文档内容
专题19.1 二次根式及其性质
（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）
【原卷版】
知识荟萃
1
知识点梳理01：二次根式的定义.......................................................1
知识点梳理02：二次根式的基本性质...................................................2
题型讲练...............................................................................2
题型1：二次根式的识别..............................................................2
题型2：求二次根式的值..............................................................2
题型3：求二次根式中的参数..........................................................2
题型4：二次根式有意义的条件........................................................3
题型5：利用二次根式的性质化简......................................................3
中考真题...............................................................................3
分层训练...............................................................................4
基础夯实...........................................................................4
培优拔高...........................................................................5
知识点梳理01：二次根式的定义
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“❑√❑”叫做二次根号，a叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“❑√❑”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如m❑√a（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数；
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式❑√A−B与❑√B−A都有意义,则有A=B.知识点梳理02：二次根式的基本性质
（1）❑√a≥0；a≥0（双重非负性）.
（2） ；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.
(❑√a) 2=a
{ a (a>0)
（3）❑√a2=|a|=
0 (a=0)
（算术平方根的意义）.
−a (a<0)
题型1：二次根式的识别
【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√−7 √33x ❑√m2+2 ❑√a
【变式训练1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是( )
A． B． C． D．
❑√−3 −√32a ❑√a2+2 ❑√a2−9
【变式训练2】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．❑√x B．❑√2025 C．√32 D．❑√−4
题型2：求二次根式的值
【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当x=12时，二次根式❑√x−3的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）当 时，二次根式 的值是 ．
x=1 ❑√5−x2
【变式训练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当x=11时，二次根式❑√x−2的值为 ．
题型3：求二次根式中的参数
【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果❑√3+2m是一个正整数，则整数m的值可以是（
）
A．0 B．3 C．−6 D．−2
【变式训练1】（24-25八年级下·浙江温州·月考）当x= 时，二次根式❑√x−2的值为0．
【变式训练2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当x的值为 时，❑√5x−1+4的值最小，这个最
小值为 ．题型4：二次根式有意义的条件
【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期中）若二次根式❑√x−3有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x<3 B．x≠3 C．x≥3 D．x>3
【变式训练1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若式子❑√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围
是（ ）
A．x≥−2 B．x>−2 C．x≥2 D．x≤2
【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）若 ，则 的值为
❑√a−1+❑√1−a=(a+b) 2 a−b
（）
A．1 B．2 C．3 D．5
题型5：利用二次根式的性质化简
【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若❑√18n是正整数，则满足条件n的最小正整数值为
．
【变式训练1】（24-25八年级下·青海海西·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简
的结果是 ．
|a−b|−❑√a2
【变式训练2】（24-25八年级下·青海海西·期中）若 ，则 的取值范围是
m−❑√1−2m+m2=1 m
（ ）
A．m>1 B．m<1 C．m≥1 D．m≤1
1．（2024·广西钦州·中考真题）已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：
|9−k|+❑√(1−k) 2=
（ ）
A．8 B．−8 C．2k−10 D．10−2k
2．（2024·山东德州·中考真题）若 ，则（ ）
x+❑√(3−x) 2=3
A．x>3 B．x<3 C．x≥3 D．x≤3
3．（2024·全国·中考真题）将一组数❑√2,2,❑√6,2❑√2,❑√10,2❑√3,⋯,❑√2n,⋯，按以下方式进行排列：第一行 ¿ ❑√2 ¿
2❑√2¿¿❑√10¿¿2❑√3¿…¿¿¿…¿¿¿
第二行 ¿2 ¿❑√6 ¿
则第七行左起第5个数是 ．
4．（2024·福建厦门·中考真题）已知m，n是两个连续的正奇数，m7 D．x<8
2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（ ）
√1
A．√38 B．❑√−5 C．❑√x2+1 D．❑
x
3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式❑√5−a有意义的a的取值范围是（ ）
A．a≠5 B．a>5 C．a≤5 D．a<6
4．（2025·江苏连云港·二模）使❑√x−5有意义的x的取值范围是 ．
5．（24-25八年级下·北京海淀·开学考试）要使二次根式❑√5−2a有意义，则a的取值范围是 ．
6．（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： ．
❑√(−5) 2=
7．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式❑√2025−y有意义，y的值可以是 ．
8．（2024八年级下·福建南平·竞赛）计算：
(❑√2−1) 2 −|3−2❑√2)+(π+3.2)0−
(1) −2
2
9．（24-25八年级下·广东阳江·月考）若y=❑√1−x+❑√x−1+2，则2x+ y是多少？10．（24-25八年级下·河南漯河·期末）（1）计算：❑√27−|❑√3−2|−❑√3
（2）解方程：
2(x+1) 2−49=1
培优拔高
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果a满足|2025−a|+❑√a−2026=a，那么a−20252的值为
（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数 满足 ，则 的
p，x，y ❑√x−❑√y=❑√p2−4❑√5 x+ y+p
值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
13．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知 ，当 分别取
y=3−x+❑√(2−x) 2 x 1，2，3，⋯，2026
时，所对应y值的总和是（ ）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
14．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程1+❑√4x+1=k无实数解，那么k的取值范围是
．
15．（2024·山西·模拟预测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
．
❑√(a+2) 2+|b−2)+|a−b)=
16．（2024·湖南·模拟预测）要使二次根式❑√2x+5有意义，则x 的取值范围为 ．
17．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，求
s=❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ +
12 22 22 32 20232 20242
不超过s的最大整数[s]= ．
18．（24-25八年级下·上海·自主招生）非负实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，设
p=❑√3a+1+❑√3b+1+❑√3c+1+❑√3d+1，求p的最值．19．（2024·河南周口·模拟预测） 计算∶ (−1) −1−❑√27+ ( − 1) 0 +|1−3❑√3)
2
{ x+ y=k ①)
20．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ，有一个
x−y=k+2 ②
解为正数．
(1)求k的取值范围；
(2)化简： ．
|3k+4)−❑√(k+1) 2
