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专题26 正方形的折叠
1．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把 ADE沿AE
折叠使 ADE落在 AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC的中点；
④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
【答案】A
【分析】先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝
90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
所以∠GAE＝ ∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣
x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，则BG＝CG＝3，则点G
为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC＝∠GCF，再由
Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB＝∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易
得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG，再证出AG⊥BF，即可得出BF∥FC．
【详解】解：连接AG，AG和BF交于H，如图所示：
∵正方形ABCD的边长为6，DC＝3DE，
∴DE＝2，EC＝4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中， ，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝ ∠BAD＝45°，①正确；
∴GE＝GF+EF＝BG+DE，②正确；
设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，
∵CG2+CE2＝GE2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，
∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3，
∴BG＝CG，即点G为BC的中点，③正确；
∴GF＝GC，
∴∠GFC＝∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
而∠BGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴FC∥AG，
∵AB＝AF，BG＝FG，
∴AG⊥BF，
∴BF⊥FC，④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行线
的判定等知识；熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
2．如图，先将正方形纸片对着，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在
MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到△ADH，则下列选项正确的个数为（ ）①AE垂直平分HB；②∠HBN=15°；③DH=DC；④△ADH是一个等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①由翻折的性质可知；点H与点B关于AE对称，故此AE⊥BH，④由翻折的性质
AH=AB，MN垂直平分AD，于是得到DH=AH=AB=AD，故此△ADH为等边三角形，③由DH=AD
可知DH=DC，②由△ADH为等边三角形可知∠HAB=30°，在△ABH中可求得∠ABH=75°，故此可
求得∠HBN=15°．
【详解】解：由翻折的性质可知：AE垂直平分HB，MN垂直平分AD．
故①正确．
∵MN垂直平分AD，
∴DH=AH．
由翻折的性质可知：AH=AB．
∴AH=AD=DH．
∴△ADH是一个等边三角形．
故④正确．
∵HD=AD，
∴HD=DC．
故③正确
∵△ADH是一个等边三角形，
∴∠DAH=60°．
∴∠HAB=30°．
∵AB=AH，
∴∠ABH= ×（180°﹣30°）=75°．
∴∠HBN=15°．
故②正确．
故选D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、线段垂直平分线的性质、折叠的性质以及等边三角形的
判定及性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
3．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，
使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的
长度为（ ）
A．4 B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接EC，作GJ⊥CD于J，EF交GH于点Q，证明四边形BCJG是矩形，求出∠CEF＝
∠HGJ，然后证明 EFC≌△GJH（ASA），可得GH＝EC，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图△，连接EC，作GJ⊥CD于J，EF交GH于点Q，
∵∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCJG是矩形，
∴GJ∥BC，GJ＝BC，
由题意得：EF⊥BC，BC＝CD＝EF，
∴EF⊥GJ，GJ＝EF，
∵E，C关于GH对称，
∴EC⊥GH，
∴∠EQH＋∠CEF＝∠GQF＋∠HGJ＝90°，∵∠EQH＝∠GQF，
∴∠CEF＝∠HGJ，
在 EFC和 GJH中， ，
△ △
∴△EFC≌△GJH（ASA），
∴GH＝EC，
∵EC＝ ，
∴GH＝ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，全
等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
4．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图
⑤，若五边形 的面积是正方形 面积的2倍，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意连接HF，直线HF与AD交于点P，根据五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面
积的2倍，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为 可得 ，根据折叠可得正方形
ABCD的面积为 ，进而求出FM即可．
【详解】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，∵五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查折叠问题，解决本题的关键是掌握对称的性质以及正方形的性质．
5．如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上， ．若将四边
形 沿 折叠，点 恰好落在 边上点 处，则 的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到 ，进而得到
，然后在 中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠EFD=∠FEB=60°，
由折叠前后对应角相等可知： ，
∴ ，
∴ ，
设AE=x，则 ，
∴AB=AE+BE=3x=3，
∴x=1，
∴BE=2x=2，
故选：D．
【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题
的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
6．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则
∠EBF的大小为_____．
【答案】45°##45度
【分析】首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，再根据折叠可得∠1＝∠2＝
∠ABD，∠3＝∠4＝ ∠DBC，进而可得∠2+∠3＝45°，即∠EBF＝45°．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
根据折叠可得∠1＝∠2＝ ∠ABD，∠3＝∠4＝ ∠DBC，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
即∠EBF＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相
等的．
7．折叠矩形纸片：
第一步，如图1，在纸片一端折出一个正方形MBCN，再把纸片展开；
第二步，如图2，把这个正方形对折，再把纸片展开，得矩形MAEN和ABCE；
第三步，如图3，折出矩形ABCE的对角线EB，并把EB折到图中所示的ED处；
第四步，如图4，展平纸片，按所得点D折出DF，得矩形BFDC.
（1）若MN=2时，CM=________；
（2） 的值为 ________.
【答案】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理，即可求出CM的长度；（2）设正方形的边长为2a，由折叠的性质，可得EC=正方形的边长× ，在Rt ABC中，利用
△
勾股定理可求出AB与正方形的边长之间的关系，再求出CD= ，即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形MBCN是正方形，MC是对角线，
∴MN=CN=2，
由勾股定理，得： ；
故答案为： ；
（2）在正方形BCNM中，设NC=2a=BC，
∵E为NC的中点，
∴EC= ．
在Rt EBC中，EB= ．
△
又∵ED=EB，
∴CD=ED EC=（ ）a．
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质、勾股定理，综合考查的知识点较
多，解答本题需要我们具有扎实的基本功，数形结合，灵活解答．
8．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落
在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度．
【答案】30【分析】根据折叠的性质知：可知：BN= BP，从而可知∠BPN的值，再根据∠PBQ=∠CBQ，可将
∠PBQ的角度求出．
【详解】根据折叠的性质知：BP=BC，∠PBQ=∠CBQ
∴BN= BC= BP
∵∠BNP=90°
∴∠BPN=30°
∴∠PBQ= ×60°=30°．
故答案是：30．
【点睛】已知折叠问题就是已知图形的全等，根据边之间的关系，可将∠PBQ的度数求出．
9．在边长为 的正方形 中，点 是射线 上的动点（不与 重合），连接 ，将
沿 向右翻折得 ，连接 和 ，若 为等腰三角形，则 的长为
___________．
【答案】 或 或
【分析】分三种情形画出图形分别求解即可．
【详解】如图所示，
①点F在以A为圆心 为半径的圆上，满足条件的点F在线段 的垂直平分线 上．
作 于H，在 中，
由题意可得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
②当 时，在 上取一点G，使得 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
若以点D为圆心， 长为半径作圆与以点A为圆心， 长为半径的圆在正方形内的交点为F，
过F作 ，∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ， ，由一线三直角易证： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴
∴可得此时 ，
综上所述， 的长为 或 或 ．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是正确寻找点F的位置，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用
辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，点E，G分别是边AD，CD的中点，点F是边BC上
的动点，连接EF，将正方形ABCD沿EF折叠，A，B的对应点分别为A'，B'，则线段GB'的最小
值是__________________．
【答案】 ﹣
【分析】当F点运动时，点B'点运动轨迹为以E点为圆心，EB'为半径的一段圆弧，当E，G，
B'三点共线GB'最短．
【详解】解：连接BE，B'E，EG，如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AB＝AD＝CD＝2，
∵E是AD中点，G是CD中点，
∴AE＝DE＝DG＝1，
在Rt△ABE中，BE＝ ，
在Rt△DEG中，EG＝ ，
∵点B与点B'关于直线EF对称，
∴BE＝B'E，
∴当F点运动时，点B'点运动轨迹为以E点为圆心，
EB为半径的一段圆弧，当E，G，B'三点共线GB'最短．
最短距离为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和翻折变换的特点以及勾股定理，解题关键是根据在翻折的
过程中对应线段相等进行求解．
11．如图，在正方形 中，已知 ，点 分别是边 的中点，点F是边 上的
动点，连接 ，将正方形 沿 折叠， 的对应点分别为 ，则线段 的最小值是
_____．【答案】
【分析】如图，连接EG，EB′．求出EG，EB′的长，可以判定点B′在EG的延长线上时，GB′的值
最小，最小值= ，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接EG，EB′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=DC=AB=2，
∵AE=DE=1，DG=GC=1，
∴EG= = = ，
由翻折的性质可知，∠A′=∠A=90°，A′E=AE=1，A′B′=AB=2，
∴EB′= = = ，
∴当点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值= ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想
思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题
12．如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将 沿 对折至
，延长 交边 于点G，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)求 的面积；
(3)在 的条件下，求 周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形性质证明 ，根据对折
性质得到 ，从而证明 ，根据“斜边，直角边”即可证
明 ；
（2）先求出 ，进而得到 ，设 ，则 ，
根据 得到 ，根据勾股定理求出 ，从而得到 ，
即可得出 ，最后求出 的面积，根据 即可求解；
（3）根据 ，可得 的周长 ，再根据当点A、F、C三点共线是，
最小，根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 沿 对折至 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
解得： ．
（3）∵ 沿 对折至 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴当 最小时， 的周长最小，
如图：当点A、F、C三点共线是， 最小，
根据勾股定理得： ，∴ ，
∴ 的周长最小值 ．
【点睛】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形，勾股定理，等腰
三角形的性质，综合性较强，熟知相关定理，根据已知条件灵活应用是解题关键．
13．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把 DEC沿DE折叠得到 DEF，
延长EF交AB于点G，连接DG． △ △
(1)填空，∠EDG=_________°．
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．
①求线段AG的长；
②求 BEF的面积；
(3)填△空：当DE=DG时，若令CE=a，则BF=_________（用含a的式子表示）．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得DC=DA，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”
证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出
∠2+∠3=45°，从而得解；
（2）①设AG=x，则BG=6-x，根据勾股定理得：EG2=BG2+BE2，列方程可得AG的长；
②先计算△BEG的面积，根据同高三角形面积的关系可得：S BEF= ；
△
（3）根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点，由（1）和折叠得：
AG=FG=EF=CE=a，根据勾股定理可得结论．
（1）
解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3＝∠4，
∴∠EDG＝∠3+∠2
＝ ∠ADF+ ∠FDC
＝ （∠ADF+∠FDC）
＝ ×90°，
＝45°
故答案为45．（2）
①由（1）知：Rt△DGA≌Rt△DGF，
∴AG＝FG，
∵E为BC的中点，
∴CE＝EF＝BE＝3，
设AG＝x，则BG＝6﹣x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2，
即（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
∴AG＝2；
②由①知：BG＝4，BE＝3，
∴S BEG＝ ＝6，
△
∵EF＝3，FG＝2，
∴S BEF＝ ．
△
（3）
∵DE＝DG，∠DFE＝∠C＝90°，
∴点F是EG的中点，
∴AG＝FG＝EF＝CE＝a，
∴EG=EF+FG=2a，
∵ ，
∴ ．
故答案为：a．【点睛】四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形
的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
14．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC
（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？
如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）
得到的结论）
【答案】（1）AH=AB；（2）成立，理由见解析；（3）6
【分析】（1）先证明 ，可得 ， ，再证明
即可；
（2）延长 至 ，使 ，证明 ，能得到 ；
（3）分别沿 、 翻折 和 ，得到 和 ，然后分别延长 和 交
于点 ，得正方形 ，设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理，
解得 ．
【详解】解：（1）如图①， ．理由如下：
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，，
，
， ，
是等腰三角形，
又 ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
故答案为： ；
（2）数量关系成立．如图②，延长 至 ，使 ．
∵四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS），
， ，
，
，，
，
在 和 中，
，
．
， ，
、 是 和 对应边上的高，
．
（3）如图③分别沿 、 翻折 和 ，得到 和 ，
， ， ．
分别延长 和 交于点 ，得正方形 ，
由（2）可知， ．
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
，
解得 ， ．（不符合题意，舍去），
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性
质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的
关键．
15．如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上， ，点E在边 上，点N的坐标为 ，过点N且平行于y轴
的直线 与 交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在 上，并与 上的点G重合，折痕
为 ．
（1）求点G的坐标，并求直线 的解析式；
（2）若直线 平行于直线 ，且与长方形 有公共点，请直接写出n的取值范
围．
（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以 为顶点的三角形为等腰三角形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）G的坐标为 ，直线 的解析式为 ；（2） ；（3）P的坐标
为 或 或 或
【分析】（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用
待定系数法代入G的坐标，可得直线 的解析式；
（2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围；
（3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可．
【详解】解：（1）由折叠的性质可知， ，
由勾股定理得， ，
∴点G的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得 ，∴直线 的解析式为 ；
（2）∵直线 平行于直线 ，
，即直线 的解析式为 ，
当直线 经过点 时， ，
解得， ，
当直线 经过点 时， ，
解得， ，
∴直线 与长方形 有公共点时， ，
（3）①当 时，
若点P在原点左侧，点P的坐标为 ，
若点P在原点右侧，点P的坐标为 ，
②当 时，
，
，
，
∴点P的坐标为 ，
③当 时，
可得 ，
在 中， ，即 ，
解得， ，点P的坐标为 ，
综上所述，以 为顶点的三角形为等腰三角形时，
点P的坐标为 或 或 或 ．【点睛】本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同
时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握考查内容并利用数形结合
的思想求解．
16．如图，四边形 是边长为9的正方形纸片， 为 边上的点， ．将纸片沿某条
直线折叠，使点 落在点 处，点 的对应点为 ，折痕分别与 ， 边交于点 ， ．求
的长．
【答案】5
【分析】设 ，根据折叠的性质得 ，结合勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】设 ，
∵四边形 是边长为9的正方形纸片，将纸片沿某条直线折叠，使点 落在点 处，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的长为5．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是熟练掌握勾股定理
和方程思想，学会利用参数构建方程解决问题．
17．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x
轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P
处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标 ；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
【答案】（1）①(0，5)；② ；（2）理由见解析；（3）周长=16，不会发生变化，证
明见解析．
【分析】（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝
AE2+AP2，即可求解；
②证明△AOP≌△FRE（AAS），则ER＝AP＝4，故点F（8，1），即可求解；
（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC
＝∠OPH，又因为AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；
（3）证明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），则CH＝QH，即可求解．
【详解】（1）①设：OE=PE=a，则AE=8﹣a，AP=4，
在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，
即a2=(8﹣a)2+16，解得：a=5，
故点E(0，5)．
故答案为：(0，5)；
②过点F作FR⊥y轴于点R，
折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，
∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠EFR，而∠OAP=∠FRE，RF=AO，
∴△AOP≌△FRE(AAS)，
∴ER=AP=4，
OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故点F(8，1)，
将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b
得： ，解得： ，
故直线EF的表达式为：y=﹣ x+5；
（2）∵PE=OE，
∴∠EOP=∠EPO．
又∵∠EPH=∠EOC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．
即∠POC=∠OPH．
又∵AB∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠APO=∠OPH；
（3）如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APO=∠OPH，
在△AOP和△QOP中，
∴△AOP≌△QOP(AAS)，
∴AP=QP，AO=OQ．又∵AO=OC，
∴OC=OQ．
又∵∠C=∠OQH=90°，OH=OH，
∴△OCH≌△OQH(SAS)，
∴CH=QH，
∴△PHB的周长=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16．
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定
理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
18．如图，P为边长为6的正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，Q在CD上，且
CQ=BP，连接AP、BQ，将 BQC沿BQ所在的直线翻折得到 BQE，延长QE交BA的延长线于点
F． △ △
(1)试探究AP与BQ的数量与位置关系，并证明你的结论；
(2)当E是FQ的中点时，求BP的长．
【答案】(1)见解析：（2）2 ．
【分析】(1)证明 ABP≌△BCQ，则∠PAB=∠CBQ，从而证明∠PAB+∠ABQ=90°，进而得证；
(2)由折叠的性质△可得∠BQE=∠C=90°，∠QBE=∠QBC，再根据EQ=EF，可得BE垂直平分FQ，从
而有BF=BQ，进而可得∠FBE=∠EBQ，再根据∠FBE+∠EBQ+∠QBC=∠ABC=90°，求出
∠QBC=30°，可得BQ=2CQ，在Rt BCQ中，利用勾股定理求出CQ长即可求得答案．
【详解】(1)AP=BQ，AP⊥BQ，证明△如下：
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
又∵BP=CQ，
∴△ABP≌△BCQ(SAS)，
∴AP=BQ，∠PAB=∠CBQ，∵∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=90°，
∴∠PAB+∠ABQ=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AP⊥BQ；
(2)∵将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，
∴∠BQE=∠C=90°，∠QBE=∠QBC，
又∵EQ=EF，
∴BE垂直平分FQ，
∴BF=BQ，
∴∠FBE=∠EBQ，
∵∠FBE+∠EBQ+∠QBC=∠ABC=90°，
∴∠QBC=30°，
∴BQ=2CQ，
在Rt△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，即(2CQ)2=62+CQ2，
∴CQ=2 ，
∵BP=CQ，
∴BP=2 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，勾股定理
等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
19．如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至
△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．
【答案】（1）①证明详见解析；②3；（2） ．
【分析】（1）①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出
ABG≌△AFG即可；②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
△（2）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案．
【详解】（1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将 ADE沿AE对折至 AFE，
∴AD△=AF，DE=EF，∠D=△∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt ABG和Rt AFG中，
△ △
∵ ，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
②∵CD=3DE
∴DE=2，CE=4，
设BG=x，则CG=6﹣x，GE=x+2
∵GE2=CG2+CE2
∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，
解得 x=3
∴BG=3，
又∵AB＝6，
∴BG= GC=3；（2）过C作CM⊥GF于M，
∵BG=GF=3，
∴CG=3，EC=6﹣2=4，
∴GE=5，
CM•GE=GC•EC，
∴CM×5=3×4，
∴CM=2.4，
∴S FGC＝ GF·CM=3.6．
△
20．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A恰
好落在AE上的G处，得到折痕BF，与AD交于点F．
(1)当E是CD的中点时，求AF的长；
(2)若 ，求GE的长．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）证明 即可求出 ;
（2）由折叠及轴对称的性质可知， ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证 ABF≌△DAE，推出AF
的长，再利用勾股定理求出BF的长△，最后在Rt ABF中利用面积法可求出△AH的长，可进一步求
△出AG的长，GE的长．
（1）
解：∵四边形ABCD是正方形
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E是CD的中点，∴ ，∴ ．
（2）
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，
由折叠及轴对称的性质可知， ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH=GH， △
∴∠BAH+∠ABH=90°，
又∵∠FAH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠FAH，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF=DE=5，
在Rt ABF中，
△
BF= ，
S ABF= AB•AF= BF•AH，
△
∴12×5=13AH，
∴AH= ，
∴AG=2AH= ，
∵AE=BF=13，
∴GE=AE-AG=13- = ．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积
法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．
21．如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B作
BQ⊥AP交CD于点Q，将 沿着BQ所在直线翻折得到 ，延长QE交BA的延长线于点
M．
(1)探求AP与BQ的数量关系；
(2)若 ， ，求QM的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）只需要证出 ，即可解题．
（2）过点Q作 于点H，易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1运用勾股定理可以求得AP，
又因为DC//AB，可得 ，由折叠知识得 ，所以 ，可
得MQ=MB．通过设定未知数，在 中我们通过勾股定理就可以解决问题．（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴ ，
∵BQ⊥AP
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）
过点Q作 于H，如图
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH=BC=AB=3，
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴ ，
∴ ，∵四边形ABCD是正方形，
∴DC//AB
∴ ，
由折叠知识得 ，
∴ ，
∴MQ=MB，
设QM=x，则有MB=x，MH=x-2，
在 中，
根据勾股定理可得 ，
解得x= ，
∴QM的长为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠之后完全相
同，包括边的长度还有角的度数完全相等，再设未知数，然后运用勾股定理建立方程，这是求线
段长度最常用的方法．
22．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是CD上一点，连接AE，把正方形纸片折叠，使点A
落在AE上的一点G，折痕为BF，且BF与AE交于点H．
（1）求证：AF＝DE；
（2）当E为CD的中点时，求AG的长．
【答案】（1）见解析；（2）AG＝ ．
【分析】（1）根据折叠性质证得BF⊥AE，AH＝GH，再根据正方形性质和等角的余角相等证得
∠ABH＝∠FAH，然后证明△ABF≌△DAE（ASA），进而根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）先由勾股等理求得BF的长，再由面积法求得AH，进而由AG=2AH即可求解．【详解】（1）由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABF＝90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠BAH＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
∴AF＝4，
∴BF＝ = =
由折叠可得：AH＝HG，BF⊥AG，
∵S ABF＝ ×AB×AF＝ ×BF×AH，
△
∴AH＝ ，
∴AG＝2AH= ．
【点睛】本题考查正方形的性质、折叠性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股
定理、三角形的面积公式，熟练掌握折叠性质和全等三角形的判定与性质，利用等面积法求解AH
是解答的关键．
