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专题 27.38 相似三角形几何模型-双垂线等角（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将矩形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转得矩形
AEFG，连接BE，当EF刚好经过点D时，线段BE的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在等腰直角△ABC中， ，O是斜边AB的中点，点D、E分别在
直角边AC、BC上，且 ，DE交OC于点P．给出下列结论：
（1）AD=CE；
（2） ；
（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（4） ．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝6，DB＝2，则CD
的长为（ ）A．3 B． C． D．4
4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，且BD＝2CD，连接AD，
将△ABD沿AD翻折，得到△ADE，DE与AC交于点F．若△DCF，△AEF的面积分别为
1和16，则 ＝（ ）
A． B．3 C． D．
5．如图，正方形 的边长为 ，点O是对角线 、 的交点，过点O作射
线 、 分别交边 、 于点E、F，且 ， 、 交于点G， 中
点为H．给出下列结论：
① ；② ；③四边形 的面积为正方形 面积的
；④ ；⑤H点经过的路程为 其中正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①④⑤
6．在 中， ， ，点 为线段 上一点，以 为一边构
造 ， ， ，下列说法正确的个数是（ ）①图中和 相等的角有2个（不含 ）；②若不添加线段，图中共有5对相似
三角形；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，矩形纸片ABCD中， ， ，点E，F分别在AD，BC上，把纸
片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为 ， ，连接 并延长，交CD于点G，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 中， ，将 以点 为中心逆时针旋转得到 ，点
在 边上， 交 于点 ．下列结论：① ；② 平分 ；③
，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似
三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立
的有（ ）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，等边三角形△ABC的边长为2，点O是△ABC的重心，∠FOG＝120°，绕
点O旋转∠FOG分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD
＝OE；②BD＋BE＝2；③四边形ODBE的面积始终等于 ；④△BDE周长的最小值为
3，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，在Rt ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，
B重合），连接CD，△将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点
F，连接AE．若AB=3 ，AD=2BD，则AF=_____．12．如图， 中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，①∠A+∠B=90°；
②AB2=AC2+BC2；③ ；④CD2=AD•BD．能证明 是直角三角形的有_____
（多选、错选不得分）．
13．图，正方形ABCD的边长为2，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD边上，
且DE=2CE，过点C作 于点F，连接OF，则 ______．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果 ＝ ，
AD=8，那么CD的长是 _____．15．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转一定
的角度得 ，且点D恰好落在边 上， 与 交于点F．
（1）求 ________；
（2）当 时， ________．
16．如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使△ABC∽△ADE，则这个条件可以是
________（填一个即可）．
17．如图，在△ABC与△AED中， ,添加一个条件，使△ABC与△AED相
似，这个条件可以是________．
18．已知：如图，在 中， ， ，垂足是 ， ，
BD=1．则 ______．19．如如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，AC与BD相交于O，E为DC上的一
点，过点O作OF⊥OE交BC于F，记d= ，则d的最小值为 _____．
20．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中， ，
点D在BC边上，DE与AC相交于点F， ，垂足是G，交BC于点H．下列结论
中：① ；② ；③若 ， ，则 ；④
，正确的是______．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且 ，
．
(1)求证： ． (2)若 ，求∠CBD的度数．22．在 ABC和 ADE中，点E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．
(1) 求证△： ABC△∽△ADE；
(2) 若AC∥△DE，∠AEC＝45°，求∠C的度数．
23．如图，在△ABC和△BED中， ．
(1) 若△ABC与△BED的周长差为10cm，求△ABC的周长；
(2) 若△ABC与△BED的面积之和为170 ，求△BED的面积．24．将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交
AB，AC于点M和N．
(1) 求证：△AMD∽△CND；
(2) 如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断
是否成立，并给出证明．
25．如图1， ABC和 ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，直线BD和直
线CE交于点F．△ △
(1)线段BD与CE具有怎样的数量关系？写出证明过程；
(2)若AC=BC=3，AE＝DE= ，将 ADE绕着点A在平面内旋转，当点D落在线段
△
AC上时，在图2中补全图形，并求CF的长度．26．如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且
CE=AF．
(1)求证：DE⊥DF；
(2)如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为8，求四边形
DEBF的面积；
(3)如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝3 ，直接写出
AG的长．
参考答案
1．B
【分析】
连接DG．由矩形的性质和旋转可得出 ， ，， ．利用勾股定理可求出 ，从而可求出
，进而再次利用勾股定理可求出 ．由
，即易证 ，得出 ，即可求出BE的长．
解：如图，连接DG．
由旋转和矩形性质可知 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴在 中， ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．
正确的作出辅助线构造相似三角形是解题关键．
2．A【分析】
由等腰直角三角形和同角的余角相等，易证 ，再由勾股定理即可判断
（1）（2）正确，再用面积割补法即可整除（3）正确，再证得 ，即可判断
（4）正确．
解： ， ，O是斜边AB的中点，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
，AD=CE，
故（1）正确；
，
，
，
，
故（2）正确；
，
S CDOE= ，
四边形
∴ ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍，
故△（3）正确．
，，
，
，
，
，
故（4）正确；
四个答案都正确，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质，掌握各项性质和判定以及面
积的割补法是解题的关键．
3．B
【分析】
证明 ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，从而求出CD的长度．
解：△∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是正确判定
ACD∽△CBD，得到 ，从而进行解题．
△
4．C
【分析】
根据已知易证△AFE∽△DFC，从而求出对应边的比，然后设CD＝a，DF＝x，表示出EF与CF的长，再根据EF＝4CF，求出x＝ a，最后进行计算即可解答．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由折叠得：∠B＝∠E，AB＝AE，BD＝DE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∵△DCF，△AEF的面积分别为1和16，
∴ ，
∵BD＝2CD，
∴设CD＝a，BD＝2a，
∴AE＝4CD＝4a，DE＝BD＝2a，
∴AB＝AC＝4a，
设DF＝x，
则AF＝4DF＝4x，
∴CF＝AC﹣AF＝4a﹣4x，EF＝DE﹣DF＝2a﹣x，
∵EF＝4CF，
∴2a﹣x＝4（4a﹣4x），
∴x＝ a，
∴AF＝4x＝ a，
EF＝2a﹣x＝ a，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换， 解
题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
5．C
【分析】①由正方形证明OC=OD，∠ODF=∠OCE=45°，∠COM=∠DOF，可得结论；②由全等
三角形得OE=OF，得∠OEG=∠FCG=45°，再利用对顶角相等，证得 OGE∽△FGC；③先
△
证明S COE=S DOF，可得S CEOF=S OCD= S ABCD；④证明
四边形 正方形
△ △ △
OEG∽△OCE，得OG•OC=OE2，再证明BE2+DF2=EF2，由EF＞OE，可得结论；⑤由
△CH=OH，则点H在OC的垂直平分线上，可得点H的轨迹是PQ，通过证明
CPQ∽△CDB，可求PQ=2，即可得结论．
△ 解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠COM=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴OE=OF，
∵∠MON=90°，
∴∠OEG=45°=∠FCG，
∵∠OGE=∠FGC，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴S COE=S DOF，
△ △
∴S CEOF=S OCD= S ABCD，故③正确；
四边形 正方形
△
④∵△COE≌△DOF，
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°=∠OCE，
∵∠EOG=∠COE，
∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC=OG：OE，
∴OG•OC=OE2，
∵CE=DF，BC=CD，
∴BE=CF，
又∵Rt CEF中，CF2+CE2=EF2，
∴BE△2+DF2=EF2，
∵EF2＞OE2，
∴BE2+DF2＞OG•OC，故④错误；
⑤如图，连接OH，CH，作OC的垂直平分线交BC于Q，交CD于点P，
∵△EOF是等腰直角三角形，点H是EF的中点，
∴OH= EF，
∵∠BCD=90°，点H是EF的中点，
∴CH= EF，
∴CH=OH，
∴点H在OC的垂直平分线上，
∴点H的轨迹是PQ，
∵正方形ABCD的边长为2 ，
∴BD=4，
∵PQ⊥AC，BD⊥AC，
∴PQ∥BD，
∴△CPQ∽△CDB，
∴ ，
∴PQ= BD=2，∴H点经过的路程为2，故⑤错误，
故选：C．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相
似三角形的判定与性质，勾股定理的综合运用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6．D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及
勾股定理进行证明即可得出答案．
解：在 中， ， ，在 ， ， ，
，
，
，即 ，
，
在 和 中，
，
，
，故图中和 相等的角有2个（不含 ），①正确；
，
，
，
，故若不添加线段，图中共有5对相似三角形，②正确；
，即 ，故③正确；
连接CD，
，
，
，，
，
，
，故④正确；
综上，说法正确的由①②③④；
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．B
【分析】
过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证
ADG∽△FHE，即可求出 的值．
△
解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：
由折叠A与A'对应易知：∠AOE=90°，
∵∠EAO+∠AEO=90°，
∠EAO+∠AGD=90°，
∴∠AEO=∠AGD，即∠FEH=∠AGD，
又∵∠ADG=∠FHE=90°，
∴△ADG∽△FHE，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变
换推出∠AOE=90°进而利用角进行转化求出 ADG∽△FHE是解题的关键．
8．D △【分析】
根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．
解：∵将 以点 为中心逆时针旋转得到 ，
∴ ，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
平分 ，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故选D
【点拨】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等
三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．D
【分析】
根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可．
解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠CAB=60°，∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°，
∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
∴△BCD∽△BEO，
故①正确；∵∠AOD=∠BOE，∠DAB=∠DEB=60°，
∴△AOD∽△EOB，
故②正确；
∵△AOD∽△EOB，
∴ ，
∵∠AOE=∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
故③正确；
∵∠DBA=∠DBO，∠DAB=∠ODB=60°，
∴△BOD∽△BDA，
故④正确，
所以，相似三角形成立的有4对．
故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三
角形的判定与性质定理是解题的关键．
10．D
【分析】
根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短计算判
断即可．
解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°
∴∠BOC＝120°，即∠BOE＋∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE＋∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，且BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
所以①正确；∴BD＋BE＝CE＋BE＝BC＝2，
所以②正确；
∴S BOD＝S COE，
△ △
∴四边形ODBE的面积＝ ＝ ，
所以③正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝ OE，HE＝ OH＝ OE，
∴DE＝ OE，
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD＋BE＋DE＝CE＋BE＋DE＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋ OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝ ，
∴△BDE周长的最小值＝2＋1＝3，
∴④正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂
线段最短，熟练掌握等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．
11．【分析】
先计算出BD ，AD＝2 ，BC＝3，∠B＝∠BAC＝45°，再根据旋转的性质得到
∠DCE＝90°，CD＝CE，则可判断 CDE为等腰直角三角形，所以∠EDC＝45°，然后证明
ADF∽△BCD，则利用相似比可计△算出AF．
△
解：∵AB＝3 ，AD＝2BD，
∴BD ，AD＝2 ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴BC AB＝3，∠B＝∠BAC＝45°，
∵CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴△CDE为等腰直角三角形，∠EDC＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BCD，
即∠ADF+∠EDC＝∠B+∠BCD，
∴∠ADF＝∠BCD，
而∠DAF＝∠B，
∴△ADF∽△BCD，
∴ ，即 ，
∴AF ．
故答案为： ．【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心
所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．
12．①②④
【分析】
利用直角三角形的判定直接进行判断即可．
解：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明
△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
∴ ，
又∵CD2=AD•BD，（即 ），
∴△ACD∽△CBD，
∴∠ACD=∠B，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°，
△ABC是直角三角形，
∴故选项④正确；
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质
的知识，解题的关键是了两锐角互余的三角形是直角三角形、勾股定理逆定理、相似三角
形的判定和性质，难度不大．
13． ##
【分析】
在BE上截取BG=CF，连接OG，证明 OBG≌△OCF，则OG=OF，∠BOG=∠COF，
得出等腰直角三角形GOF，在Rt BCE中，△根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的
长． △
解：：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，∵Rt BCE中，CF⊥BE，
∴∠E△BC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在 OBG与 OCF中
△ △
∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在Rt BCE中，BC=DC=2，DE=2EC，
△
∴EC= ，
∴ ，
∵∠BFC=∠BCE，∠FBC=∠CBE，
∴ BFC∽ BCE，
△ △
∴
∴BC2=BF•BE，
则 ，解得：BF= ，
∴EF=BE-BF= ，
∵∠BFC=∠EFC，∠FBC=∠FCE，∴ BFC∽ CFE，
△ △
∴
∴CF2=BF•EF= ，
∴CF= ，
∴GF=BF-BG=BF-CF= ，
在等腰直角 OGF中
△
OF= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及相似三角形的
性质及判定、勾股定理的应用．
14．
【分析】
证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ，
，∴ ，即 ，
解得，CD＝ ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
15．
【分析】
（1）过点A作 于点G，由旋转的性质知 ，设 ，
则 ， ， ，由 ，可得
， 可求结论；
（2）过A点作 交 于点M，由 可解．
解：（1）如图，过点A作 于点G．
设 ，则 ．
由旋转的性质知 ，
∴ ．
在 中， ．
∵ ，∠B=∠B
∴ ．∴ ，即 ，
得 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
故答案为：
（2）如图，过A点作 交 于点M．
由（1）知 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
即 ，解得 ，
故答案为：
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握
相似三角形的判定与性质．
16．∠B=∠D 或∠C=∠AED或 = （答其中一个即可）
【分析】
要使 ABC∽△ADE，在这两三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，还需的条件可
△
以是∠B=∠D或∠C=∠AED或 =
解：这个条件为：∠B=∠D
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE
（或∠C=∠AED或 = 也可）
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题
的关键．
17．∠B=∠E（答案不唯一）．
【分析】
根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添
加条件：∠B=∠E．
解：添加条件：∠B=∠E；
∵ ，∠B=∠E，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠B=∠E（答案不唯一）．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．
18．
【分析】根据勾股定理可求出CD的长，由∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°可证明
∠A=∠BCD，即可证明△BCD∽△ACD，根据相似三角形的性质求出AD即可.
解：∵ ， ．
∴CD= = ，
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠BDC=∠CDA=90°，
∴△BCD∽△ACD，
∴AD：CD=CD：BD，
∴AD= =5.
故答案为5.
【点拨】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角
形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
19．10
【分析】
延长EO交AB于G，根据ASA可证 DOE≌△BOG，可得BG=DE，则d=
△
，即为FG的长；过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得 OHG∽△OIF，设BG=x，用x
表示出BF，再根据函数的最值即可求解． △
解：延长EO交AB于G，连接GF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠ODE，
在 DOE与 BOG中，
△ △，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG=DE，
∴d= =FG，
过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，
∴四边形HBIO是矩形，
∴∠OHG=∠OIB=∠HOI=90°，
∴∠OIF=90°=∠OHG，
∵∠EOF=90°，
∴∠GOF=180°-90°=90°，
∴∠HOG=∠IOF，
∴△OHG∽△OIF，
∴ ，
∵O为AC的中点，HO∥BC，
∴HO= BC，
同理IO= AB，
∵AB=12，BC=16，
∴ ，
设BG=x，则HG=6-x，
IF= ，
BF= ，
d= ，
∵0≤x≤6，∴当x=6时，d最小为10，
故答案为：10．
【点拨】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性
质，勾股定理，解题的关键是设BG=x，用x表示出BF．
20．②③##③②
【分析】
先证明
再证明 若 可得 平分 与题干信息不符，
可判断①不符合题意；再证明 可得 而 可判断②
符合题意；如图，连接EH，求解 设 再建立方
程组 可判断③符合题意；证明 可得
若 ，则 与题干信息不符，可判断④不符合题意；
从而可得答案．
解：∵ ，
∴
∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，
∴
∴
∵
∴若
∴
∴ 平分 与题干信息不符，故①不符合题意；
∵
∴
∴
∴ 而
∴ ，故②符合题意；
如图，连接EH，
由
∴
∵
∴
设
解得： 即BD=3，故③符合题意；
∵若 ，则 与题干信息不符，故④不符合题意；
故答案为：②③
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键．
21．(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．
（2）根据（1）中 ，得出 ，再根据对顶角相等，
，证得 ，得出 ，即可求解．
解：（1）∵ ∴ ，∴ ，
，∵在 和 中， ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，又∵ ，对顶角相等，∴
，∴ ，∵ ， ，∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是
解题的关键．
22．(1)见详解(2)67.5°
【分析】
（1）根据∠DAB＝∠EAC，得∠DAE＝∠BAC，从而证明结论；
（2）根据平行线的性质得∠AED＝∠EAC，利用△ABC∽△ADE，得∠AED＝∠C，从
而有∠EAC＝∠C，再利用三角形内角和定理可得答案．
(1)证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE；
(2)解：∵AC∥DE，
∴∠AED＝∠EAC，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEC＝45°，
∴∠C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠C的度数为67.5°．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性
质等知识，证明∠EAC＝∠C是解题的关键．
23．(1)25cm(2)
【分析】
（1）先证 ，利用相似三角形周长比等于相似比得 ，
设 ABC的周长为5kcm， BED的周长为3kcm．再根据两三我周长差为10cm，列方程求
解△得出k值，即可求解； △
（2）根据 ，得 ，设 ， ，
再根据两三角形面积之和为170 ，列方程求解得出p值，即可求解；
(1)解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ABC的周长为5kcm， BED的周长为3kcm．
∴△ ，解得 △，
∴△ABC的周长为 ．
(2)解：由（1）知： ，∴ ，
设 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比、
面积比等于相似比的平方是解题的关键．
24．(1)见解析(2)成立，证明见解析
【分析】
（1）由直角三角形的性质证出∠CDN=∠ADM，∠MAD=∠ACD，由相似三角形的判定
可得出结论；
（2）证明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性质可得出结论 ．
(1)证明：∵AD为Rt△ABC中BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADN+∠CDN=90°，
∵∠ADN+∠ADM=90°，
∴∠CDN=∠ADM，
又∵∠BAC=90°，
∴∠MAD+∠DAC=90°，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠MAD=∠ACD，
∴△AMD∽△CND；
(2)解：成立．
证明：∵EF∥BC，
∴∠EAD=∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAM=∠DAN，
∵△EDF为等腰直角三角形，∴∠E=45°，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
∴△AEM∽△ADN，
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，
证明△AEM∽△ADN是解题的关键．
25．(1)BD= CE，证明见解析(2)图见解析，
【分析】
（1）由∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，得到∠BAC=∠DAE=45°，
，进一步证得 ABD∽△ACE，得到 ，得到答案；
△
（2）当点D落在线段AC上时，如图3，先求得AD= AE=2，得到CD＝1，BD＝
，再证明 BAD∽△CAE，进一步证得 ABD∽ FCD， ，由勾股定理求得AB
△ △ △
＝ ，即可求得CF= ．
解：(1)BD＝ CE．
证明：∵∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，
∴∠BAC=∠DAE=45°， ．
∴∠BAD=∠CAE．
∴△ABD∽△ACE，
∴ ，
∴BD＝ CE．
(2)解：当点D落在线段AC上时，如图3，则AD= AE=2，
∴CD=AC－AD=3-2=1，
∴BD= ，
∵∠BAD=∠CAE=45°， ，
∴△BAD∽△CAE.
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BDA＝∠CDF，
∴△ABD∽ FCD，
△
∴ ，
∵AB= ，
∴ ，
∴CF= .
【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等
知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
26．(1)见解析(2)16(3)
【分析】
（1）利用SAS证明△ADF≌△CDE，则∠ADF＝∠CDE，得∠FDE＝∠ADC＝90°；
（2）由∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，得∠GFE＝∠GEF，则GF＝GE，可求出AB＝4，从而得出答案；
（3）过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，证明 ，进而得出
∠HCD=∠HPE=45°，过点H作MN//AD，交AB于M，CD于N，则 是等腰直角三角
形，即可得出HN＝CN＝3，MH＝1，得HD ，再根据MH//AD，得 ，
则GD ，从而解决问题．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE＝90°，
∵CE＝AF，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF＝∠CDE，
∴∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴DE⊥DF；
(2)解：∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GF＝GE，
∴BE+BG+EG＝BE+AB+CE＝2AB＝8，
∴AB＝4，
∴S ABCD＝4×4＝16，
正方形
∵△ADF≌△CDE，
∴S ADF＝S CDE，
△ △
∴四边形DEBF的面积＝S ABCD＝16；
正方形
(3)解：过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，∵DE⊥DF，DF＝DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵GE＝GF，DF＝DE，
∴DG垂直平分EF，
∴∠DHE＝∠DCE＝90°，
∴∠DHE-∠EHC=∠PHC-∠EHC，
即∠DHC=∠EHP，
∵在四边形DHEC中，
∠HDC+∠HEC=180°，∠HEC+∠HEP=180°,
∴∠HEP=∠HDC，
∴ ，∠HCD=∠HPE，
是等腰直角三角形，
∠HCD=∠HPE=45°，
过点H作MN//AD，交AB于M，CD于N，则 是等腰直角三角形，∵CH＝3 ，
∴HN＝CN＝3，MH＝1，
∴HD ，
∵MH//AD，
∴△GHM∽△GDF，
∴ ，
∴GD ，
∴AG ．
∴AG的长为 ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性
质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
