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第 03 讲 解一元二次方程——公式法
课程标准 学习目标
1. 学会利用根的判别式判断根的情况，同时根据根的
①根的判别式
情况利用根的判别式求值。
②公式法解一元二次方程
2. 掌握公式法解一元二次方程。
③根与系数的关系
3. 掌握根与系数的关系。
知识点01 根的判别式
1. 根的判别式：
用配方法解一元二次方程 ，可将方程化成 。由配方法
解方程可知，根据 与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定 与0的大小关系只
需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符
号 来表示。
①若 。
②若 。
③若 。
题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值【即学即练1】
1．一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【即学即练2】
2．已知方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
知识点02 利用公式法解一元二次方程——求根公式
1. 求根公式：
由 可知， 。 。我们把它叫
做一元二次方程的求根公式。
① 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ；
。
② 时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③ 时，一元二次方程没有实数根。
2. 公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把 的值带入相应的求根公式求解。
题型考点：①根据求根公式确定 的值。②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】
3．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（ ）
A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60
【即学即练2】
4．下列方程中，以x＝ 为根的是（ ）
A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0
【即学即练3】
5．利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（ ）A． B． C． D．
【即学即练4】
6．用公式法解方程：
（1）：x2+2x﹣6＝0．
（2）：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．
知识点03 根与系数的关系
1. 根与系数的关系：
由公式法可知，若一元二次方程的 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是
与 。
①求 。
②求 。
2. 根与系数的关系的推广应用：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ 。
题型考点：根据根与系数的关系求式子的值。
【即学即练1】7．若x ，x 是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
1 2
A．x +x ＝6 B．x +x ＝﹣6 C．x x ＝ D．x x ＝7
1 2 1 2 1 2 1 2
【即学即练2】
8．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x ，x ，则x x ﹣x ﹣x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．22 B．﹣22 C．﹣26 D．26
【即学即练3】
9．已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则 的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【即学即练4】
23．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，方程的两根分别是x 、x ，且 ，则m值是
1 2
（ ）
A． B． C． D．
题型01 根据一元二次方程的根的情况求值
【典例1】
若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
变式1：
若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，则m＝（ ）
A．m＜ B．m＜ 且m≠﹣1 C．m≤ D．m≤ 且m≠﹣1
变式2：
对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）
x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
⊗ ⊗ ⊗
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
⊗
C．没有实数根 D．无法确定
题型02 根与系数的关系
【典例1】方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x x ，则x x ﹣（x +x ）的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A． B．1 C．﹣3 D．
【典例2】
已知m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，则 的值是（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．
【典例3】
若x ，x 是方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式 ﹣2x +x 的值等于（ ）
1 2 1 2
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
【典例4】
已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，则 的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣1
题型03 根的情况与根与系数的关系
【典例1】
已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若两个实数根分别是x ，x ，且 ，求m的值．
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【典例2】
已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
1．一元二次方程x2+2＝2x根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根2．已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是x＝1
3．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
4．若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+ ＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
5．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．若a﹣b+c＝0，则方程没有实数根
B．当b＝0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数
C．若ac＜0，则方程必有两个不相等的实数根
D．若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实数根
6．如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2023的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2026 D．2027
8．用公式法解关于x的一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是 ．
9．下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．
∴x＝ ，（第三步）．
∴x ＝ ，x ＝ （第四步）．
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小明是从第 步开始出错．
10．如果代数式x2+x+2与5x﹣2的值相等，那么x＝ ．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根 、 满足 2+ 2＝9，求m的值．
α β α β12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x ，x 是方程的两个实数根，且 + ＝﹣ ，求m的值．
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