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专题30 一次函数与矩形结合
1．如图，一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 在 轴上，点 为平
面内一点，且四边形 为矩形，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 轴， 轴于 ， 两点，将
绕点 顺时针旋转 得 （点 与点 对应，点 与点 对应）
(1)求直线 的解析式；(2)点 为线段 上一点，过点 作 轴交直线 于点 ，作 轴交直线 于点 ，
当 时，求点 的坐标；
(3)如图2，若点 为线段 的中点，点 为直线 上一点，点 为坐标系内一点，且以 ，
， ， 为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标
3．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点
A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，求此
时P点的坐标．
4．如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点 、 、 、，点G是对角
线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点．
（1）求点D的坐标和 的值；
（2）如图2，当直线EF交x轴于点 ，且 时，求点P的坐标；
（3）如图3，当直线EF交x轴于点 时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、
C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2 图3
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝
4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，
则m的值为（ ）A．7 B．6 C．4 D．8
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共0分)
6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线 恰好将矩形
OABC分成面积相等的两部分，那么b=_____________．
7．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为 ，若直线 恰好将矩形OABC的面积分为
1：2的两部分，则m的值为______．三、解答题(共0分)
8．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A(0，0)，B(6，0)，D(0，4)
(1) 根据图形直接写出点C的坐标；
(2) 已知直线m经过点P(0，6)且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线
m，并求该直线m的解析式.
9．如图，已知矩形ABOC，顶点B、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，A(－4，8)，一次函
数 的图象分别交边AB、OC于D、E，交x轴于F，且AD＝OE
(1) 求b值
(2) 若点P(x，y)是线段EF上一点，若 PEO与 PBO的面积的比为1∶4，求P点坐标
△ △
10．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，过点 分别作 轴于点 ， 轴于点
，一次函数 的图象经过点 ．
（1）用含 的代数式表示 ．
（2）当 时，直线 被矩形 截得线段的长度为 ．
（3）当 时，函数值 满足 ，求 的取值范围．
（4）当直线 将矩形 分成的两部分面积比为 时，直接写出 的值．11．在平面直角坐标系中，若点 关于点 中心对称，则
．根据上述材料提供的关系式解答下列问题：
(1)已知由点 构成的三角形，若 与 关于点 成中心对称，请
直接写出点 的坐标；
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B的坐标为 ，直线 恰好将
矩形 分成面积相等的两部分，求m的值．
12．【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最
低点，而且增减性也很特殊……．
【实践探究】
（1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：
“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到．
【问题解决】
（2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函
数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小
值为k+3，求满足条件的k的值．
13．如图，已知在平面直角坐标系中，直线l：y= x，l：y=kx+10，矩形ABCD的边AD在y轴上，
1 2
顶点C，B分别在直线l，l 上，点C的纵坐标等于1，直线l 与x，y轴分别相交于点E，Q，E(
1 2 2
，0)，直线l，l 相交于点P．
1 2
(1)如图1，求k的值和矩形ABCD的面积及点P的坐标；
(2)将矩形ABCD沿射线OP方向平移得到矩形A′B′C′D′．
①如图2，当点A的对应点A′落在直线l 上时，直接写出平移的距离__________；
2
②如图3，在平移过程中，当直线l 将矩形A′B′C′D′的面积分成的两部分面积比是5：7时，直接写
2
出点C的对应点C′的坐标__________．
14．如图1，已知长方形 ， ， ， 为长方形 边上的动点，动点 从
出发，沿着 运动到 点停止，速度为 ，设点 用的时间为 秒，
的面积为 ， 和 的关系如图2所示．（1） _________ ， ____________ ；
（2）写出 时， 与 之间的关系式；
（3）当 时，求 的值．
15．如图 ，平面直角坐标系中，长方形 的 边在 轴上， 边在 轴上，且 ，
．
(1)在长方形的 边上找一点 ，使得直线 将长方形 的面积分成1:3两部分，则点
的坐标为 ．
(2)如图 ，已知点 在 边上，且 ，请你在 边上找一点 ，将 沿 翻折，使
得点 恰好落在 轴上的点 处．
求线段 所在直线的函数表达式；
在线段 上是否存在一点 ，使得直线 将四边形 的面积分成2：3两部分？若存在，
求出符合条件的所有点 坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内，点A在x轴正半轴上，点C在y
轴正半轴上，点P是线段BC的中点， 沿AP翻折得到 ，过点C、 的直线
交x轴于点D．(1)判断OD与AD的数量关系？并证明；
(2)求点B的坐标；
(3)求线段 的长．
17．已知矩形 在平面直角坐标系 中的位置如图所示， ， ，将矩形
沿直线 折叠，使点 与点 重合，点 的对应点为点 ．
（1）求点 坐标；
（2）求线段 的长度；
（3）直接写出直线 和 的解析式．
18．已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，
3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形PMON 再将矩形PMON 绕着点O
1 1 1 1 1 1 1 1 1
旋转90°得到矩形PMON ．在坐标系中画出矩形PMON ，并求出直线PP 的解析式．
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2
19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上.若点P、Q在线
段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P、Q的“涵矩形”．
下图为点P、Q的“涵矩形”的示意图.（1）点B的坐标为（3，0）；
①若点P的横坐标为 ，点Q与点B重合，则点P、Q的“涵矩形”的周长为 .
②若点P、Q的“涵矩形”的周长为6，点P的坐标为（1，4），则点E（2，1），F（1，2），G
（4，0）中，能够成为点P、Q的“涵矩形”的顶点的是 .
（2）四边形PMQN是点P、Q的“涵矩形”，点M在△AOB的内部，且它是正方形；
①当正方形PMQN的周长为8，点P的横坐标为3时，求点Q的坐标.
②当正方形PMQN的对角线长度为/2时，连结OM.直接写出线段OM的取值范围 .
20．在平面直角坐标系 中， ， ， ． 为长方形 内（不包括
边界）一点，过点 分别作 轴和 轴的平行线，这两条平行线分长方形 为四个小
长方形，若这四个小长方形中有一个长方形的周长等于 ，则称 为长方形 的长宽
点，例如：如图中的 为长方形 的一个长宽点．
(1)在点 ， ， 中，长方形 的长宽点是 ．
(2)若 为长方形 的长宽点，求 的值．
(3)若一次函数 的图象上存在长方形 的长宽点，求 的取值范围．21．如图，已知直线AB与正比例函数 的图像交于点 ，与x轴交于点B，与y
轴交于点 ．点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，向右作矩形
PDEF，满足 轴，且 ．
(1)求k值及直线AB的函数表达式，
(2)判定 时，点E是否落在直线AB上，请说明理由；
(3)在点Р运动的过程中，若矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．
