文档内容
专题19.1 二次根式及其性质
（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）
【解析版】
知识荟萃
1
知识点梳理01：二次根式的定义.......................................................1
知识点梳理02：二次根式的基本性质...................................................2
题型讲练...............................................................................2
题型1：二次根式的识别..............................................................2
题型2：求二次根式的值..............................................................3
题型3：求二次根式中的参数..........................................................4
题型4：二次根式有意义的条件........................................................5
题型5：利用二次根式的性质化简......................................................6
中考真题...............................................................................7
分层训练...............................................................................9
基础夯实...........................................................................9
培优拔高..........................................................................13
知识点梳理01：二次根式的定义
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“❑√❑”叫做二次根号，a叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“❑√❑”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如m❑√a（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数；
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式❑√A−B与❑√B−A都有意义,则有A=B.知识点梳理02：二次根式的基本性质
（1）❑√a≥0；a≥0（双重非负性）.
（2）(❑√a) 2=a；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.
{ a (a>0)
（3）
❑√a2=|a|=
0 (a=0) （算术平方根的意义）.
−a (a<0)
题型1：二次根式的识别
【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A．❑√−7 B．√33x C．❑√m2+2 D．❑√a
【答案】C
【思路点拨】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如❑√a(a≥0)的式子是二次根式，依
据定义即可判断．
【规范解答】解：A、∵−7<0，∴❑√−7不是二次根式，故此选项错误；
B、√33x根指数是3，不是二次根式，故此选项错误；
C、∵m2+2≥2，∴❑√m2+2是二次根式，故此选项正确；
D、当a<0时，❑√a不是二次根式，故此选项错误；
故选：C．
【变式训练1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是( )
A．❑√−3 B．−√32a C．❑√a2+2 D．❑√a2−9
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解．
【规范解答】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数．
对于A：被开方数为−3<0，不符合；
对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
对于C：∵a2≥0，∴a2+2≥2>0，恒成立，故一定是二次根式；
对于D：当|a)<3时，a2−9<0，被开方数为负，不是二次根式．∴ 只有C一定是二次根式．
故选：C．
【变式训练2】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．❑√x B．❑√2025 C．√32 D．❑√−4
【答案】B
【思路点拨】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如❑√a (a≥0)，这样的式子叫做二次根式，进
行判断即可．
【规范解答】解：A、当x<0时，❑√x不是二次根式，不符合题意；
B、❑√2025是二次根式，符合题意；
C、√32不是二次根式，不符合题意；
D、❑√−4，−4<0，不是二次根式，不符合题意；
故选B．
题型2：求二次根式的值
【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当x=12时，二次根式❑√x−3的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路点拨】本题考查求二次根式的值，将x=12代入二次根式 ❑√x−3中，计算被开方数的值，再求其算
术平方根．
【规范解答】当x=12时，
❑√x−3=❑√12−3=❑√9=3，
故选：C．
【变式训练1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）当x=1时，二次根式❑√5−x2的值是 ．
【答案】2
【思路点拨】本题考查二次根式的求值，将x=1代入二次根式中求解即可．
【规范解答】解：当x=1时，❑√5−x2=❑√5−1=❑√4=2，
故答案为：2．
【变式训练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当x=11时，二次根式❑√x−2的值为 ．
【答案】3
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．
将x=1代入二次根式，即可计算求值．【规范解答】解：∵x=11，
∴❑√x−2=❑√11−2=❑√9=3．
故答案为：3．
题型3：求二次根式中的参数
【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果❑√3+2m是一个正整数，则整数m的值可以是（
）
A．0 B．3 C．−6 D．−2
【答案】B
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可．
【规范解答】解：A、当m=0时，3+2m=3，❑√3+2m=❑√3，不是一个正整数，故此选项不符合题意；
B、当m=3时，3+2m=9，❑√3+2m=❑√9=3，是一个正整数，故此选项符合题意；
C、当m=−6时，3+2m=−9，❑√3+2m=❑√−9，没有意义，故此选项不符合题意；
D、当m=−2时，3+2m=−1，❑√3+2m=❑√−1，没有意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1】（24-25八年级下·浙江温州·月考）当x= 时，二次根式❑√x−2的值为0．
【答案】2
【思路点拨】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．
当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零．
【规范解答】解：根据题意可得：x−2=0，解得：x=2．
故答案为：2．
【变式训练2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当x的值为 时，❑√5x−1+4的值最小，这个最
小值为 ．
1
【答案】 4
5
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质❑√a≥0(a≥0)解答即可，掌握二次根式的
性质是解题的关键．
【规范解答】解：∵❑√5x−1≥0，
1
∴当5x−1=0时，即x= ，❑√5x−1取最小值0，
5
此时❑√5x−1+4的值最小，最小值为0+4=4，
1
故答案为： ，4．
5题型4：二次根式有意义的条件
【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期中）若二次根式❑√x−3有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x<3 B．x≠3 C．x≥3 D．x>3
【答案】C
【思路点拨】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
根据二次根式有意义的条件作答即可．
【规范解答】解：∵二次根式❑√x−3有意义，
∴x−3≥0，
∴x≥3．
故选：C．
【变式训练1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若式子❑√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围
是（ ）
A．x≥−2 B．x>−2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】C
【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，再通过解不等式得到x的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件，解题中用到的方法是利用“二次根式的被开方数为非负数”这一性质列
不等式求解．解题关键是牢记二次根式有意义的核心条件，准确列出并解出不等式．易错点是混淆被开方
数的符号要求，错误地认为被开方数可以为负数，或在解不等式时符号处理出错．
【规范解答】∵❑√x−2在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，
∴x≥2．
因此，x的取值范围是x≥2．
故选C
【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）若❑√a−1+❑√1−a=(a+b) 2，则a−b的值为
（）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【思路点拨】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定a=1，代入原方程
求出b=−1，最后计算a−b的值．
【规范解答】解：∵❑√a−1和❑√1−a在实数范围内有定义，
∴a−1≥0且1−a≥0，∴a≥1且a≤1，
∴a=1．
代入原方程：
❑√1−1+❑√1−1=0+0=0，
∴(a+b) 2=0，
∴a+b=0，
∵a=1，
∴1+b=0，
∴b=−1．
∴a−b=2．
故选：B．
题型5：利用二次根式的性质化简
【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若❑√18n是正整数，则满足条件n的最小正整数值为
．
【答案】2
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，先化简❑√18n=3❑√2n，再结合❑√18n是正整数，故❑√2n是正整
数，即可求出满足条件的n的最小正整数值．
【规范解答】解：依题意，❑√18n=3❑√2n，
∵❑√18n是正整数，
∴❑√2n是正整数，
∴满足条件的n的最小正整数值是2，
故答案为：2．
【变式训练1】（24-25八年级下·青海海西·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简
|a−b|−❑√a2的结果是 ．
【答案】−b
【思路点拨】由数轴可得到a>0，b<0，|a)<|b)，根据❑√a2=|a)和绝对值的性质即可得到答案．本题考查了二次根式的性质与化简：❑√a2=|a|.也考查了绝对值的性质．
【规范解答】解：观察数轴得：a>0，b<0，|a)<|b)，
∴原式=a−b−|a|
=a−b−a
=−b．
故答案为：−b．
【变式训练2】（24-25八年级下·青海海西·期中）若m−❑√1−2m+m2=1，则m的取值范围是
（ ）
A．m>1 B．m<1 C．m≥1 D．m≤1
【答案】C
【思路点拨】把式子化为❑√(1−m) 2=m−1，再根据二次根式的性质得出m−1≥0，求出即可．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，❑√a2=a，当a<0时，❑√a2=−a
【规范解答】解：∵m−❑√1−2m+m2=1，
∴❑√(1−m) 2=m−1，
∴m−1≥0，
∴m≥1，
故选：C．
1．（2024·广西钦州·中考真题）已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：|9−k|+❑√(1−k) 2=
（ ）
A．8 B．−8 C．2k−10 D．10−2k
【答案】A
【思路点拨】此题考查三角形的三边关系，化简绝对值及二次根式，熟练掌握三角形三边关系得到k的取
值范围是解题的关键，
先根据三角形三边关系得到5−33 B．x<3 C．x≥3 D．x≤3
【答案】D
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，由x+❑√(3−x) 2=3，则❑√(3−x) 2=3−x，所以|3−x)=3−x，
从而可得3−x≥0，然后求解即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【规范解答】解：∵x+❑√(3−x) 2=3，
∴❑√(3−x) 2=3−x，
∴|3−x)=3−x，
∴3−x≥0，解得x≤3，
故选：D．
3．（2024·全国·中考真题）将一组数❑√2,2,❑√6,2❑√2,❑√10,2❑√3,⋯,❑√2n,⋯，按以下方式进行排列：
第一行 ¿ ❑√2 ¿
2❑√2¿¿❑√10¿¿2❑√3¿…¿¿¿…¿¿¿
第二行 ¿2 ¿❑√6 ¿
则第七行左起第5个数是 ．
【答案】2❑√13
【思路点拨】本题考查二次根式中的规律探究，观察可知，第n行共n个数，最后一个数字为❑√n(n+1)，
且每一个数的被开方数均为2的倍数，进行求解即可．
【规范解答】解：❑√2=❑√1×2,❑√6=❑√2×3,2❑√3=❑√12=❑√3×4⋯，
∴第n行共n个数，最后一个数字为❑√n(n+1)，
∴第七行的最后一个数为：❑√7×8=❑√56，
∴第七行左起第5个数是：❑√52=2❑√13；
故答案为：2❑√13．
4．（2024·福建厦门·中考真题）已知m，n是两个连续的正奇数，m7 D．x<8【答案】A
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数必须非负，因此x−8≥0，即可作答．
【规范解答】解：∵要使❑√x−8成立，
∴x−8≥0，
解得x≥8，
故选：A．
2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（ ）
√1
A．√38 B．❑√−5 C．❑√x2+1 D．❑
x
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如❑√a(a≥0)的式子叫做二次根式，熟练掌握
二次根式的定义是解此题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案．
【规范解答】∵二次根式需满足根指数为2且被开方数≥0，
对于A：√38，根指数为3，不是二次根式；
对于B：❑√−5，被开方数−5<0，无意义，不是二次根式；
对于C：❑√x2+1，∵x2≥0，x2+1≥1>0，恒成立，是二次根式；
√1 1
对于D：❑ ，当x<0时， <0，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子；
x x
故选C．
3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式❑√5−a有意义的a的取值范围是（ ）
A．a≠5 B．a>5 C．a≤5 D．a<6
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此进行列式
计算，即可作答．
【规范解答】解：∵❑√5−a有意义，
∴5−a≥0，
∴a≤5，
故选：C．
4．（2025·江苏连云港·二模）使❑√x−5有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x≥5
【思路点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出x−5≥0，然后正确的解不等式即可．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答．
【规范解答】解：∵❑√x−5有意义，
∴x−5≥0，
即x≥5．
故答案为：x≥5．
5．（24-25八年级下·北京海淀·开学考试）要使二次根式❑√5−2a有意义，则a的取值范围是 ．
5
【答案】a≤
2
【思路点拨】此题考查了二次根式有意义的条件，
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零．
【规范解答】解：∵二次根式❑√5−2a有意义，
∴5−2a≥0，
5
∴a≤ ．
2
5
故答案为：a≤ ．
2
6．（24-25八年级下·广西河池·期末）计算：❑√(−5) 2= ．
【答案】5
【思路点拨】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握❑√a2=|a|（a为任意实数）．
先计算被开方数(−5) 2的值，再根据二次根式的性质求算术平方根．
【规范解答】解：❑√(−5) 2=❑√25=5．
故答案为：5．
7．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式❑√2025−y有意义，y的值可以是 ．
【答案】2025（答案不唯一）
【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题
的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而得到y的取值，再选取一个符合条
件的值．
【规范解答】解：∵ 二次根式❑√2025−y有意义的条件是被开方数非负，
∴ 2025−y≥0，∴ y≤2025，
∴ 取y=2025（满足y≤2025），
故答案为：2025（答案不唯一）
8．（2024八年级下·福建南平·竞赛）计算：(❑√2−1) 2 −|3−2❑√2)+(π+3.2)0−
(1) −2
2
【答案】−3
【思路点拨】本题考查了完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幂的运算，负整数指数幂的运算，
正确运算是解决本题的关键．
根据完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幂的运算，负整数指数幂计算即可．
【规范解答】解：(❑√2−1) 2 −|3−2❑√2)+(π+3.2)0−
(1) −2
2
=2−2❑√2+1−(3−2❑√2)+1−4
=2−2❑√2+1−3+2❑√2+1−4
=−3．
9．（24-25八年级下·广东阳江·月考）若y=❑√1−x+❑√x−1+2，则2x+ y是多少？
【答案】4
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于零求解x的值，再计算出y的值，求解即可．
【规范解答】解：∵y=❑√1−x+❑√x−1+2，
{1−x≥0) {x≤1)
∴ ，解得 ，
x−1≥0 x≥1
即x=1，
∴y=❑√1−1+❑√1−1+2=2，
∴2x+ y=2+2=4．
10．（24-25八年级下·河南漯河·期末）（1）计算：❑√27−|❑√3−2|−❑√3
（2）解方程：2(x+1) 2−49=1
【答案】
（1）3❑√3−2
（2）x=4或x=−6
【思路点拨】本题考查求二次根式的性质化简，化简绝对值，运用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）先计算各部分，再进行加减计算即可；
（2）对原方程进行整理，利用平方根的定义解方程即可．
【规范解答】（1）解：❑√27−|❑√3−2|−❑√3
=3❑√3−(2−❑√3)−❑√3
=3❑√3−2+❑√3−❑√3
=3❑√3−2
（2）解：2(x+1) 2−49=1
∴2(x+1) 2=50，
∴(x+1) 2=25，
∴x+1=5或x+1=−5
∴x=4或x=−6
培优拔高
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果a满足|2025−a|+❑√a−2026=a，那么a−20252的值为
（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根
据取值范围化简绝对值是解题的关键．
本题由方程中的❑√(a−2026)可知a≥2026，从而|2025−a)=a−2025，代入原方程化简后平方求解a，
再计算a−20252的值．
【规范解答】解：∵❑√(a−2026)有意义
∴a−2026≥0，即a≥2026
∵a≥2026
∴|2025−a)=a−2025
代入原方程：
(a−2025)+❑√(a−2026)=a
化简得：❑√(a−2026)=2025两边平方：a−2026=20252
∴a=20252+2026．
∴a−20252=(20252+2026)−20252=2026．
故选：C．
12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数p，x，y满足❑√x−❑√y=❑√p2−4❑√5，则x+ y+p的
值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【思路点拨】本题考查了二次根式与实数的应用，完全平方公式，平方根，代数式求值．
将等式两边平方，利用有理数与无理数的对应关系，结合x、y、p为正整数的条件，解出x、y、p的值．
【规范解答】解：∵❑√x−❑√y=❑√p2−4❑√5，且p，x，y为正整数，
∴(❑√x−❑√y) 2=(❑√p2−4❑√5) 2 ，❑√x−❑√y>0
即x+ y−2❑√xy=p2−4❑√5，x>y，
∵p，x，y为正整数，
∴x+ y=p2,−2❑√xy=−4❑√5，
即❑√xy=2❑√5=❑√20，
∴x+ y=p2,xy=20，
①当x=20,y=1时，p2=21，不符合题意，舍去；
②当x=10,y=2时，p2=12，不符合题意，舍去；
③当x=5,y=4时，p2=9，即p=3或−3（不符合题意，舍去）；
∴x+ y+p=5+4+3=12．
故选B．
13．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知y=3−x+❑√(2−x) 2，当x分别取1，2，3，⋯，2026
时，所对应y值的总和是（ ）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
【答案】D
【思路点拨】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的y值，当x取3,4,5⋯，2026时，， ，代入化简得 ，由此可解．
2−x<0 ❑√(2−x) 2=x−2 y=1
【规范解答】解：当x取1时，y=3−1+❑√(2−1) 2=3−1+1=3，
当x取2时，y=3−2+❑√(2−2) 2=3−2+0=1，
当x取3,4,5⋯，2026时，2−x<0，
y=3−x+❑√(2−x) 2=3−x+(x−2)=3−x+x−2=1，
所以对应y值的总和是：3+1+(2026−2)×1=2028，
故选D．
14．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程1+❑√4x+1=k无实数解，那么k的取值范围是
．
【答案】k<1
【思路点拨】本题考查解无理方程，二次根式有意义的条件，能得出关于k的不等式k−1<0是解此题的
关键．
移项后得出❑√4x+1=k−1，根据方程1+❑√4x+1=k无实数解得出k−1<0，再求出k的范围即可．
【规范解答】解：1+❑√4x+1=k，
❑√4x+1=k−1，
∵方程1+❑√4x+1=k无实数解，
∴k−1<0，
解得：k<1，
故答案为：k<1．
15．（2024·山西·模拟预测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
❑√(a+2) 2+|b−2)+|a−b)= ．
【答案】4
【思路点拨】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关
键．
根据数a、b在数轴上的位置得到−20，b−2<0，a−b<0，再根据
二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项．【规范解答】解：根据数轴，得−20，b−2<0，a−b<0
∴ ❑√(a+2) 2+|b−2)+|a−b)
=|a+2)+|b−2)+|a−b)
=a+2−(b−2)−(a−b)
=a+2−b+2−a+b
=4．
故答案为：4．
16．（2024·湖南·模拟预测）要使二次根式❑√2x+5有意义，则x 的取值范围为 ．
5
【答案】x≥−
2
【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解．本题主要考查了二次
根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【规范解答】解：要使二次根式❑√2x+5有意义，则2x+5≥0，
2x≥−5，
5
x≥− ．
2
5
故答案为：x≥− ．
2
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
17．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设s=❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + ，求
12 22 22 32 20232 20242
不超过s的最大整数[s]= ．
【答案】2023
【思路点拨】先对每一项的根式进行化简，找出规律，再将所有项相加求和，最后确定不超过和的最大整
数．本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式的化简方法和裂项相消法是
解题的关键．
√ 1 1
【规范解答】解：∵ ❑1+ +
n2 (n+1) 2
√n2 (n+1) 2+(n+1) 2+n2
=❑
n2 (n+1) 2√[n(n+1)] 2+2n2+2n+1
=❑
n2 (n+1) 2
√(n(n+1)+1) 2
=❑
n2 (n+1) 2
n(n+1)+1
=
n(n+1)
1 1
=1+ − ，
n n+1
( 1) ( 1 1) ( 1 1 )
∴s= 1+1− + 1+ − +⋯+ 1+ −
2 2 3 2023 2024
( 1 1 1 1 1 )
=2023×1+ 1− + − +⋯+ −
2 2 3 2023 2024
1
=2023+1−
2024
1
=2024− ，
2024
∴[s]=2023
故答案为：2023．
18．（24-25八年级下·上海·自主招生）非负实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，设
p=❑√3a+1+❑√3b+1+❑√3c+1+❑√3d+1，求p的最值．
【答案】p的最小值为5，p的最大值为2❑√7
【思路点拨】本题考查了不等式的性质，二次根式的性质，根据题意得出0≤a≤1，进而得出
a+1≤❑√3a+1，同理，b+1≤❑√3b+1，c+1≤❑√3c+1，d+1≤❑√3d+1，即可求解．
【规范解答】解：∵非负实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，
∴0≤a≤1，
∴a(1−a)≥0，
∴a2−a≤0，
∴a2+2a+1≤3a+1，
∴a+1≤❑√3a+1，
同理，b+1≤❑√3b+1，c+1≤❑√3c+1，d+1≤❑√3d+1，
∴p=❑√3a+1+❑√3b+1+❑√3c+1+❑√3d+1≥a+1+b+1+c+1+d+1=5．∴p的最小值为5．（当a，b，c，d满足其中一个数是1，另外三个数是0时，可取最小值5）
∵(m−n) 2≥0，
∴2m2+2n2≥m2+n2+2mn=(m+n) 2，
∴m+n≤❑√2m2+2n2，当且仅当m=n时取等号，
∴p=❑√3a+1+❑√3b+1+❑√3c+1+❑√3d+1，
≤❑√2(❑√3a+1) 2+2(❑√3b+1) 2+❑√2(❑√3c+1) 2+2(❑√3d+1) 2
=❑√2(3a+1)+2(3b+1)+❑√2(3c+1)+2(3d+1)
=❑√6a+6b+4+❑√6c+6d+4
≤❑√2(❑√6a+6b+4) 2+2(❑√6c+6d+4) 2
≤❑√2(6a+6b+4)+2(6c+6d+4)
=❑√12(a+b+c+d)+16
=❑√12+16
=2❑√7
∴当且仅当
{3a+1=3b+13c+1=3d+1)
，即a=b=c=d=
1
时，p的最大值为2❑√7．
6a+6b+4=6c+6d+4 4
19．（2024·河南周口·模拟预测） 计算∶ (−1) −1−❑√27+ ( − 1) 0 +|1−3❑√3)
2
【答案】−1
【思路点拨】根据运算顺序先分别进行负指数幂的计算、二次根式的化简、零指数幂的运算、绝对值的化
简，然后再进行加减法运算即可．
本题考查了负指数幂的计算、二次根式的化简、零指数幂的运算、绝对值的化简，熟练掌握公式和运算法
则是解题的关键．
【规范解答】解：(−1) −1−❑√27+ ( − 1) 0 +|1−3❑√3)
2
=−1−3❑√3+1+3❑√3−1=−1．{ x+ y=k ①)
20．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ，有一个
x−y=k+2 ②
解为正数．
(1)求k的取值范围；
(2)化简：|3k+4)−❑√(k+1) 2．
【答案】(1)k>−1
(2)2k+3
【思路点拨】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式的应用，绝对值与二次根式的化简．
（1）先求出方程组的解，再根据有一个解为正数列出不等式，求解即可；
（2）由k>−1得到3k+4>0，k+1>0，再根据绝对值与二次根式的性质进行化简即可．
{ x+ y=k ①) {x=k+1)
【规范解答】（1）解：解方程组 得 ，
x−y=k+2 ② y=−1
∵方程组有一个解为正数，
∴k+1>0，
∴k>−1．
（2）解：∵k>−1，
∴3k+4>0，k+1>0
∴|3k+4)−❑√(k+1) 2=(3k+4)−(k+1)=3k+4−k−1=2k+3．
