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第 04 讲 相似三角形的判定（2）
课程标准 学习目标
①相似三角形的判定：两角定
1. 掌握相似三角形的判定方法，并能够运用熟练的判断三角形的
理
相似。
②两个直角三角形相似的判定
知识点01 相似三角形的判定——两角定理
1. 相似三角形的判定：两角定理：
（1）文字语言：有两个角分别 相等 的两个
三角形相似。
（2）数学语言：∵
∴
【即学即练1】
1．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角
形能否相似的结论是 △ ABC ∽△ A ′ C ′ B ′ ，理由是 有两组角对应相等的两个三角形相似 ．
【分析】由已知条件易得∠A＝∠A′，∠B＝∠C′，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判
断两三角形相似．
【解答】解：∵∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠C′，
∴△ABC∽△A′C′B′．
故答案为△ABC∽△A′C′B′；有两组角对应相等的两个三角形相似．
【即学即练1】
2．平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，连DE、F为线段DE上一点，且∠1＝∠B．求证：
△ADF∽△DEC．
【分析】先根据平行线的性质得出∠ADF＝∠DEC，∠C+∠B＝180°，再根据∠1＝∠B，∠1+∠AFD＝
180°可得出∠C＝∠AFD，由此可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠DEC，∠C+∠B＝180°．
∵∠1＝∠B，∠1+∠AFD＝180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC．
知识点02 直角三角形的相似判定
1. 直角三角形的相似判定：
文字语言：斜边和一条直角边 成比例 的两个直角三角形相似。
数学语言：∵
∴
【即学即练1】
3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（ ）
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C＝
∠F∴△ABC∽△DEF；
B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴ ，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
D、相似：由题意AB＝10，AC＝8，可得BC＝6，∵DE＝15，EF＝9，∴ ，∵∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DEF；
故选：C．
题型01 判断相似的判定条件
【典例1】根据下列各组条件，不能判断△ABC和△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠B＝B′＝90°，∠A＝60°，∠C′＝30°
B．∠A＝60°，∠C＝80°，∠A′＝60°，∠B′＝40°
C．AB＝5，BC＝7，AC＝10；A′C′＝16，B′C′＝14，A′B′＝10
D．∠A＝50°，AB＝8，AC＝15；∠A′＝50°，A′C′＝30，A′B′＝16
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可．
【解答】解：∵∠B＝B′＝90°，∠A＝60°，∠C′＝30°，
∴∠C＝∠C′＝30°，则△ABC∽△A′B′C′，故选项A不符合要求；
∵∠A＝60°，∠C＝80°，∠A′＝60°，∠B′＝40°，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′＝40°，则△ABC∽△A′B′C′，故选项B不符合要求；
∵AB＝5，BC＝7，AC＝10；A′C′＝16，B′C′＝14，A′B′＝10，
∴ ，不能判断△ABC和△A′B′C′相似，故选项C符合要求；
∵∠A＝50°，AB＝8，AC＝15；∠A′＝50°，A′C′＝30，A′B′＝16，
∴∠A＝∠A′， ，则△ABC∽△A′B′C′，故选项D不符合要求；
故选：C．
【变式1】依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
【分析】直接根据三角形相似的判定方法对每一选项进行判断即可得出答案．
【解答】解：A、∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∴∠C＝∠F，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DFE，故此选项不符合题意；B、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴ ＝ 且∠A＝∠E，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不符合题意；
C、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴ ＝ 且∠A＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
D、∵AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm，
∴ ＝ ，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不合题意；
故选：C．
【变式2】在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是
（ ）
A．∠A＝65°，∠D＝25°
B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16
D．AB＝10，AC＝8，DE＝35，EF＝21
【分析】根据相似三角形的判定方法和勾股定理，对各个选项进行分析即可．
【解答】解：A．相似，理由如下：
∵∠A＝65°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣65°＝25°．
∵∠D＝25°，
∴∠B＝∠D．
∵∠F＝∠C＝90°，
∴△ABC∽△EDF，不符合题意；
B．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意；
C．相似，理由如下：
∵DF＝12，EF＝16，AC＝9，BC＝12，
∴ ．
∵∠F＝∠C＝90°，
∴△ABC∽△DEF，不符合题意；
D．相似，理由如下：
∵EF＝21，∠C＝∠F＝90°，AB＝10，AC＝8，DE＝35，
∴ ， ，∴ ．
∵∠C＝∠F＝90°，
∴△ABC∽△DEF，不符合题意；
故选：B．
【变式3】已知△ABC的三边长为1、2、 ，在下列给定条件的△DEF中，与△ABC一定相似的是（
）
A．DE＝2，EF＝4，∠E＝30° B．DE＝2，EF＝4，∠E＝90°
C．DE＝2，EF＝4，∠D＝30° D．DE＝2，EF＝4，∠D＝90°．
【分析】由题意可知△ABC是一个含30度的直角三角形，然后可进行排除选项．
【解答】解：∵ ，
∴△ABC是一个直角三角形，
∴ ，
∴只需满足∠D＝90°即可．
故选：D．
【变式4】已知，点D是△ABC的边AC上一点，在下列四个条件中：①∠ABD＝∠C；②∠ADB＝
∠ABC；③AC•BD＝AB•BC；④AB2＝AD•AC，其中能使得△ABC与△ADB一定相似的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边
的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，继而求得答案．
【解答】解：如图：
∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故①与②正确；
当 ，即AB2＝AC•AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形
相似）；
故④正确；
当 ，即AC•BD＝AB•BC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故③错误；
故选：B．题型02 添加相似的判定条件
【典例1】如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
【分析】先根据∠1＝∠2得出∠BAC＝∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE．
A、∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、∵ ，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、∵∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、∵ ，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和
△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCD B．
C．AC2＝BC•CD D．∠DAC＝∠ABC
【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选
项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对
应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
② ＝ ；故选：C．
【变式2】如图，点D是△ABC的边AB上的一点，连接DC，则下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是
（ ）
A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．
【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，
∴当∠ACD＝∠B 或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断
△ACD∽△ABC；
当 ＝ 时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．
故选：C．
【变式3】如图，下列条件仍无法保证△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠C B．∠B＝∠C C． D．
【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：由图得：∠A＝∠A，
∴当∠ADE＝∠C或 或 时，△ABC与△ADE相似；
B选项中∠B和∠C不是成比例的两边的夹角，
故选：B．
题型03 利用两角定理判定相似
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．
求证：△ACD∽△ABC．【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△ACD∽△ABC．
【解答】证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【变式1】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠C．求证：△ADE∽△ACB．
【分析】根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解．
【解答】证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
【变式2】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，若∠ADE＝60°，求证：△DCE∽△ABD．
【分析】根据等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，再根据∠ADE＝60°，结合平角的定义以及三角形
内角和定理得出∠BAD＝∠EDC，即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣60°＝120，
∵∠B＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝120°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△DCE∽△ABD．
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），连接AP，过点P
作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．求证：△ABP∽△PCM．【分析】由AB＝AC得到∠B＝∠C，三角形的外角得到∠BAP＝∠CPM，即可得证．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
在△ABP中，∠APC＝∠B+∠BAP，
又∠APM＝∠B，∠APC＝∠APM+∠CPM，
∴∠BAP＝∠CPM．
∴△ABP∽△PCM．
题型04 相似三角形的判定与性质
【典例1】如图，Rt△ABC中，∠B＝90°点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝8，E是BC中点，求DE的长．
【分析】（1）由 DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出
△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE
的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA；
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴ ，
∵E是BC中点，
∴ ，
∵△CDE∽△CBA，∴ ，
即 ，
∴ ．
【变式1】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，∠B＝∠ACE．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）已知 ，AD＝15，试求DE的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，再根据∠B＝∠ACE，于是得到结论；
（2）根据△ABD∽△ACE得到，可求得AE的值，由DE＝AD﹣AE即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴ ，即 ，
解得AE＝6，
∴DE＝AD﹣AE＝15﹣6＝9．
【变式2】如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝4，AD＝3，从这张硬纸
片剪下一个矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，且HG：HE＝2：3，
AD与HG的交点为M．
（1）求证： ；
（2）求这个矩形EFGH的周长．【分析】（1）根据矩形性质得出∠AHG＝∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；
（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG＝∠ABC，
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴ ；
（2）解：设HE＝3x，MD＝HE＝3x，
∵AD＝3，
∴AM＝3﹣3x，
∵HG：HE＝2：3，
∴HG＝2x，
由（1）得 ，
∴ ，
解得，x＝ ，
故HE＝2，HG＝2x＝ ，
则矩形EFGH的周长＝（2+ ）×2＝ ．
【变式3】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，连接CE，
DE．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求 的值．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形
的对应边成比例，证得AC2＝AB•AD；
（2）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB•AD；
（2）解：∵∠ACB＝90°，E为AB中点，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ECA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF，
∵CE＝ AB，
∴CE＝ ×6＝3，
∵AD＝4，
∴ ＝ ．
【变式4】如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，
且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝ AB•AE；（3）MN交AC点O，若 ＝k，则 ＝ （直接写答案、用含k的代数式表示）．
【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；
（2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2
＝AE•AC，再根据AC＝ AB可得结论；
（3）过点 M 作 MF∥AB 交 AC 于点 F，设 BM＝a，由 ＝k，BM＝a，BC＝（k+1）a，再根据
可得答案．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN．
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴ ，
∴AM•AN＝AC•AE，
∵AN＝AM，AC＝ AB，
∴AM2＝ AB•AE；
（3） ＝ ．理由：如图，过点M作MF∥AB交AC于点F，
设BM＝a，
∵ ＝k，
∴BM＝a，BC＝（k+1）a，
即ND＝BM＝a，AB＝CD＝BC＝（k+1）a，
∵MF∥AB∥CD，
∴ ，
∴MF＝ka，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
1．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若 ，则（ ）
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CBD D．无法判断
【分析】由题意可得 ，根据∠A＝∠A即可判定△ADC∽△ACB，即可得出答案．
【解答】解：∵ ，∠A＝∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，
∴△ADC∽△ACB．
故选：A．
2．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）A． ＝ B．∠B＝∠D C． ＝ D．∠C＝∠AED
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
3．如图，在锐角△ABC中，AB、AC上的高CE、BF交于点D，连接EF，图中共有相似三角形（ ）
A．8对 B．7对 C．6对 D．5对
【 分 析 】 由 ∠ BEC ＝ ∠ AEC ＝ ∠ BFC ＝ ∠ AFB ＝ 90° ， ∠ ABF ＝ ∠ ACE ， 可 证
△ABF∽△ACE∽△BDE∽△CDF，即有 6 对相似三角形，由相似三角形的判定方法可证
△AFE∽△ABC，△BDC∽△EDF，可得结论．
【解答】解：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠BFC＝∠AFB＝90°，
∴∠A+∠ABF＝∠A+∠ACE，
∴∠ABF＝∠ACE，
∴△ABF∽△ACE∽△BDE∽△CDF，即有6对相似三角形，
∴ ＝ ， ＝ ．
又∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ABC，
∵ ＝ ，∠FDE＝∠BDC，
∴△BDC∽△EDF，故选：A．
4．如图，在等边三角形ABC中，点E、F分别在AC、BC上，且AE•AC＝AP•AF，那么下列不正确的是
（ ）
A．△AEP∽△AFC B．△ABP∽△PAE C．△PBF∽△BAF D．△PBF∽△CBE
【分析】先根据“两边对应成比例且夹角相等”得△AEP∽△AFC，再根据相似三角形的对应角相等得
∠APE＝∠C＝60°＝∠BPF，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得△PBF∽△BAF，
△PBF∽△CBE，比较△ABP和△PAE各角之间的关系得出答案．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，点E、F分别在AC、BC上，且AE•AC＝AP•AF，
∴ ，∠C＝∠B＝60°．
∵∠EAP＝∠FAC，
∴△AEP∽△AFC，
∴∠APE＝∠C＝60°＝∠BPF．
∵∠BFP＝∠AFB，∠BPF＝∠B，
∴△PBF∽△BAF，
∵∠PBF＝∠CBE，∠BPF＝∠C，
∴△PBF∽△CBE，
所以A，C，D正确；
在△ABP和△PAE中，∠BAP＜∠APE，∠APB＞∠AEP，
可知这两个三角形不相似．
所以B不正确．
故选：B．
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下
列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC
C．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【解答】解：A、∵∠DAC＝∠DBC，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；
B、∵△AOD∽△BOC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；
C、∵△AOB∽△DOC，
∴∠BAO＝∠ODC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝BC，故此选项正确，不合题意；
D、无法得出BC•CD＝AC•OA，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原
三角形不相似的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】由∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明
△DBE∽△ABC，可判断A不符合题意；由∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，根据“两角分别相等的两
个三角形相似”证明△FGC∽△ABC，可判断B不符合题意；由 ＝ ＝ ，∠A＝∠A，根据“两边
成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACH∽△ABC，可判断C不符合题意；由△IBJ与△ABC
的对应边不成比例，可知△IBJ与△ABC不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
故A不符合题意；
如图2，∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，
∴△FGC∽△ABC，
故B不符合题意；
如图3，∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
故C不符合题意；
如图4，△IBJ与△ABC的对应边不成比例，
∴△IBJ与△ABC不相似，
故D符合题意，
故选：D．7．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均在格点上，连接AC，BD
相交于点E，若小正方形的边长为1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，连接AB、CD，证明△ABE∽△CDE，则 ，即 ，由 求
出AC的值，进而可得AE的值．
【解答】解：如图，连接AB、CD，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，故 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①∠APC＝∠ACB；②∠ACP＝∠A；③AP：AC
＝AC：AB；④AB•CP＝AP•CB，其中当△APC和△ACB相似时满足的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹
角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△APC∽△ACB，故①正确；
∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠A，
∴△APC是等腰三角形，∠B与∠ACP不一定相等，
∴△APC与△ACB不相似，故②错误；
∵AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，故③正确；
∵AB•CP＝AP•CB，即 ，
此两个对应边的夹角不是∠A，
∴△APC与△ACB不相似，故④错误；
∴能满足△APC和△ACB相似的条件是①③，
故选：B．
9．如图， O的直径AB＝8，M是AB上一点，过点M作弦CD．若AM＝2，CM＝3，则弦CD的长为（
）
⊙
A．7 B．8 C． D．【分析】连接AC，BD，根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等，证明△ACM∽△DBM，得到
求出DM，根据CD＝CM+DM，即可解题．
【解答】解：如图，连接AC，BD．
则∠A＝∠D，∠C＝∠B，
∴△ACM∽△DBM，
∴ ．
∵AM＝2，AB＝8，CM＝3，
∴BM＝6，
∴ ，
∴DM＝4，
∴CD＝CM+DM＝3+4＝7，
故选：A．
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝
30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝ CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，可以先求出tan∠BAE的值，即可判断①；根据题意求出△ABE∽△ECF即可判断
②；根据②中的结论可以得到CF，然后即可得到CF和CD的关系，从而可以判断③；根据相似三角
形的判定方法可以判断④．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝a，∴tan∠BAE＝ ＝ ＝ ≠ ＝tan30°，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
∵AE⊥BF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FEC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴ ，
∴BE•EC＝AB•CF，
∵BE＝EC，
∴CE2＝AB•CF，故②正确；
∴CF＝ ＝ ，
∴ ＝ ，故③错误；
在Rt△CEF中， ，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ a，
∵ ，
∴ ，
而∠ABE＝∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，故④正确；
故选：B．
11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是 ∠ ADE ＝
∠ C 或∠ AED ＝∠ B 或 .（只要写一个条件）【分析】由∠A是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE
＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或 等．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或 等．
故答案为：如∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或 等（此题答案不唯一）．
12．如图，已知，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝3，AC＝4，要使△ABC∽△ACD，只要CD＝ ．
【分析】对应边成比例的两个三角形互为相似三角形．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
要使△ABC∽△ACD， ＝ ，
＝ ，
CD＝ ．
故答案为： ．
13．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，2）和（4，0），若坐标轴上存在点C，使△ABC
和△OAB相似而不全等，则点C的坐标是 （﹣ 8 ， 0 ）或（ 0 ，﹣ 1 ） ．
【分析】先根据勾股定理求出 ，再根据题意进行分类讨论：当点C在x轴上时，
当点C在y轴上时，根据相似三角形的性质，即可解答．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，2）和（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得： ，
当点C在x轴上时，∵△ABC和△OAB相似，
∴ ，即 ，
解得：AC＝10，
∴OC＝AC﹣OA＝8，
∴C（﹣8，0）；
当点C在y轴上时，
∵△ABC和△OAB相似，
∴ ，即 ，
解得：BC＝5，
∴OC＝BC﹣OB＝1，
∴C（0，﹣1），
故答案为：（﹣8，0）或（0，﹣1）．
14．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度
向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与
△AQC相似时，BP＝ 或 2 0 cm．
【分析】分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出∠B和∠C对应相等，那么就要分成BP和CQ为对应边以及BP和AC为对应边两种情况．
【解答】解：设运动时间为x s，
当△BPQ∽△CQA时，有 ，
即 ＝ ，
解得：x＝ ，
∴BP＝4x＝ （cm），
当△BPQ∽△CAQ时，有 ，
即 ，
解得：x＝5或x＝﹣10（舍去），
∴BP＝4x＝20（cm），
综上所述，当BP＝ cm或20cm时，△BPQ与△AQC相似，
故答案为： 或20．
15．如图，在平面直角坐标系中，AB是 C的一条直径，已知点A（0，6）和点B（8，0），点P是 C
上的一个动点，当线段 CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似时，点P的坐标为 （− 1 ， 3 ），
⊙ ⊙
（ 4 ，− 2 ）或（ 1 ，− 1 ）． ．
【分析】由题意得出 AB＝10，半径CP＝5，分三种情况：作 CP ⊥y轴于点D交 C于P ，此时
1 1
△ADC∽△AOB；作CP
2
⊥x轴于E，交 C于P
2
，此时△CEB∽△AOB；作CP
3
⊥AB⊙ 交x轴于F，交
C于P
3
，此时△BCF∽△BOA；分别利
⊙
用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵点A（0，6）和点B（8，0），AB是 C的一条直径，
⊙
∴C（4，3），OA＝6，OB＝8，
⊙
∴AB＝ ＝10，
∴半径CP＝5，
如图，作CP ⊥y轴于点D交 C于P ，
1 1
则∠ADC＝∠AOB＝90°，∠DAC＝∠OAB，
⊙
∴△ADC∽△AOB，∵C（4，3），CP ＝5，
1
∴DP ＝5−4＝1，
1
∴P （−1，3）；
1
作CP ⊥x轴于E，交 C于P ，则∠CEB＝∠AOB＝90°，∠CBE＝∠ABO，
2 2
∴△CEB∽△AOB，
⊙
∵C（4，3），CP ＝5，
2
∴EP ＝5−3＝2，
2
∴P （4，−2）；
2
作CP ⊥AB交x轴于F，交 C于P ，则∠BCF＝∠AOB＝90°，∠CBF＝∠OBA，
3 3
∴△BCF∽△BOA，
⊙
作P G⊥CP 于G，则∠P GC＝∠CEB＝90°，
3 2 3
∵∠P3CG+∠ECB＝90°，∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠CBE＝∠P CG，
3
∵P C＝BC，
3
∴△P GC≌△CEB，
3
∴CG＝BE，P G＝CE，
3
∵C（4，3），B（8，0），
∴CG＝BE＝4，P G＝CE＝3，
3
∴P （1，−1）；
3
综上所述，点P的坐标为（−1，3），（4，−2）或（1，−1），
故答案为：（−1，3），（4，−2）或（1，−1）．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，交对角线AC于点
G．
（1）若DE＝1，AD＝2，求 的值；
（2）求证：△BCF∽△EAB．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BC∥AE，BC＝AD，进而得出△CBF∽△DEF，根据对应边
成比例即可解答；
（2）由平行四边形的性质得出BC∥AE，∠BAE＝∠FCB，进而得出∠E＝∠CBF，即可得证．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AE，BC＝AD＝2，
∴△CBF∽△DEF，
∴ ＝ ＝2；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AE，∠BAE＝∠FCB，
∴∠E＝∠CBF，
∴△BCF∽△EAB．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．
【分析】（1）由AB＝AC可得到∠ABC＝∠ACB，则∠ABD＝∠ACE，即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠D＝∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB＝AC，AC＝6，
∴AB＝AC＝6，
∵△ABD∽△ECA，
∴ ，∴ ，
∴BD＝9．
18．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证：△ABE∽△ACB．
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ＝ ，∠BED＝∠CBE，则 ＝ ，根据角平分线定义及
平行线的性质得到∠CBE＝∠BEC，则BC＝CE，根据相似三角形的判定与性质得出 ＝ ＝ ，根
据比例的性质及等量代换即可得解；
（2）结合（1）及题意推出 ＝ ，结合∠BED＝∠BEC，推出△BED∽△CEB，根据相似三角形的
性质得出∠DBE＝∠BCE，结合∠BAE＝∠CAB，即可判定△ABE∽△ACB．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴ ＝ ，∠BED＝∠CBE，
∴ +1＝ +1，
∴ ＝ ，
∵EB平分∠DEC，
∴∠BED＝∠BEC，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴BC＝CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，∵ ＝ ，
∴ ＝ ；
（2）∵ ＝ ，BC＝CE， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∠BED＝∠BEC，
∴△BED∽△CEB，
∴∠DBE＝∠BCE，
即∠ABE＝∠ACB，
又∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB．
19．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD．
（1）求DE的长；（结果保留根号）
（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．求证：△AGE∽△DGF．
【分析】（1）只要证明DE是等边△DBC的高即可解决问题；
（2）由△ AGD∽△ EGF ，可得 ，推出 ，又∠ AGE ＝∠ DGF ，即可推出
△AGE∽△DGF；
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵∠C＝60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴DB＝DC＝BC＝AB＝4，
∵BE＝EC，
∴DE⊥BC，
∴ ．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵DE⊥BC，AF⊥EF
∴∠DEC＝90°，∠AFE＝90°
∴∠ADG＝∠DEC＝∠ADG＝∠GFE＝90°，
又∵∠AGD＝∠EGF，
∴△AGD∽△EGF，
∴ ，
∴ ，
∵∠AGE＝∠DGF，
∴△AGE∽△DGF．
20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s
的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重
合）．若P、Q两点同时移动t（s）．
（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为8cm2．
（2）若PQ两点同时分别从A、B出发，经过多长时间△ABC与△BPQ相似？
【分析】（1）由题意知，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，再代入三角形面积公式，解方程即可；
（2）分两种情形：当△BPQ∽△BAC或△PBQ∽△CBA时，分别根据对应边成比例解决问题．
【解答】（1）解：设运动时间为t秒时（0≤t＜6），
由题意知，BQ＝2t cm，BP＝（6﹣t）cm，
∴ （cm2），
∴t＝2或4，
答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为8cm2；
（2）解：分两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，则 ，
即 ，
解得：t＝3，②当△BPQ∽△BCA时，
则 ，
即 ，
解得： ，
综上，当移动3秒或 秒时，△ABC与△BPQ相似．
