第03讲平方差和完全平方公式（知识解读+真题演练+课后巩固)（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2024版

第 03 讲 平方差和完全平方公式 1. 掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含 义； 2. 学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公 式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题 知识点1：平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 注意：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的 变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 知识点3：完全平方公式 ab2 a2 2abb2 完全平方公式： (ab)2  a2 2abb2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的 平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab ab2 ab2 4ab 知识点4：拓展、补充公式 (x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3 ； ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； . 【题型1 平方差公式运算】 【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a+2）（3a﹣2）＝ 9 a 2 ﹣ 4 ． 【答案】9a2﹣4． 【解答】解：（3a+2）（3a﹣2）＝9a2﹣4． 故答案为：9a2﹣4． 【变式1-1】（2023春•蕉城区校级月考）若 a+b＝1，a﹣b＝2022，则a2﹣b2＝ 2022 ． 【答案】2022． 【解答】解：∵a+b＝1，a﹣b＝2022，∴（a+b）（a﹣b） ＝a2﹣b2 ＝1×2022 ＝2022． 故答案为：2022． 【变式1-2】（2023春•双峰县期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝ 1 6 a 2 ﹣ b 2 ． 【答案】16a2﹣b2． 【解答】解：原式＝（4a）2﹣b2 ＝16a2﹣b2． 故答案为：16a2﹣b2． 【变式1-3】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝ 4 x 2 ﹣ 9 y 2 ． 【答案】4x2﹣9y2． 【解答】解：（2x﹣3y）（3y+2x） ＝（2x）2﹣（3y）2 ＝4x2﹣9y2． 故答案为：4x2﹣9y2． 【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002． 【答案】﹣3995． 【解答】解：原式＝（2000﹣1）2﹣（2000﹣2）×（2000+2） ＝20002﹣4000+1﹣20002+4 ＝﹣3995． 【变式2-1】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024． 【答案】4． 【解答】解：20222﹣2020×2024 ＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2） ＝20222﹣（20222﹣4） ＝20222﹣20222+4 ＝4． 【变式2-2】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．【答案】1． 【解答】解：20222﹣2021×2023． ＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1） ＝20222﹣20222+1 ＝1． 【变式2-3】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1． 【答案】810000． 【解答】解：899×901+1 ＝（900﹣1）×（900+1）+1 ＝9002﹣1+1 ＝810000． 【题型2 平方差公式的逆运算】 【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣ 2y的值是 3 ． 【答案】3． 【解答】解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39， ∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39， ∴x﹣2y＝3． 故答案为：3． 【变式 3-1】（2023 春•辽阳期末）若 m2﹣n2＝6，且 m+n＝3，则 n﹣m 等于 ﹣ 2 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2， ∴m﹣n ＝（m2﹣n2）÷（m+n） ＝6÷3 ＝2， ∴n﹣m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式3-2】（2023春•广饶县期中）已知实数 a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为 1 0 ． 【答案】10． 【解答】解：∵a2﹣b2＝40， ∴（a+b）（a﹣b）＝40， ∵a﹣b＝4， ∴a+b＝10． 故答案为：10． 【变式3-3】（2023春•甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则 ＝ 1 ． 【答案】1． 【解答】解：∵m2﹣n2＝6，m+n＝3， ∴（m﹣n）（m+n）＝6， 则m﹣n的值是2， ∴ ＝1． 故答案为：1． 【题型3 平方差公式的几何背景】 【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一 个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： B ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值； ②计算： ； 【答案】（1）B； （2）a﹣b＝4； （3） ． 【解答】解：（1）第一个图形面积为 a2﹣b2，第二个图形的面积为（a+b） （a﹣b）， ∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：B； （2）∵a+b＝7，a2﹣b2＝28， ∴（a+b）（a﹣b）＝28，即7（a﹣b）＝28， ∴a﹣b＝4； （3）原式＝（1﹣ ）×（1+ ）×（1﹣ ）×（1+ ）×（1﹣ ）×（1+ ） ×...×（1﹣ ）×（1+ ） ＝ × × × × × ×...× × ＝ × ＝ ． 【变式4-1】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用． （1）如图1到图2的操作能验证的等式是 D ．（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+ab＝a（a+b） C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝ 2 ； （3）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①20232﹣2022×2024； ②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1． 【答案】（1）D； （2）2； （3）①1； ②332． 【解答】解：（1）如图，图1中阴影面积为a2﹣b2， 图2的阴影面积为（a+b）（a﹣b）， ∴图1到图2的操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：D； （2）∵4m2＝12+n2， ∴4m2﹣n2＝12即（2m+n）（2m﹣n）＝12， ∵2m+n＝6， ∴2m﹣n＝2， 故答案为：2； （3）①20232﹣2022×2024 ＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1） ＝20232﹣20232+1 ＝1； ②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1 ＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1 ＝（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1 ＝（38﹣1）×（38+1）×（316+1）+1 ＝（316﹣1）×（316+1）+1 ＝332﹣1+1 ＝332． 【变式4-2】（2023春•清远期末）如图 1，边长为a的大正方形中有一个边长 为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： C （选择正确 的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2； B．a2+ab＝a（a+b）； C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab （2）请应用（1）中的等式，解答下列问题： （1）计算：2022×2024﹣20232； （2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1． 【答案】（1）C；（2）①﹣1，2128． 【解答】解：（1）根据图1知：S ＝a2﹣b2.根据图2知：S ＝（a+b） 阴影 阴影 （a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：C．（2）①原式＝（2023﹣1）（2023+1）﹣20232 ＝20232﹣12﹣20232 ＝﹣1． ②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1 ＝（2128﹣1）+1 ＝2128． 【变式4-3】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为 a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两 个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． （1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （ a + b ） （ a ﹣ b ）＝ a 2 ﹣ b 2 ； （2）利用上述乘法公式计算： ①1002﹣98×102； ②（2m+n﹣p）（2m+n+p）． 【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）① 4；② 4m2+4mn+n2﹣ p2． 【解答】解：（1）两个图形中阴影部分面积一致，大小正方形面积之差等 于等腰梯形的面积，且等腰梯形的高为大小正方形边长差，故 ； 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）①1002﹣98×102 ＝1002﹣（100﹣2）（100+2） ＝1002﹣（1002﹣22）＝1002﹣1002+22 ＝4 ②（2m+n﹣p）（2m+n+p） ＝（2m+n）2﹣p2 ＝4m2+4mn+n2﹣p2． 【题型4 完全平方公式】 【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝ 8 x +1 6 ． 【答案】8x+16． 【解答】解：（x+4）2﹣x2＝x2+8x+16﹣x2＝8x+16， 故答案为：8x+16． 【变式5-1】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝ 6 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x2+y2＝10，xy＝2， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝10﹣4＝6． 故答案为：6． 【变式5-2】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为 ±12 ． 【答案】±12． 【解答】解：∵（2x﹣m）2＝4x2﹣4mx+m2， ∴m2＝9， ∴m＝±3， ∴n＝﹣4m＝±12． 故答案为：±12． 【变式5-3】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）． 【答案】3x+6． 【解答】解：原式＝x2+4x+4+2+x﹣2x﹣x2 ＝3x+6． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁 剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚 线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发 现标语可以拼成图②所示的一个大正方形． （1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积： 方法一：S ＝ （ m ﹣ n ） 2 ； 小正方形 方法二：S ＝ （ m + n ） 2 ﹣ 4 m n ； 小正方形 （2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn 这三个代数式之间的等量关系为 （ m + n ） 2 ＝（ m ﹣ n ） 2 + 4 m n ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值； ②已知：a﹣ ＝1，求： 的值． 【答案】（1）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （3）①1； ②5． 【解答】解：（1）方法1： ； 方法2： ， 故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （2）∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，（m﹣n）2+4mn＝m2﹣2mn+n2+4mn＝ m2+2mn+n2， ∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn， 故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （3）①a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ＝52+4×（﹣6） ＝25+（﹣24） ＝1； ② ＝12+4 ＝1+4 ＝5． 【变式6-1】（2023春•甘州区校级期中）图 1是一个长为2x、宽为2y的长方 形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图 2所示拼成 一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 x ﹣ y ． （2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： （ x ﹣ y ） 2 ；方法2： （ x + y ） 2 ﹣ 4 x y ． （3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy． （ x + y ） 2 ＝（ x ﹣ y ） 2 + 4 x y （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题： 若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝ 4 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝x﹣y； 故答案为：（x﹣y）； （2）方法①（x﹣y）2；方法②（x+y）2﹣4xy； 故答案为：（x﹣y）2 ，（x+y）2﹣4xy；（3）（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy； 故答案为：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy； （4）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣12＝4 故答案为：4． 【变式6-2】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的 长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成 一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数 式表示）． 方法一： （ m + n ） 2 ﹣ 4 m n ； 方法二： （ m ﹣ n ） 2 ． （2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的 等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数 a，b满足：a+b ＝6，ab＝5，求a﹣b的值． 【答案】（1）（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2； （2）代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系可表示为：（m+n） 2﹣4mn＝（m﹣n）2； （3）±4． 【解答】解：（1）由题意得， 图②中阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2， 故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2； （2）由（1）题可得， （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，∴代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系可表示为：（m+n）2﹣ 4mn＝（m﹣n）2； （3）由（2）题结果可得， （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， ∴a﹣b＝± ， ∴当a+b＝6，ab＝5时， a﹣b ＝± ＝± ＝ ＝±4． 【变式6-3】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝ 160，求（30﹣x ）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b． 则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣ x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80． 解决问题： （1）若 x 满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣ 2018）的值； （2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的 点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．【答案】（1）﹣ ； （2）384． 【解答】解：（1）设2021﹣x＝a，x﹣2008＝b．则a+b＝3， 而（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020＝a2+b2， ∴（2020﹣x）（x﹣2018）＝ab＝ ＝ ＝﹣ ； （2）由AB＝20，BC＝12，BE＝DF＝x，则CE＝12﹣x，CF＝20﹣x， ∵矩形CEPF的面积为160平方单位， ∴（12﹣x）（20﹣x）＝160， ∴S ＝CE2+FC2＝（12﹣x）2+（20﹣x）2， 阴影部分 设12﹣x＝m，20﹣x＝n，则mn＝160，m﹣n＝﹣8， ∴S ＝CE2+FC2＝（12﹣x）2+（20﹣x）2， 阴影部分 ＝m2+n2 ＝（m﹣n）2+2mn ＝64+320 ＝384， 即阴影部分的面积为384． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求： （1）ab的值； （2）（a﹣b）2的值； （3）a4+b4的值． 【答案】（1） ； （2）2； （3） ． 【解答】解：（1）∵a+b＝2， ∴（a+b）2＝4， 即a2+2ab+b2＝4， ∵a2+b2＝3， ∴3+2ab＝4， ∴ab＝ ； （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4× ＝2； （3）a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝（a2+b2）2﹣2（ab）2 ＝32﹣2×（ ）2 ＝9﹣ ＝ ． 【变式7-1】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3． （1）求（m+2）（n+2）的值； （2）求m2+n2的值． 【答案】（1）13；（2）42． 【解答】解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3， 所以（m+2）（n+2）＝mn+2m+2n+4 ＝mn+2（m+n）+4 ＝﹣3+2×6+4 ＝13． （2）m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝62﹣2×（﹣3） ＝36+6 ＝42． 【变式7-2】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12． （1）求xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（x+3）（y+3）＝12， ∴xy+3x+3y+9＝12， 则xy+3（x+y）＝3， 将x+y＝2代入得xy+6＝3， 则xy＝﹣3； （2）当xy＝﹣3、x+y＝2时， 原式＝（x+y）2+xy ＝22+（﹣3） ＝4﹣3 ＝1． 【变式7-3】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4． （1）求m2+n2的值． （2）求（m+2）（n﹣2）的值． 【答案】（1）44； （2）﹣12． 【解答】解：（1）因为m﹣n＝6，mn＝4， 所以m2+n2＝（m﹣n）2+2mn ＝62+2×4 ＝36+8 ＝44； （2）因为m﹣n＝6，mn＝4， 所以（m+2）（n﹣2） ＝mn﹣2m+2n﹣4 ＝mn﹣2（m﹣n）﹣4 ＝4﹣2×6﹣4 ＝﹣12． 1．（2023•深圳）下列运算正确的是（ ） A．a3•a2＝a6 B．4ab﹣ab＝4 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣a3）2＝a6 【答案】D 【解答】解：A，a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误，不合题意； B，4ab﹣ab＝3ab，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意； C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C选项错误，不合题意； D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（ ） A．13 B．8 C．﹣3 D．5 【答案】A 【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1， x2﹣4﹣2x＝1， x2﹣2x＝5， 所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13， 故选：A．3．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之 相对应的是（ ） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2 【答案】A 【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2， 由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成， 所以（a+b）2＝a2+2ab+b2． 故选：A． 4．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（ ） A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y2 【答案】A 【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2． 故选：A． 5．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ± 2 ． 【答案】±2． 【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2） y+1＝（y+1）2， ∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2， ∴m＝±2． 故答案为：±2． 6．（2023•雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为 2 ． 【答案】2． 【解答】解：∵a+b＝2，a﹣b＝1， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×1＝2．故答案为：2． 7．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝ 2 a + 1 ． 【答案】2a+1． 【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2 ＝2a+1， 故答案为：2a+1． 8．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 8 ． 【答案】8． 【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ＝4×2 ＝8， 故答案为：8． 9．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ 4 ． 【答案】4． 【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n， ∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0， 即（m﹣3）2+（n+1）2＝0， ∴m＝3，n＝﹣1， ∴m﹣n＝4， 故答案为：4． 10．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数 t的值为 或﹣ ． ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意可得， （2t﹣1）ab＝±（2×2）ab， 即2t﹣1＝±4， 解得：t＝ 或t＝ ．故答案为： 或﹣ ． 11．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 9 0 ． 【答案】90． 【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90． 故答案为：90． 12．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ 4 ． 【答案】4． 【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9， ∴两式相减得：4xy＝16， 则xy＝4． 故答案为：4 13．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）． 【答案】x2﹣3y． 【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2） ＝x2﹣4y2﹣3y+4y2 ＝x2﹣3y． 14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为 a，b的正方 形秧田A，B，其中不能使用的面积为M． （1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 a 2 ﹣ M ； （2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积． 【答案】（1）a2﹣M； （2）50． 【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积， 即a2﹣M，故答案为：a2﹣M； （2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M） ＝a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝10×5 ＝50， 答：A比B多出的使用面积为50． 1．（2023春•市南区校级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（ x+1）（﹣ x﹣1） C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n） 【答案】D 【解答】解：∵（2a+b）（2b﹣a）不符合平方差公式的特点，∴选项A不 符合题意； ∵（ x+1）（﹣ x﹣1）＝﹣（ x+1）2，∴选项B不符合题意； ∵（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）2，∴选项C不符合题意； ∵（﹣m+n）（﹣m﹣n）＝（﹣m）2﹣n2，∴选项D符合题意； 故选：D． 2.（2022秋•睢阳区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b ＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的 面积，可以验证的等式是（ ） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D 【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为： （2b+2a）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝ （2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 3．（2022秋•嵩县期末）已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（ ） A．42 B．28 C．54 D．66 【答案】B 【解答】解：∵x+y＝8，xy＝12， ∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝82﹣3×12＝64﹣36＝28． 故选：B． 4．（2022秋•海口期末）等式（﹣a﹣1）（ ）＝a2﹣1中，括号内应填入． A．a+1 B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a﹣1 【答案】C 【解答】解：结合题意，可知相同项是﹣a，相反项是1和﹣1， ∴空格中应填：1﹣a． 故选：C． 5．（2022秋•离石区期末）若二次三项式 x2+kx+4是一个完全平方式，则k的 值是（ ） A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4 【答案】D 【解答】解：中间项为加上或减去x和2乘积的2倍， 故k＝±4． 故选：D． 6．（2023春•攸县期末）若x2﹣y2＝3，则（x+y）2（x﹣y）2的值是（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，∴原式＝32＝9， 故选：C． 7．（2022秋•邹城市校级期末）已知 x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则 m的值为（ ） A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式， ∴2（m﹣1）＝±6， 解得：m＝4或m＝﹣2， 故选：B． 8．（2022秋•渝北区校级期末）化简：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）． 【答案】﹣2x2+2xy+5y2． 【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（3x2﹣xy+3xy﹣y2） ＝x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2 ＝﹣2x2+2xy+5y2． 9．（2023春•渭滨区期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便 计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201； 例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391． （1）9992； （2）20222﹣2021×2023． 【答案】（1）998001；（2）1． 【解答】解：（1）原式＝（1000﹣1）2 ＝10002﹣2×1000×1+1 ＝1000000﹣2000+1 ＝998001； （2）20222﹣（2022﹣1）×（2022+1） ＝20222﹣20222﹣+1 ＝1． 10．（2022秋•龙湖区期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示， 不必化简） （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14． 求：①a+b的值； ②a2﹣b2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2，（a+b）2﹣ 2ab， （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， （3）①∵a2+b2＝53，ab＝14， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝53+2×14＝81， ∴a+b＝±9， 又∵a＞0，b＞0， ∴a+b＝9． ②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝53﹣2×14＝25 ∴a﹣b＝±5 又∵a＞b＞0， ∴a﹣b＝5 ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9×5＝45． 11．（2022秋•高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2． 求：（1）a2+b2的值； （2）（a﹣b）2的值． 【答案】（1）53． （2）57．【解答】解：（1）∵a+b＝7，ab＝﹣2， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝a2+b2+（﹣4）＝49． ∴a2+b2＝53． （2）∵a+b＝7，ab＝﹣2， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣（﹣4）＝53+4＝57． 12．（2022•荆门）已知x+ ＝3，求下列各式的值： （1）（x﹣ ）2； （2）x4+ ． 【答案】（1）5；（2）47． 【解答】解：（1）∵ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ﹣4x• ＝32﹣4 ＝5； （2）∵ ＝ ， ∴ ＝ +2 ＝5+2＝7， ∵ ＝ ， ∴ ＝ ﹣2 ＝49﹣2 ＝47． 13．（2022秋•阳城县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形 （如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 C ；（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．b2+ab＝b（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值． ②计算： ． 【答案】（1）C；（2） ；（3） ． 【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C； （2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， ∴12＝4（x﹣2y）， 得：x﹣2y＝3， 联立 ， ①+②，得2x＝7， 解得：x＝ ； ② ＝（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）…（1﹣ ） （1+ ）（1﹣ ）（1+ ） ＝ ＝ × ＝ ． 14．（2023春•威海期中）利用简便方法计算： （1）501×499+1； （2）0.125×104×8×104． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（500+1）×（500﹣1）+1 ＝5002﹣1+1 ＝5002 ＝250000；（2）原式＝（0.125×8）×（104×104） ＝108． 15．（2022秋•南昌期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线 用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）求图2中的阴影部分的正方形的周长； （2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等 量关系； （3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝ 4，试求m+n的值． （4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形， 设AB＝8，两正方形的面积和S +S ＝26，求图中阴影部分面积． 1 2 【答案】答：（1）4a﹣4b； （2）（a﹣b）2＝（a﹣b）2+4ab； （3）m+n＝±2； （4）S ＝ ． 阴影 【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a ﹣4b， 故答案为：4a﹣4b； （2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+ （a﹣b）2， 大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）2， 因此（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （3）由（2）可知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，已知m﹣n＝4，mn＝﹣3， 所以（m+n）2＝16+4×（﹣3）＝4， 所以m+n＝±2； 故m+n的值为±2； （4）设AC＝a，BC＝b， 因为AB＝8，S +S ＝26， 1 2 所以a+b＝8，a2+b2＝26， 因为（a+b）2＝a2+b2+2ab， 所以64＝26+2ab，解得ab＝19， 由题意：∠ACF＝90°， 所以S ＝ ab＝ ． 阴影 16．（2022秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不 同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图 1可以得到 （a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题： （1）写出图 2 中所表示的数学等式 （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 bc ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a+b+c＝11， ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为 a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它 的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝ （a+b+c）2，各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2， ∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc ＝112﹣2×38 ＝45． （3）如图所示