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训练 27 直线的方程、两条直线的位置关系
一、单项选择题
1．(2023·蚌埠模拟)已知直线l ：ax＋2y＋1＝0，l ：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是
1 2
“l⊥l”的( )
1 2
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若l⊥l，则(3－a)×＝－1，
1 2
解得a＝1或a＝2.
故a＝1是l⊥l 的充分不必要条件．
1 2
2．已知直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，
则直线l的方程为( )
A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0
答案 A
解析 设直线l的方程为＋＝1(a≠0，b≠0)，则由题意可知A(a,0)，B(0，b)．
因为P(－2,3)是AB的中点，
所以＝－2，＝3，
解得a＝－4，b＝6.
所以直线l的方程为＋＝1，
即3x－2y＋12＝0.
3．(2024·南昌模拟)直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则k的取值
范围是( )
A．(－2,2) B．(－，)
C．(－1,1) D.
答案 D
解析 直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则原点到直线的距离小
于1，
所以<1，解得－<k<.
4.如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB
上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )A．2 B．3 C．6 D．2
答案 D
解析 点P关于y轴的对称点P′的坐标是(－2,0)．
设点P关于直线AB：x＋y－4＝0的对称点为P″(a，b)，则解得
故光线所经过的路程
P′P″＝＝2.
二、多项选择题
5．下列说法正确的是( )
A.＝k不能表示过点 M(x，y)且斜率为k的直线方程
1 1
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．过两点A(x，y)，B(x y)的直线方程为(x－x)(y－y)－(y－y)(x－x)＝0
1 1 2, 2 2 1 2 2 1 2
答案 AD
解析 ＝k 表示过点M(x，y)且斜率为k的直线去一个点(不含点M)的方程，故A正确；
1 1
在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1，但当a或b＝0时，不能用此方程，
故B错误；
直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为|b|，故C错误；
过两点A(x，y)，B(x，y)的直线方程为＝(不含A，B两点)，
1 1 2 2
转化为(x－x)(y－y)－(y－y)(x－x)＝0(含A，B两点)，故D正确．
2 1 2 2 1 2
6．已知点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，则实数m
的值可以是( )
A．－ B. C．－ D.
答案 AC
解析 因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，
所以
＝，
化简得|5m＋8|＝1，解得m＝－或m＝－.
三、填空题
7．若直线l ：3x＋y＋m＝0与直线l ：mx－y－7＝0平行，则直线l 与l 之间的距离为
1 2 1 2
________．
答案解析 由题设得m＋3＝0，即m＝－3，
所以l：3x＋y－3＝0，l：3x＋y＋7＝0，
1 2
所以直线l 与l 之间的距离为＝.
1 2
8．点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
答案 2
解析 直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．
由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值
PQ＝＝2，
所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.
四、解答题
9．已知两条直线l：ax＋y＋a＋1＝0，l：2x＋(a－1)y＋3＝0.
1 2
(1)求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；
1
(2)若a＝0，直线l与l 垂直，且________，求直线l的方程．
2
从以下三个条件中选择一个补充在横线上面问题中，使满足条件的直线 l有且仅有一条，并
作答．条件①：直线l过坐标原点；条件②：坐标原点到直线l的距离为1；条件③：直线l
与l 交点的横坐标为2.
1
注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分．
解 (1)ax＋y＋a＋1＝0，
即a(x＋1)＋y＋1＝0，则
故直线l 过定点(－1，－1)．
1
当时，代入验证成立．
(2)当a＝0时，l：2x－y＋3＝0，直线斜率为2，则直线l的斜率为k＝－，
2
设直线方程为y＝－x＋b，即x＋2y－2b＝0.
选择条件①：b＝0，则直线方程为y＝－x，满足条件；
选择条件②：d＝＝1，解得b＝±，不唯一，不满足；
选择条件③：l ：y＋1＝0，故交点为(2，－1)，代入直线方程得－1＝－×2＋b，解得b＝
1
0，
故直线方程为y＝－x.综上所述，选择条件①或③，
可得直线方程为y＝－x.
10．已知直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R.
(1)求证：直线l恒过点P，并求出点P的坐标．(2)若直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．
解 (1)将(m＋2)x－my－3m－8＝0转化为m(x－y－3)＋2x－8＝0.
由解得
将(4,1)代入验证成立，故直线l恒过点P(4,1)．
(2)方法一 由题意得直线l在x轴、y轴上的截距相等，
所以m＋2≠0，m≠0.
令x＝0得－my－3m－8＝0，y＝，
故l在y轴上的截距为.
令y＝0，得(m＋2)x－3m－8＝0，x＝，
故l在x轴上的截距为.
由＝得(3m＋8)(m＋1)＝0，
解得m＝－1或m＝－，
当m＝－1时，化简得x＋y－5＝0，
当m＝－时，化简得x－4y＝0，
故直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0.
方法二 由题意得，直线l在x轴、y轴上的截距相等，且直线l恒过点P(4,1)，若直线l过
原点，
则方程为y＝x，即x－4y＝0；
若直线l不过原点，
设方程为x＋y＋c＝0，把点(4,1)代入，
解得c＝－5，
故直线l的方程为x＋y－5＝0，
综上，直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0.
