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第 03 讲 乘法公式
课程标准 学习目标
1. 能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，
掌握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应
①平方差公式 用。
②完全平方公式 2. 能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意
义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公
式进行应用。
知识点01 平方差公式
1. 平方差公式的内容：
两个数的和乘以两个数的差等于这两个数 的差。即 。
注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。
2. 式子特点分析：
：两个二项式相乘，若其中一项 ，另一项 ，则等
于他们 项的平方减去 项的平方。
3. 平方差公式的几何背景：
如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。图①的面积为：图②的面积为： 图①与图②的面积相等。所以
； ；
题型考点：①平方差公式的计算。②利用平方差公式求值。③平方差公式的几何背景应用。④利用平
方差公式简便计算。
【即学即练1】
1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x）
C．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y） D．（x﹣1）（﹣x+1）
【即学即练2】
2．计算：
（1）（a+b）（a﹣2）； （2） ；
（3）（m+n）（m﹣n）； （4）（0.1﹣x）（0.1+x）； （5）（x+y）（﹣y+x）．
【即学即练3】
3．若x﹣y＝2，x2﹣y2＝6，则x+y＝ ．
【即学即练4】
4．已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【即学即练5】
5．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长
方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【即学即练6】
6．20142﹣2013×2015的计算结果是 ．
知识点02 完全平方公式1. 完全平方公式的内容：
①完全平方和公式：
两个数的和的平方，等于这两个数的 的和 这两个数乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
②完全平方差公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的 的和 这两个数的乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
2. 式子特点分析：
：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 加上这两项
的 。注意每一项都包含前面的符号。
巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。
3. 完全平方公式的几何背景：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图 2 的面积即可得到：
。
4. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
题型考点：①完全平方公式的计算。②利用完全平方公式求值。③完全平方公式的几何背景。
【即学即练1】
7．运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2； （2） ； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2．
【即学即练2】
8．计算：
（1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2．（3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2．
【即学即练3】
9．已知xy＝9，x﹣y＝﹣3，则x2+3xy+y2的值为（ ）
A．27 B．9 C．54 D．18
【即学即练4】
10．已知：a+b＝5，ab＝3，求：
（1）a2+b2； （2）（a﹣b）2．
【即学即练5】
11．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2
C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy
【即学即练6】
12．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成
一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab
和（2a+b）2的数量关系．知识点03 完全平方式
1. 完全平方式的定义：
若一个整式A，可以写成另一个整式B的平方的形式，即 ，则我们称整式A是一个完全平方
式。
2. 式子特点分析：
：一个三项式，其中两项可以写成 的形式，第三项是平方两项底
数乘积的 ，则可以写成 或 的平方。若第三项与平方两项的符号相同，
则是底数 的平方，若第三项与平方两项的符号相反，则是底数 的平方。
题型考点：①平方式写成平方的运算。②根据完全平方式的特点求值。
【即学即练1】
13．下列各式中，运算结果为1﹣2xy2+x2y4的是（ ）
A．（﹣1+xy2）2 B．（﹣1﹣xy2）2
C．（﹣1+x2y2）2 D．（﹣1﹣x2y2）2
【即学即练2】
14．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
【即学即练3】
15．已知多项式x2+6x+m是一个关于x的完全平方式，则m的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C．36 D．﹣36
知识点04 乘法公式的拓展应用
1. 平方差公式的拓展：
两个三项式相乘，若他们的项中只存在 的项和 的项，则可以用平方差公式计
算。它等于 的平方减去 的平方。把相等项或相反数项存在两项的看成一个整体。
即： 。
2. 完全平方公式的拓展：一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式的计算方法计
算。把其中两项看成一个整体。
即：
题型考点：①拓展应用。
【即学即练1】
16．在下列等式中，A和B应表示什么式子？
（1）（a+b+c）（a﹣b+c）＝（A+B）（A﹣B）；
（2）（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B）．
【即学即练2】
17．（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝ ．
【即学即练3】
18．计算：（m+2n﹣p）2．
【即学即练4】
19．计算题：
（1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．
题型01 平方差公式与完全平方公式的计算
【典例1】
利用乘法公式计算：
（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y） （2）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．【典例2】
计算下列各题：
（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）
（2）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2．
【典例3】
计算：
（1）（ x+2y）2+（ x﹣2y）2； （2）（a﹣b+c）2．
【典例4】
求（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．
题型02 利用乘法公式简便运算
【典例1】
利用乘法公式简便计算．
（1）2020×2022﹣20212． （2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．
【典例2】计算：
（1）20232﹣2022×2024； （2）112+13×66+392．
【典例3】
利用乘法公式计算：
（1）3252﹣2752； （2）295×305﹣2982．
【典例4】
用因式分解的相关方法，进行简便计算：
（1）20232﹣20222． （2）9992+2×999+12．
题型03 利用乘法公式求值
【典例1】
已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝ ，则x﹣y＝ ．
【典例2】
若a2﹣b2＝ ，a+b＝ ，则a﹣b的值为（ ）
A． B． C． D．2
【典例3】
已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（ ）
A．42 B．28 C．54 D．66【典例4】
若有理数a、b满足a2+b2＝5，（a+b）2＝9，则﹣4ab的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【典例5】
已知a+b＝3，ab＝﹣10．求：
（1）a2+b2的值； （2）（a﹣b）2的值．
【典例6】
已知：x+y＝5，xy＝3．
求：①x2+5xy+y2； ②x4+y4．
题型04 乘法公式与几何
【典例1】
图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成
一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图②请你写出下列三个代数式；（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b＝3，ab＝﹣2，求：（a+b）2的值；
②已知：a ＝1，求：（a ）2的值．【典例2】
如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形
拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的边长为 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝4，则（x﹣y）2＝ ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是 ．
【典例3】
如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）如果a+b＝8，ab＝14，求阴影部分的面积．1．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（a﹣2b）（2a﹣b） B．（﹣a+2b）（﹣a﹣2b）
C．（a+2b）（﹣2a+b） D．（2a﹣b）（﹣2a+b）
2．已知m+n＝3，m﹣n＝4，则m2﹣n2的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．25 D．﹣25
3．若多项式x2+（k﹣3）xy+4y2是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±7 B．7或﹣1 C．7 D．﹣1
4．王大爷家有一块边长为m米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西
向减少2米．则改造后的菜地与原来的菜地相比（ ）
A．面积相等 B．面积增加了4平方米
C．面积减少了4平方米 D．无法确定
5．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）A．10 B．11 C．12 D．13
6．有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、
图乙中阴影的面积分别为14与36，则正方形B的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．当x＝1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（ ）
A．16 B．8 C．﹣8 D．﹣16
8．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），结果是（ ）
A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣1
9．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝ ．
10．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边在AB的两侧作正方形，设AB＝8，两个正方形的面积
和为40，即S +S ＝40，则图中阴影部分的面积为 ．
1 2
11．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
．
12．若（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝100，则（x﹣2023）2＝ ．
13．如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行
绿化，中间的边长为（a+b）米的空白的正方形地块将修建一个凉亭．（1）用含有a，b的式子表示绿化总面积．
（2）若a＝4，b＝3，求出此时的绿化总面积．
14．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图
2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是 ．
（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求3x﹣4y的值．
（3）计算： ．
15．如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： ，
方法2： ；
（2）从中你得到什么等式？ ；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6， ，求x2+y2的值；
②已知（2019﹣x）2+（x﹣2022）2＝49，求（2019﹣x）（x﹣2022）的值．
