ，则 ，
，
，
顶点 ；
(2)
(3)
设 ， ，
当 、 为矩形的对角线时，
，
， ，
，，
或 ，
或 ；
当 、 为矩形的对角线时，
，
， ，
，
，
，
；
当 、 为矩形的对角线时，
，
， ，
，
，
，
；
综上所述：点 的坐标为 或 或 或
【点睛】
本题是二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象
及性质，矩形的性质是解题的关键．5．综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，过点 作 轴与抛
物线交于另一点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是 轴上的一个点，点 是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 ，使得以
为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)
将 ， 代入抛物线 ，
得
解得
∴抛物线的表达式为 ；
(2)
存在，点 的坐标为 或 .
理由如下：
如图2，过点 作 轴的垂线交 的延长线于点 ，则 ，当 时， ，
解得 或3.
∴点 的坐标为 .
∴ .
①如图2，当 为矩形的边时，过点 作 轴，交 轴于点 .
∵ ，
∴ .
∴
∴ ，即
∴
同理，可求得 .
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴
∴ ；②如图2，当 为矩形的对角线时，过点 作 轴交 的延长线于点
同理可得
∴
∴
∴ .
∵ ，
∴易得
∴ ，
∴ ，点 的纵坐
∴ ，
③以 为对角线这种情况不存在.
综上所述，存在点 ，使得以 为顶点的四边形是矩形，点 的坐标为 或 .
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代
数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ( )与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接
BC，OA=1，对称轴为 ，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点
P的坐标．
(1)
解： 抛物线 的对称轴为 ，
，
，
，且点A在 轴负半轴上，
，
将点 代入 得： ，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
(2)
设点 的坐标为 ，
由题意，分以下三种情况：
①当 为矩形 的边时，则 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，即 ；
②当 为矩形 的边时，则 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，即 ；
③当 为矩形 的对角线时，则 ，
，即 ，
解得 或 ，
或 ；
综上分析可知，点P的坐标为(2， )或(2， 6)或(2，4)或(2， )．
【点睛】
本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），
分三种情况讨论是解题关键．
类型二 二次函数中的菱形
7．如图，二次函数 （ ）的图象经过点 ，与x轴分别交于点A，点 ．
(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；
(2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点 ，当四边形 为菱形时，
求点P的坐标；
(1)
解： 二次函数 （ ）的图象经过点 ，与x轴点 ．
，解得：
所以抛物线的解析式为
(2)解：如图，四边形 为菱形，
解得：
点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，
即
8．如图，已知直线 与抛物线 交于点P( ，4)，与 轴交于点A，与 轴交于点
C，PB⊥ 轴于点B，且AC=BC，若抛物线的对称轴为 ，且S PBC=8．
△(1)求直线和抛物线的函数解析式；
(2)物线上是否存在点D，使以B、C、P、D为顶点的四边形是为菱形?如果存在，求出点D的坐标；如果
不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)存在，点D的坐标为（8，2）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，构建方程组即可解决问题；
（2）首先证明CB＝CP，作CD⊥PB，则CD平分PB，当PB平分CD时，四边形BCPD为菱形，此时点D
的坐标为（8，2），只要证明点D在抛物线上即可；
(1)
解：∵PB⊥x，P（a，4），S PBC＝8，
△
∴ ，PB＝4，
∴ ，
∴OB＝4，
∴点P的坐标为（4，4），
∵AC＝BC，
∴ ABC是等腰三角形
∵ △CO⊥AB，
∴OA＝OB＝4，
∴ 点A的坐标是（﹣4，0），
把点A、P的坐标代入y＝kx+b得：，
解得： ，
∴直线的解析式为 ，
∵ 的对称轴为 ，且经过点P（4，4），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
(2)
解：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠CAB+∠APB＝∠CBA+∠CBP＝90°，
∴∠APB＝∠CBP，
∴CB＝CP，
作CD⊥PB，则CD平分PB，
当PB平分CD时，四边形BCPD为菱形，
此时点D的坐标为（8，2），把x＝8代入 ，
得 ，
∴点D在抛物线上，
∴在抛物线上存在点D，使四边形BCPD为菱形，
此时点D的坐标为（8，2）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数
法解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
9．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点H是抛物线的顶点，在x轴上有一点M，平面内是否存在点N，使得以A、H、M、N为顶点的四边
形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由
(1)
解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴ ，∴ ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
(2)
解：把y＝﹣x2+2x+3化成顶点式为y＝﹣（x-1）2+4；
所以，顶点H坐标为（1，4），
∵A（3，0），
∴ ，
①当四边形ANMH为菱形时，AM为对角线，如图，
点M与点C重合，点N与点H关于x轴对称，
∴N点坐标为（1，-4）；
②当四边形AMNH为菱形时，如图，
∴HN∥x轴，HN＝AH ，
∴N点坐标为（1 ，4）或（1 ，4）；③当四边形AMHN为菱形时，如图，
设M点坐标为（m，0），
∵AM=MH，
∴ ，
解得，m=-2，
MA=HN=5，
∴N点坐标为（6，4）；
综上所述：点N的坐标分别为：（6，4）或（1 ，4）或（1 ，4）或（1，-4）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股
定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
10．如图，一次函数 的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数 的图象
经过B，C两点，并与x轴交于点A．点 是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作
x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD．(1)求这个二次函数的解析式．
(2)求DE、CE的值（用含m的代数式表示）．
(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
(1)
对于一次函数 ，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴B(3，0)，C(0，3)．
∵二次函数 的图象经过B，C两点，
∴ ，
解得： ，
∴该二次函数解析式为 ；
(2)
根据题意可知 ，
∵点 是线段OB上一个动点（不与点O、B重合，
∴ ．
∵点D在二次函数图象上，点E在一次函数图象上，∴ ， ，
∴ ，
；
(3)
由（2）可知 ， ，
∴ ， ．
又可求出 ．
∵以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形，
故可分类讨论①当CD=CE时，即 ，
∴ ，
解得： （舍）， （舍），
∴此时M(1，0)；
②当CD=DE时，即 ，
∴ ，解得： （舍），
∴此时M(2，0)；
③当CE=DE时，即 ，
∴ ，
解得： （舍）， （舍），
∴此时M( ，0)．
综上可知存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形，点M的坐标为(1，0)或(2，0)或( ，0)．
【点睛】
本题为二次函数综合题．考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和
性质，相似三角形的判定，菱形的性质等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
11．如图，抛物线 与 轴交于A， 两点，且 ，与 轴交于点 ，连接 ，抛物
线对称轴为直线 ， 为第一象限内抛物线上一动点，过点 作 于点 ，与 交于点 ，
设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是抛物线对称轴上的一点，点 是坐标平面内的一点，是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为
顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)
设 ，则 ，则点A、 的坐标分别为 、 ，则 ，解得： ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，
则抛物线的表达式为： ，
解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
(2)
如图，共有五个满足的P点，
由菱形的性质可知，
当 时， 即
当 时， 即
当 时，设P 到x轴的距离为n
3
则有， ，解得，n= 即
当 时， 即
当 时， 即点坐标： 或 或 或 或
【点睛】
本题主要考查了二次函数、一次函数、菱形的性质，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用
是解题的关键．
12．综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴
与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线BC上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点
的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．
(1)解：∵抛物线 与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
(2)
解：存在．理由如下：
∵点M在直线BC上，直线BC的解析式为 ，
∴设M(x，-x+3)，
分三种情况：
第一种情况，当CD是菱形对角线时，则有菱形ANDM，如图，
∵菱形ADMN，
∴CM=DM,
∵C(0，3)，D(1，0)，
∴x2+(-x+3-3)2=(x-1)2+(-x+3)2,
解得：x= ，
当x= 时，则y=-x+3= ，
∴M（ ， ）；
第二种情况，当CM是菱形对角线时，则有菱形CDMN，如图，
∵C(0，3)，D(1，0)，
∴CD=∵菱形ADMN，
∴DM=CD= ,
∴(x-1)2+(-x+3)2=10，
解得x=4，x=0（舍去），
1 2
当x=4时，y=-x+3=-1，
∴M(4，-1)；
第三种情况，当DM是菱形对角线时，则有菱形CDNM，如图，
∵菱形CDMN，
∴CM=CD= ，
∴x2+(-x+3-3)2=10，
解得：x= ,x=- ，
1 2
∴y=3+ , y=3- ,
1 2∴M( ,3- ), M(- ,3+ );
1 2
综上，以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形时，点M的坐标为( ， )或(4，-1)或( ,3- )或(- ,3+
)．
【点睛】
本题考查二次函数与特殊三角形、特殊四边形的综合、一次函数的综合，涉及用待定系数法求函数解析式，
最短距离问题，函数图象和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识，综合性较强，属
中考试压轴题．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在 轴上，抛物线 经过
点B， 两点，且与直线DC交于一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的
四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(1)
解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，OA＝4，∴ ，故点B的坐标为 ，
把B、D两点代入抛物线的解析式得
则 ，
解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
(2)
解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 ，故设点F的坐标为 ，
由点B、E的坐标得， ，
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
当 时，
解得 ，
如图2所示，当 时，则 ，
解得， ，
如图3所示，故点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想
把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
