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专题 28.15 锐角三角函数（全章复习与巩固）
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．2sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻
两树在坡面上的距离AB为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为了测量河岸A、B两地间的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC
＝a， ，那么A、B两地的距离等于（ ）
A． B． C． D．
5．点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）．A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，2)，以点O为圆心，将线段OA
逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
7．已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（
）
A． 米 B．20米 C． 米 D． 米
8．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号
发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝
56°，建筑物DE的底部D到山脚底部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡
比）i＝1：0.75，坡长BC＝40米（建筑物DE、小山坡BC和网络信号发射塔AB的剖面图
在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直），则信号发射塔AB的高约为 （ ）
（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米9．如图，在 中， ．边 在 轴上，顶点 的坐标分别为
和 ．将正方形 沿 轴向右平移当点 落在 边上时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联
结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示
（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，
那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ ，则sin ＝_____．
12．若关于x的方程x2- x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．
13．如图，P（12，a）在反比例函数 图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值
为_____．14．如图，在矩形 中， ，垂足为点 ．若 ， ，则
的长为______．
15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．
16．如图，在 中， ， ， ，则 的长为_____．
17．如图， 的顶点 的坐标分别是 ，且 ，
则顶点A的坐标是_____．18．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点
M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；
当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．
三、解答题
19．计算：
（1） ； （2）
．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设
∠CAD=α．
(1)求sinα、cosα、tanα的值；
(2)若∠B=∠CAD，求BD的长．21．如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆
顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB
的高度．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B
（4，0），C（4，﹣4）． △
（1）请在图中，画出 ABC向左平移6个单位长度后得到的 ABC ；
1 1 1
△ △
（2）以点O为位似中心，将 ABC缩小为原来的 ，得到 ABC ，请在图中y轴右
2 2 2
△ △
侧，画出 ABC ，并求出∠AC B 的正弦值．
2 2 2 2 2 2
△
23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D
处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根
号）
24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．
根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜
坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米
才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，
tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）参考答案
1．D
【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
解：2sin60°＝2× ，
故选：D．
【点拨】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．
2．C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
解：在Rt ABC中，∠B=90°，
△
则 ．
故选：C．
【点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
3．B
【分析】根据余弦的定义计算，判断即可．
解：在Rt△ABC中， 米， ，∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟
记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．A
【分析】根据正切的定义计算选择即可．
解：∵ tanα= ，
∴AB= ，
故选A．
【点拨】本题考查了正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
5．C
【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即
可．
解：∵sin60°＝ ，cos30°＝ ，
∴点（ ， ）关于y轴对称的点的坐标是（ ， ）．
故选：C．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角
的三角函数值是解决本题的关键．
6．C
【分析】利用勾股定理求出OA，可得结论．
解：∵A（﹣1，2），∴OA＝ ，
由旋转的性质可知，OB＝OA＝ ，
∴B（﹣ ，0）．
故选：C．
【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾
股定理求出OA即可．
7．A
【分析】根据坡度意思可知 ，设 米，则 米，由勾股定理可
得： ，即 ，求出h即可．
解：如图：
由题意可知： ， 米，
设 米，则 米，
由勾股定理可得： ，即 ，
解得： 米， 米（舍去）．
故选：A
【点拨】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出
BC，AC之间的关系．
8．D
【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小
山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即 ，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．
解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，
∵ED⊥DG，
∴四边形EDGH是矩形，
∴GH＝ED＝12，
∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即 ，
设BG＝4x，CG＝3x，则BC＝5x，
∵BC＝40，
∴5x＝40，
解得x＝8，
∴BG＝32，CG＝24，
∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，
BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，
在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，
∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，
∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．
答：信号发射塔AB的高约为39.2米．
故选：D．
【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
9．B
【分析】先画出 落在 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解 的长度，结
合正方形的性质，从而可得答案．
解：由题意知：四边形 为正方形，
如图，当 落在 上时，
由
故选
【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，
锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
10．A
【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由
∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED ，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD
的值，从而得出答案．
解：如图，延长BA、FE，交于点D．∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°．
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED ，AE=1.2米，
∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．
故选：A．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，
并熟练掌握正弦函数的概念．
11．
【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．
解：∵ ，
∴∠A＝60°，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题
的关键．
12．30°##30度
解：∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴解得：
∴锐角α的度数为30°．
故答案为∶30°
13．
解：∵P（12，a）在反比例函数 图象上，
∴a= =5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH= ，
故答案为 ．
14．3
【分析】在 中，由正弦定义解得 ，再由勾股定理解得DE的长，根
据同角的余角相等，得到 ，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
解：在 中，在矩形 中，
故答案为：3．
【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌
握相关知识是解题关键．
15．45°
【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答
案．
解：如图所示：
由题意可得：
∠1=∠3，
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解
题的关键．
16．
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出
AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理
求出AC的长即可．
解：过 作 ，
在 中， ， ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，即 ，
根据勾股定理得： ，
故答案为： ．
．
【点拨】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定
理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
17．
【分析】根据 的坐标求得 的长度, ， 利用30度角所对的直角边
等于斜边的一半，求得 的长度，即点 的横坐标，易得 轴，则 的纵坐标即
的纵坐标．
解： 的坐标分别是
轴
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关
键．
18．
【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；
根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离
DG，即可求解.
解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，
∴AE=EB= AB=3，
在Rt AEF中，∠A=60°，AE=3，
△
tan60°= ，
∴EF=3 ；
当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，
由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，
∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，
过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，
∴FM=DG，
在Rt DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
△
∴DG=DCsin60°=3 ，
∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3 ，
故答案为：3 ；6-3 ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．
解：（1）原式＝
＝
＝ ．
（2）原式 ．
【定睛】此题主要考查实数的运算。解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
20．（1）sinα= ，cosα= ，tanα= ；（2）BD =3．
【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．
（2）由∠B＝∠CAD＝α和（1）求得的tanα，根据直角三角形锐角三角函数求出
BC，从而求出BD的长．
解：在Rt△ACD中，
∵AC=2，DC=1，
∴AD= = ．
（1）sinα= = = ，cosα= = = ，tanα= = ；
（2）在Rt△ABC中，
tanB= ，
即tanα= = ，
∴BC=4，
∴BD=BC-CD=4-1=3．【点拨】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻
辑推理能力和运算能力．
21．（16+5 ）米．
解：设AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG= ，
∴FG= ，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣ =10，解得：x=15+5 ，
∴AB=15+5 +1=16+5 （米）．
答：电视塔的高度AB约为(16+5 )米．
22．（1）见分析（2）
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
解：（1）如图所示： ABC ，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示： A
2
B△2 C
2
，即为所求，由图形可知，∠A
2
C
2
B
2
=∠ACB，
过点A作AD⊥BC△交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6， ，
∴ ，
即 ．
【点拨】此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似
及平移的性质是解本题的关键．
23．（70﹣10 ）m．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解 得到
DF的长度；通过解 得到CE的长度，则
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
在 中，∵AF=80m−10m=70m，
∴DF=AF=70m．
在 中，∵DE=10m，∴
∴
答：障碍物B，C两点间的距离为
24．7
【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作
D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
解：假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC
于E’
∵CD=12，∠DCE=60°
∴DE=CD·sin60°=6 ，CE=CD·cos60°=6
∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’
∴四边形DEE’D’是矩形
∴DE=D’E’=6 ，
∵∠D’CE’=39°
∴CE′= ≈13
∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．
即
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【点拨】本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键．
