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专题34 按要求构造分式
1．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 元，现每册降价 元销售，则这种图书库
存全部售出时，其销售额为 元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（ ）册．
A． B． C． D．
2．一位作家用了m天写完了一部小说的上集，又用了n天写完下集，这部小说（上、下集）共
120万字，这位作家平均每天的写作量是（ ）
A． 万字/天 B． 万字/天 C． 万字/天 D． 万字/天
3．不透明袋中装有除颜色外完全相同的 个白球、 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
4．2019年、2020年、2021年某地的森林面积（单位： ）分别是 ， ， ，2021年与2020
年相比，森林面积增长率提高了（ ）
A． B． C． D．
5．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需 小时，如果该车的速度每小时增加 千米，
那么从A城到B城需要（ ）小时．
A． B． C． D．
6．近几年鞍山市的城市绿化率逐年增加，其中2019年，2020年，2021年鞍山的城市绿化面积分
别是 ， ， ，2021年与2020年相比，鞍山城市绿化的增长率提高（ ）
A． B．
C． D．
7．有两块棉田，第一块x亩，亩产量m千克，第二块y亩，亩产量n千克，这两块棉田平均亩产
量是__________．8．小明用 元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本 元（ ），现在每本降价1元，购
买到这种练习本的本数为______．
9．有一捆长度相等，质地均匀的钢筋，总质量m千克，每根钢筋的质量n千克，单根钢筋的长度
是9米，则这捆钢筋的总长度是____________米，
10．（1）n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷的产量可用式子表示成________吨．
（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米/时，轮船在逆流中航行s千米所需要的时
间可用式子表示成________小时．
11．今年5月1日，历时8年修复的太原古县城正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时
段 天内共接待游客 万人次，第二时段 天内共接待游客 万人次，则这两个时段内平均每天
接待游客________万人次．
12．一种盐水，将m克盐完全溶解于n克水后仍然达不到所需的含盐质量分数，又加入了5克盐
完全溶解后才符合要求．则要配制的盐水的质量分数为________．
13．某人上山，下山的路程都是 ，上山速度 ，下山速度 ，则这个人上山和下山的平均速度是
______．
14．列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地 ，则人均耕地面积为_________ ．
（2） 的面积为S， 边的长为a，则高 为________．
（3）一辆汽车 行驶了 ，则它的平均速度为_______ ；一列火车行驶 比这辆汽车
少用 ，则它的平均速度为________ ．
15．阅读下面材料：临书生同学这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、
圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，临书生同学发现像m+n，mnp等代数式，如果任意交
换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还
发现像 ，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：
（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是临书生同学把mn和m+n称为
基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式① ，② ，③ ，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是 （填序号）；(2)已知（x﹣m）（x﹣n）＝ ．
①q＝ （用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式 的值．
16．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ．在分式中，对于只
含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： ，
，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，
如： ， ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形
式，如： ；
．
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 、 分别化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
17．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：
2 2
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我
们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假
分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： ；
再如： x+1
解决下列问题：
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 化为带分式的形式为 ；
(3)把分式 化为带分式；如果 的值为整数，求x的整数值．
18．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运
算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成
一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称
为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解： ＝ ．
这样，分式 就拆分成一个整式x﹣2与一个分式 的和的形式．
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．
（2）已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．
19．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：
．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或
等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真
分式”．
如 ， 这样的分式就是假分式； ， 这样的分式就是真分式．类似地，假分式也
可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： ；
解决下列问题：
（1）分式 是________分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式 化为带分式；
（3）如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值．
20．阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ ．在分式中，
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分
子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；
如 与 …这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)
的形式．
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式．
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x²+(a+3)x+(3a+b)
∴x²+2x-5=x²+(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴x²+2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式．【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x²的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是________分式(填“真”或“假”)．
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① =________+________．
② =________+________．
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个
分式的值为整数．
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值．
