文档内容
专题26 正方形的折叠
1．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把 ADE沿AE
折叠使 ADE落在 AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC的中点；
④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
2．如图，先将正方形纸片对着，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在
MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到△ADH，则下列选项正确的个数为（ ）
①AE垂直平分HB；②∠HBN=15°；③DH=DC；④△ADH是一个等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，
使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的
长度为（ ）A．4 B．
C． D．
4．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图
⑤，若五边形 的面积是正方形 面积的2倍，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上， ．若将四边
形 沿 折叠，点 恰好落在 边上点 处，则 的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则
∠EBF的大小为_____．7．折叠矩形纸片：
第一步，如图1，在纸片一端折出一个正方形MBCN，再把纸片展开；
第二步，如图2，把这个正方形对折，再把纸片展开，得矩形MAEN和ABCE；
第三步，如图3，折出矩形ABCE的对角线EB，并把EB折到图中所示的ED处；
第四步，如图4，展平纸片，按所得点D折出DF，得矩形BFDC.
（1）若MN=2时，CM=________；
（2） 的值为 ________.
8．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落
在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度．
9．在边长为 的正方形 中，点 是射线 上的动点（不与 重合），连接 ，将
沿 向右翻折得 ，连接 和 ，若 为等腰三角形，则 的长为
___________．10．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，点E，G分别是边AD，CD的中点，点F是边BC上
的动点，连接EF，将正方形ABCD沿EF折叠，A，B的对应点分别为A'，B'，则线段GB'的最小
值是__________________．
11．如图，在正方形 中，已知 ，点 分别是边 的中点，点F是边 上的
动点，连接 ，将正方形 沿 折叠， 的对应点分别为 ，则线段 的最小值是
_____．
三、解答题
12．如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将 沿 对折至
，延长 交边 于点G，连接 、 ．(1)求证： ；
(2)求 的面积；
(3)在 的条件下，求 周长的最小值．
13．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把 DEC沿DE折叠得到 DEF，
延长EF交AB于点G，连接DG． △ △
(1)填空，∠EDG=_________°．
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．
①求线段AG的长；
②求 BEF的面积；
(3)填△空：当DE=DG时，若令CE=a，则BF=_________（用含a的式子表示）．
14．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC
（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？
如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）
得到的结论）15．如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点
A在x轴上，点C在y轴上， ，点E在边 上，点N的坐标为 ，过点N且平行于y轴
的直线 与 交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在 上，并与 上的点G重合，折痕
为 ．
（1）求点G的坐标，并求直线 的解析式；
（2）若直线 平行于直线 ，且与长方形 有公共点，请直接写出n的取值范
围．
（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以 为顶点的三角形为等腰三角形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，四边形 是边长为9的正方形纸片， 为 边上的点， ．将纸片沿某条
直线折叠，使点 落在点 处，点 的对应点为 ，折痕分别与 ， 边交于点 ， ．求
的长．17．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x
轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P
处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标 ；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．
拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
18．如图，P为边长为6的正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，Q在CD上，且
CQ=BP，连接AP、BQ，将 BQC沿BQ所在的直线翻折得到 BQE，延长QE交BA的延长线于点
F． △ △
(1)试探究AP与BQ的数量与位置关系，并证明你的结论；
(2)当E是FQ的中点时，求BP的长．
19．如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至
△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．
20．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A恰
好落在AE上的G处，得到折痕BF，与AD交于点F．
(1)当E是CD的中点时，求AF的长；
(2)若 ，求GE的长．
21．如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B作
BQ⊥AP交CD于点Q，将 沿着BQ所在直线翻折得到 ，延长QE交BA的延长线于点
M．
(1)探求AP与BQ的数量关系；
(2)若 ， ，求QM的长．
22．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是CD上一点，连接AE，把正方形纸片折叠，使点A落在AE上的一点G，折痕为BF，且BF与AE交于点H．
（1）求证：AF＝DE；
（2）当E为CD的中点时，求AG的长．
