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专题19.3 二次根式的加法与减法
（知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）
【原卷版】
知识荟萃
1
知识点梳理01：同类二次根式......................................................................................................................................1
知识点梳理02：二次根式的加减.................................................................................................................................2
知识点梳理03：二次根式的混合运算........................................................................................................................2
题型讲练....................................................................................................................................................2
题型1：同类二次根式......................................................................................................................................................2
题型2：二次根式的加减运算........................................................................................................................................2
题型3：二次根式的混合运算........................................................................................................................................3
题型4：分母有理化...........................................................................................................................................................3
题型5：已知字母的值，化简求值...............................................................................................................................3
题型6：已知条件式，化简求值...................................................................................................................................4
题型7：比较二次根式的大小........................................................................................................................................4
题型8：二次根式的应用..................................................................................................................................................4
题型9：复合二次根式的化简........................................................................................................................................5
中考真题....................................................................................................................................................5
分层训练....................................................................................................................................................6
基础夯实.................................................................................................................................................................................6
培优拔高.................................................................................................................................................................................8
知识点梳理01：同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
分配律，如
知识点梳理02：二次根式的加减
1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不
变。
知识点梳理03：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算
括号里面的（或先去掉括号）
题型1：同类二次根式
【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若❑√2与最简二次根式❑√2m−6可以合并，则m的值为
（ ）
A．m=4 B．m=3 C．m=5 D．m=6
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式❑√3x−4与❑√5是同类二次根式，
则x的值是
【变式训练2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 ❑√2是同类二次根式的是
（ ）
A．❑√24 B．❑√18 C．❑√12 D．❑√9
题型2：二次根式的加减运算
【典例精讲】（23-24八年级下·河南新乡·期中）若a+❑√12=❑√27，则表示实数a的点会落在数轴的
（ ）A．段①上 B．段②上 C．段③上
【变式训练1】（2023·浙江杭州·中考真题）计算：❑√2−❑√8= ．
【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
(2❑√3) 2=2×3=6 4❑√3−3❑√3=1
C．❑√9+16=❑√9+❑√16 D．2❑√5×3❑√2=6❑√10
题型3：二次根式的混合运算
【典例精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ．
(2❑√3+❑√6)(2❑√3−❑√6)−(❑√2−1) 2
【变式训练1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）计算： (❑√24−❑√6)÷❑√6+(❑√6) 0 × (1) −1．
6
【变式训练2】（24-25八年级下·云南红河·期末）计算：
√1
❑√27+(❑√5−❑√2)(❑√5+❑√2)−❑√12×❑ −❑√6÷❑√2．
3
题型4：分母有理化
a−1 a2−2a+1
【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）先化简，再求值： ÷ ，其中a=❑√2+1．
a−2 2a−4
2 1
【变式训练1】（25-26八年级下·四川成都·月考）比较大小： （填“>”、“<”或“
❑√5+1 2
=”）．
【变式训练2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）先化简，再求值：(2m+1
)
m2−1，其中
−1 ÷
m mm=❑√3+2．
题型5：已知字母的值，化简求值
【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知m=2+❑√3，n=2−❑√3，求下列各式的值．
(1)m2n+mn2．
1 1
(2) − ．
m n
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若a=❑√2+1，b=❑√2−1，求代数式a2+b2+7ab的
值．
【变式训练2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若x=❑√5+2，则代数式x2−4x+7的值为
．
题型6：已知条件式，化简求值
√ y √ x
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知xy=3，求x❑ + y❑ 的值．
x y
1 1
【变式训练1】（24-25八年级下·山东日照·月考）已知a= ，b= ，求
3−❑√5 ❑√5−2
a2−b2 (a2+b2 )的值．
÷ +1
ab(a−b) 2ab
1 1
【变式训练2】（24-25八年级下·广西·期中）已知a−
=❑√7，则a2+
的值为 ．
a a2题型7：比较二次根式的大小
【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）比较大小：4❑√2 2❑√7．
❑√5−1 3
【变式训练1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 a= ，b= ，那么a， b的大小关
2 4
系是 a b（填“>”或者“<”）．
❑√5+1
【变式训练2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小： ❑√3．（填>，<，=）
2
题型8：二次根式的应用
【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知三角形的三边的长分别为❑√27cm，❑√48cm，
❑√75cm，求三角形的周长．（结果化为最简）
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为50❑√2，长为2❑√10，宽
为❑√10．
(1)求这个长方体的高；
(2)求这个长方体的表面积．
【变式训练2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在长方形ABCD中，无重叠放入面积分别为
18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ．
题型9：复合二次根式的化简
【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简2❑√4+2❑√3−❑√21−12❑√3的结果为 ．
【变式训练1】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算：❑√5−2❑√6−❑√5+2❑√6【变式训练2】（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知❑√a+4+❑√a−1=5，则❑√6−2❑√a=
（ ）
A．❑√3−1 B．❑√3+1 C．❑√5−1 D．2a
1．（2024·河南郑州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
|❑√3−2)=❑√3−2 ❑√2+❑√3=❑√5
C．❑√6÷❑√3=❑√3 D．❑√2×❑√5=❑√10
2．（2024·贵州贵阳·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．❑√2+❑√3=❑√5 B．3❑√2−❑√2=3
C．2❑√3×3❑√3=6❑√3 D．6❑√2÷3❑√2=2
3．（2024·四川南充·中考真题）如图，菱形ABCD与菱形AECF中，E，F在BD上，
❑√6+❑√2
∠ABD=∠EAF=30°，下列结论：①BD=❑√3CD；②BE=❑√2AE；③AB= AF；④
2
AB⋅EF=AE2，正确的有 个．
4．（2024·全国·中考真题）如图，四边形ABCD中，
∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,AB=1,AD=2，在BC、 CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最
小，则最小值为 ．5．（2024·云南丽江·中考真题）计算： ❑√(−2) 2+❑√2×❑√8+ (1) −1 −(1−❑√3) 0+❑√18 ．
2
基础夯实
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：❑√3，❑√8，❑√15，❑√24，…，
则第6个二次根式为（ ）
A．❑√30 B．❑√35 C．❑√42 D．❑√48
2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）按一定规律排列的实数：❑√2，2，❑√6，❑√8，❑√10，…，第200
个数是（ ）
A．10 B．❑√200 C．20 D．❑√800
3．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：① ，② ，③ ，④ ，
❑√a11 ❑√a5 a4 a
且告知a>1．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列
排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④
4．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算3❑√2+❑√2−5❑√2=
5．（24-25八年级下·云南红河·期末）化简❑√12−❑√3的结果是 ．
6．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式❑√3m−1与❑√2是同类二次根式，则m的值为．
7．（24-25八年级下·四川泸州·期中）❑√3−1的倒数是 ．
8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，
在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长
a+b+c
直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p= ，那么这个三角形
2
的面积 ．
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
如图，在△ABC中，a=8，b=4，c=6．求△ABC的面积．
9．（24-25八年级下·云南红河·期末）计算：
(−1) 2025+|−❑√2)+
(1) −1
−(2024−π) 0+(❑√2+1)(❑√2−1)
3
10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空
中的宇宙飞船内的时间经过
❑
√
1−
(v) 2秒（
c=3×105
千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一
c
艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是2.4×105千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的
时间经过了几分钟？培优拔高
11．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的
6−❑√13 x y (2x+❑√13)y
值是（ ）
A．4−❑√13 B．4+❑√13 C．29 D．3
12．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2+❑√5=2❑√5 ❑√5−❑√3=❑√2 (❑√5) 2=5 ❑√(−6) 2=−6
13．（24-25八年级下·重庆·期末）已知x+2y+6=4❑√x+1+2❑√2y，则xy的值为（ ）
1 3
A．0 B． C．1 D．
2 2
1 2
14．（23-24八年级下·上海·期末）计算： + = ．
1−❑√2 ❑√2
15．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝
{❑√m−❑√n(m≥n))，计算 的结果为 ．
(8※3)×(18※27)
❑√m+❑√n(m0、b>0，
∴a，<或者=）
(2)猜想m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5之间的大小关系，并证明．
❑√2−1 ❑√2+1
19．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知x= ，y= ，求x2y+x y2的值．
2 220．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算：
(1) ；
|1−❑√2|+√38−❑√2−❑√4
√1
(2)❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24．
2
