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专题21 函数图象信息题（解析版）
第一部分 专题典例剖析
类型一 判断函数图象的形状
1．（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．
然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最
高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据用一注水管向小玻璃杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间
t（min）的函数图象．
解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度
不变，
当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．
故选：D．
总结提升：此题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，
知道函数值是增大还是减小．
2．（2021春•曾都区期末）如图是某学生画的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正
确反映容器中水面的高度与时间之间对应关系的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
思路引领：根据容器上下的大小，判断水上升快慢．
解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．
表现出的函数图形为先缓，后陡．
故选：D．
总结提升：本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够将实际问题与函数的图象有机的结合起来，
注意先慢后快表现出的函数图形为先缓，后陡．
3．（2021春•项城市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P在折线BCD从点B开始运
动到点D，设运动路程为x，△ADP的面积为y，则y与x的关系图象大致是（ ）
A． B．C． D．
1 3 15
思路引领：由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y= ×3×（5﹣x）=- x+ ，由此即可判断．
2 2 2
解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
1 3 15
当3＜x＜5时，y= ×3×（5﹣x）=- x+ ，
2 2 2
所以符合题意的选项是D．
故选：D．
总结提升：本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
4．（2020•东阳市模拟）半圆柱底面直径BC是高AB的两倍，甲虫在半圆柱表面匀速爬行，若沿着最短路
径从B经E到D（E是上底面半圆中点），则甲虫爬行过程中离下底面的高度 h与爬行t之间的关系用
图象表示最准确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是 B→E，然后在圆柱
的上底面上，沿线段DE行走即可，此时甲虫离下底面的高度h不变．由此即可判断．
解：平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是 B→E，然后在圆柱的上底
面上，沿线段DE行走即可，此时甲虫离下底面的高度h不变．由题意AE＞AB，所以在甲虫到达E之前，离下底面的高度h是逐渐升高，图形比较缓，
故选：D．
总结提升：本题考查平面展开﹣最短路径问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题．
5．（2019春•东城区期末）如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，那么函数
y＝x﹣[x]（﹣3≤x≤3）的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
思路引领：根据题意，可以得到y与x的函数图象，从而可以解答本题．
解：当﹣3≤x＜﹣2时，y＝x﹣[x]＝x﹣（﹣3）＝x+3，y随x的增大而增大，当x＝﹣3时，取得最小值，
此时y＝0，
同理可得，其他各段内的函数图象与﹣3≤x＜﹣2这段内的函数图象是一样的，
故选：A．
总结提升：本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．类型二 根据函数图象判断图形
6．（2021春•北京期末）周末的早晨王老师从家出发去燕山公园锻炼，她连续、匀速走了60分钟后回到
家．如图线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（公里）与行走时间t（分钟）之间的函
数关系．则下列图形中可以大致描述王老师行走的路线是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间王老师绕以家为圆心的圆弧进行运
动，由此即可得出结论．
解：观察s关于t的函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段王老师离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
∴可以大致描述王老师行走的路线是A．
故选：A．
总结提升：本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的AB段．本题属于基础题，难度不大，
解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．
7．（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界
顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致
如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A． B．
C． D．
思路引领：先观察图象得到y与x的函数图象分四个部分，则可对有3边的封闭图形进行淘汰，利用圆
的定义，P点在圆上运动时，y随x的变化先增大后减小，则可对A进行判断，从而得到正确选项．
解：y与x的函数图象分四个部分，而D选项中的封闭图形有3条线段，其图象要分三个部分，所以D
选项不正确；
A选项中的封闭图形为圆，y随x的变化先增大后减小，所以A选项不正确；
B，C选项为四边形，M点在四边上运动对应四段图象，且存在三个时间段，PM的长度相等，故C选
项不正确．
故选：B．
总结提升：本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看
图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问
题时，要理清图象的含义即会识图
类型二 获取函数图象信息
8．（2022春•沙坪坝区期末）自行车运动爱好者小明从家出发沿笔直的公路骑行去公园，在公园休息玩耍
后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离 y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的对应关系．
下列描述正确的是（ ）
A．小明家距公园30km
B．小明休息玩耍的时间为1.5h
C．小明去公园的速度比回家时的速度快D．小明在公园休息玩耍和往返总时间为2.5h
思路引领：根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项的说法是否正确．
解：由图象知：
A．小明家距图书馆15km，故此选项不符合题意；
B．小明休息玩耍的时间为1.5﹣0.5＝1（h），故此选项不符合题意；
C．小明去公园的速度比回家时的速度快，描述正确，故此选项符合题意；
D．小明在公园休息玩耍和往返总时间为2.5﹣0.5＝2（h），故此选项不符合题意．
故选：C．
总结提升：本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答．
9．（2022•高唐县二模）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动
到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时
出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形
ABCD的面积是 ．
思路引领：过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点
D重合，则AD＝12，可得出答案．
解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，
1 1
由三角形面积公式得：y= •BQ•EH= ×10•EH＝30，
2 2
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝8cm，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm），
∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）．
故答案为：72cm2．
总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题
的关键．
10．（2020春•醴陵市期末）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装，甲车
间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲
车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工
的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工服装件数为 件；这批服装的总件数为 件．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两车间共同加工完1140件服装时甲车间所用的时间．
思路引领：（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲车间每小时加工服装件数和这批服装的总件数；
（2）根据函数图象中的数据，可以写出这批服装的总件数；
（3）根据函数图象中的数据，可以得到甲中y与x的函数关系式，再根据（2）中的函数关系式，即可
得到甲、乙两车间共同加工完1140件服装时甲车间所用的时间．
解：（1）由图象可得，
甲车间每小时加工服装件数为810÷9＝90（件），这批服装的总件数为：810+490＝1300（件），
故答案为：90，1300；（2）由图可知乙车间每小时加工服装：140÷2＝70（件），
乙车间共需要：490÷70＝7（小时），
维修设备时间：9﹣7＝2（小时），
∴维修设备后坐标为（4，140），
设乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，代入点（4，140）、
（9，490），得
{4k+b=140 { k=70
，解得 ，
9k+b=490 b=-140
即乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式是y＝70x﹣140；
（3）设甲车间y ＝mx，代入点（9，810），得
1
9m＝810，
解得，m＝90，
所以y ＝90x，
1
由y+y ＝1140，得
1
70x﹣140+90x＝1140，
解得，x＝8，
答：甲、乙两车间共同加工完1140件服装时甲车间所用时间是8小时．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的
思想解答．
11．（2021•宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 266
每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限
超出后每兆收费（元） n n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量
x（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？思路引领：（1）根据题意，结合题意可得m＝3072，n＝（56﹣20）÷（1144﹣1024）＝0.3；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）利用A、B方案每月免费使用流量3072兆加上达到C方案所超出的兆数即可．
解：（1）根据题意，m＝3072，
n＝（56﹣20）÷（1144﹣1024）＝0.3；
（2）设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量
x（兆）之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（1024，20），（1144，56）代入，得：
{20=1024k+b { k=0.3
，解得 ，
56=1144k+b b=-287.2
∴y关于x的函数关系式为y＝0.3x﹣287.2（x≥1024）；
（3）花费266元A方案可用流量：1024+（266﹣20）÷0.3＝1844（兆），
花费266元B方案可用流量：3072+（266﹣56）÷0.3＝3772（兆），
由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形
结合的思想解答．
第二部分 专题提优训练
1．（2019•淄博）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对
应容器的形状为（ ）A． B． C． D．
思路引领：根据液面高度h随时间t的变化情况的图象可以看出，高度h随时间t的变化情况是：先是
高度随时间变化比较缓慢，然后逐渐变快，然后又变得比较缓慢，并且变慢的长度越来越大，最后，又
急速上升，可以推断这个容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最
后非常细，推断可能是C容器．
解：根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，
并且最后非常细，推断可能是C容器．
故选：C．
总结提升：考查对变化过程中两个变量的变化关系的理解，即函数的意义的理解，根据图象变化情况，
推断容器形状，强化对函数的理解．
2．（2022•咸宁模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P
从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），
则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
思路引领：分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t轴的线段，
则B、C错误．点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于增、减变化过程．故D排除
故选：A．
总结提升：本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判
断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
3．（2022春•南安市期中）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB，当直线l沿射线BC的方
向从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为
x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示．下列结论：①BC的长为5；②AB的长为2√3；
3√3
③当4≤x≤5时，△BEF的面积不变；④△ACD的面积为 ，其中正确的结论是 （填写序
2
号）．
思路引领：分别研究直线l平移的位置的三种情况，线段l与四边形ABCD的位置，结合函数图象进而
求解．
解：从图2知：∵当4≤x≤5时，y的值不变，
∴相应的对应图1是：直线EF从过点A开始到经过C点结束，EF的值不变，
即当BE＝4，BE经过点A，当BE＝5时，EF经过点C，
∴BC＝5，
∴①正确；
从图1，BE ＝4，E F ＝2，∠BF E ＝90°，
1 1 1 1 1
∴AB 2 ，
=√42-22= √3
∴②正确；
当4≤x≤5时，如图3，
1
S△BEF = BE•FH，
2
∵FH不变，BE变化，
∴△BEF的面积变化，
故③结论不正确；
由函数图象可知AD＝7﹣3＝4，
2√3×2
由上可知FH= =√3，
4
1
∴△ACD的面积为 ×4×√3=2√3，故④不正确；
2
故答案为：①②．
总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，图形的实际运动和其对应的函数图象问题，解决问题的关键是找出函数图象上关键点对应的实际图形的位置．
4．（2022春•亭湖区校级期中）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的 A，B两处
同时出发，都以不变的速度相向而行，甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：
min）的函数关系如图所示，则a＝ ．
思路引领：根据函数图象中的数据可以先求出甲走路的速度，然后再求出乙走路的速度，然后即可计算
出a的值．
解：由图象可得，
甲走路的速度为：120÷3＝40（m/min），
4
则乙走路的速度为：120÷ -40＝50（m/min），
3
∴a＝120÷50＝2.4，
故答案为：2.4．
总结提升：本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
5．（2022•涟水县校级模拟）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A
地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过
程中，甲、乙两车与C地的距离y （单位：km），y （单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的
1 2
函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）甲车的行驶速度为 km/h，乙车的行驶速度为 km/h；
（2）当1≤t≤4时，求乙车与C地的距离y 与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
2
（3）当乙车出发 小时，两车相遇．思路引领：（1）根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度即可；
（2）根据待定系数法分类讨论求解乙车与C地的距离y 与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
2
（3）设乙车出发m小时，两车相遇，根据甲车行驶的路程+乙车行驶的路程＝200+240列方程求解即可；
7
解：（1）甲车行驶速度是240÷4＝60（km/h），乙车行驶速度是200÷（ -1）＝80（km/h），
2
∴甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；
故答案为60，80．
（2）当0＜t＜1时，
y ＝200；
2
7
当1＜t≤ 时，设y ＝kt+b，
2
2
7
∵图象过点（1，200），（ ，0），
2
{k+b=200
∴ 7 ，
k+b=0
2
{k=-80
∴ ，
b=280
∴y ＝﹣80t+280；
27
当 ＜t≤4时，
2
7
∵（4- ）×80＝40（km），
2
∴图象过点（4，40），
设y ＝kt+b，
2
7
∵图象过点（4，40），（ ，0），
2
{4k+b=40
∴ 7 ，
k+b=0
2
{ k=80
∴ ，
b=-280
∴y ＝80t﹣280．
2
{
7200(0＜t＜1)
-80t+280(1＜t＜ )
∴y 2 ；
2=
7
80t-280( t＜4)
2
（3）设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：
80m+60（m+1）＝200+240，
19
解得：m= ．
7
19
∴乙车出发 小时，两车相遇．
7
19
故答案为： ．
7
总结提升：本题主要考查了一元一次方程及一次函数的应用，能从图象中获取有效信息，熟练运用待定
系数法求解一次函数的关系式是解题的关键．
6．（2021•新市区校级一模）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了 6小时，在加工过程中乙机器
因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工，甲机器在加工过程中工
作效率保持不变，甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线
OA﹣AB﹣BC．如图所示．
（1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件；
（2）在整个加工过程中，求y与x之间的函数解析式；（3）乙机器排除故障后，求甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相差10个．
思路引领：（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到这批零件一共有多少个零件，再根据AB段即
可计算出甲每小时加工的零件数；
（2）根据函数图象中的数据，可以求出各段对应的函数解析式；
（3）根据函数图象中的数据，可以计算乙开始和后来的速度，然后即可得到相应的方程，从而可以求
得乙机器排除故障后，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相差10个．
解：（1）由函数图象可知，共用6小时加工完这批零件，一共有270个．
AB段为甲机器单独加工，每小时加工个数为（90﹣50）÷（3﹣1）＝20（个），
故答案为：270，20；
（2）设y ＝k x，
OA 1
当x＝1时，y＝50，
则50＝k ，
1
∴y ＝50x；
OA
设y ＝k x+b ，
AB 2 2
{ k +b =50 ，
2 2
3k +b =90
2 2
解得{k =20
，
2
b =30
2
∴y ＝20x+30；
AB
设y ＝k x+b ，
BC 3 3
{3k +b =90
，
3 3
6k +b =270
3 3解得{ k =60 ，
3
b =-90
3
∴y ＝60x﹣90；
BC
{ 50x (0≤x≤1)
综上所述，在整个加工过程中，y与x之间的函数解析式是y ；
= 20x+30 (1＜x≤3)
60x-90 (3＜x≤6)
（3）乙开始的加工速度为：50÷1﹣20＝30（个/小时），
乙后来的加工速度为：（270﹣90）÷（6﹣3）﹣20＝40（个/小时），
设乙机器排除故障后，甲加工a小时时，甲与乙加工的零件个数相差10个，
20a﹣[30×1+40（a﹣3）]＝±10，
解得a＝4或a＝5，
答：排除故障后，甲加工4小时或5小时时，甲与乙加工个数相差10．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思
想解答．
