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训练 17 平面向量线性运算、平面向量基本定理
一、单项选择题
1．(2023·马鞍山模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(2m－1，3)，若a与b共线，则实数m等于(
)
A. B．5 C. D．1
答案 B
解析 由题意，得3×3－1×(2m－1)＝0，
解得m＝5.
2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d
的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2，6) B．(－2，6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案 D
解析 由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－
2，－6)．
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近D的三等分点，
点F为线段BC的中点，则FE等于( )
A．－AB＋AC B．－AB＋AC
C．－AB＋AC D．－AB＋AC
答案 B
解析 FE＝FC＋CE ＝BC＋CD＝(AC－AB)＋
＝AC－AB－AB－AC
＝－AB＋AC.
4.(2023·芜湖模拟)如图，不共线的三个向量a，b，c以圆心O为起点，终点落在同一圆周上，
且两两夹角相等，若c＝xa＋yb，则x＋y等于( )A．－2 B．－ C．－ D．－1
答案 A
解析 因为不共线的三个向量a，b，c以圆心O为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角
相等，
所以三个向量的终点A，B，C组成一个等边三角形，
即O是这个等边三角形的中心也就是重心，故 a＋b＋c＝0⇒a＋b＋xa＋yb＝0⇒x＝－1，y
＝－1⇒x＋y＝－2.
二、多项选择题
5．下列命题中是假命题的为( )
A．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．已知是空间的一个基底，若m＝a＋c，则也是空间的一个基底
D．若P，M，A，B四点共面，则MP＝xMA＋yMB
答案 BD
解析 A项，构成空间基底的向量不共线，故A为真命题；
B项，需满足a，b不共线，故B为假命题；
C项，由a，b，m不共面，所以也是空间的一个基底，故C为真命题；
D项，需满足M，A，B三点不共线，故D为假命题．
6.如图，在△ABC中，BD＝λBC，其中λ∈[0，1]，B＝，AB＝4，BC＝5，则( )
A．当λ＝时，AD＝AC＋AB
B．当AB·BD＝－2时，λ＝
C．当λ＝1时，△ABD的面积最大
D．当λ＝时，AD⊥BC
答案 ABC解析 对于A，∵BD＝λBC，
∴AD－AB＝λAC－λAB，
即AD＝(1－λ)AB＋λAC，
∴当λ＝时，AD＝AC＋AB，故A正确；
对于B，由AB·BD＝AB·(λBC)＝4×5λ×cos＝－2可得λ＝，故B正确；
对于C，当λ＝1时，BD＝BC，D与C重合，△ABD的面积最大，故C正确；
对于D，当λ＝时，AD＝AB＋BD＝AB＋BC，
∴AD·BC＝·BC
＝AB·BC＋BC·BC
＝4×5×＋×52＝15－10≠0，故D错误．
三、填空题
7.如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别是CD和BC边上的动点，连接EF，交
AC于点G，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R且λ＋μ＝，则＝________.
答案 2
解析 依题意，令AG＝mAC＝mλAE＋mμAF，m>0，
因为点E，G，F三点共线，
则mλ＋mμ＝1，而λ＋μ＝，因此m＝，
即AG＝AC，AG＝2GC，
所以＝2.
8．在△ABC中，AB＝5，AC＝2，BC上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC
的垂心且AH＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则＝________.
答案
解析 由题意，因为AD⊥BC，AB＝5，AC＝2，BC上的高AD＝4，
所以BD＝3，CD＝2，所以BD＝BC，
即AD－AB＝AC－AB，
即AD＝AB＋AC，
因为H为△ABC的垂心，所以A，H，D三点共线，
因此存在实数λ，使得AH＝λAD，
所以AH＝λAB＋λAC，
又AH＝xAB＋yAC，所以＝.
四、解答题9．设e，e 是两个不共线的向量，已知AB＝2e－8e，CB＝e＋3e，CD＝2e－e.
1 2 1 2 1 2 1 2
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若BF＝3e－ke，且B，D，F三点共线，求k的值．
1 2
(1)证明 由已知得BD＝CD－CB＝(2e－e)－(e＋3e)＝e－4e，
1 2 1 2 1 2
∵AB＝2e－8e，∴AB＝2BD.
1 2
又∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)解 由(1)可知BD＝e－4e，
1 2
∵BF＝3e－ke，且B，D，F三点共线，
1 2
∴BF＝λBD(λ∈R)，即3e－ke＝λe－4λe，
1 2 1 2
即解得k＝12.
10.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点．其中
AF＝AD，BG＝BC，设AB＝a，AD＝b.
(1)用a，b表示EF，EG；
(2)如果|a|＝|b|，用向量的方法证明：EF⊥EG.
(1)解 由题意得
EF＝AF－AE＝AD－AB＝－a＋b，
EG＝EB＋BG＝AB＋BC＝a＋b.
(2)证明 由(1)得EF·EG＝·＝－a2＋b2
＝－×2＋b2＝0，
所以EF⊥EG.
