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第 06 讲 相似三角形的应用举例
课程标准 学习目标
①利用相似测量高度 1. 掌握利用相似求高度的类型与方法，并能够在实际应用中熟练应用。
②利用相似测量距离 2. 掌握利用相似求距离的类型与方法，并能够在实际应用中熟练应用。
知识点01 利用相似测量高度
1. 利用相似测量高度：
类型 利用光线与影子测量 利用平面镜反射 利用标杆测量
示意图
四边形DEFC∽DEBA
相似图形 △ABC∽△DEF △ABC∽△DEC
∽EFBE
测量人的高度，标杆的
测影长以及人的高度，从而得 测量人的高度以及人和旗杆
测量数据 高度以及人、标杆、旗
到旗杆的高度 到平面镜的距离
杆之间的距离
【即学即练1】1．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学
测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆AB高度为 11. 3 m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学
测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.6m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝14m．据此
可得旗杆AB高度为 11. 2 m；
（3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小
组同学测得小王的眼睛距地面高度DE＝1.8m，标杆CF＝5m，小王到标杆距离EF＝2m，标杆到旗杆距
离FB＝4m，求旗杆AB的高度．
【分析】（1）由影长EF恰好等于自己的身高DE，知△DEF是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三
角形，故AB＝BC＝11.3m，
（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝11.3m，
故答案为：11.3；
（2）如图：
由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB，
又∠DEC＝90°＝∠ABC，
∴△DEC∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得AB＝11.2，∴旗杆高度为11.2米，
故答案为：11.2；
（3）如图：过D作DH⊥AB于H，交CF于G，
则DG＝EF＝2m，HG＝BF＝4m，DE＝GF＝BH＝1.8m，
∴CG＝CF﹣FG＝3.2（m），
∵CF⊥BE，AB⊥BE，
∴CG∥AB，
∴△CDG∽△ADH，
∴ ，
∴ ，
∴AH＝9.6，
∴AB＝AH+BH＝9.6+1.8＝11.4（m），
答：旗杆AB的高度为11.4m．
知识点02 利用相似测量距离
1. 利用相似测量距离：
测量原理 构造相似三角形利用对应边成比例求解
“X”字型相似 “A”字型相似
示意图
相似三角形 △ABC∽△DEC △CBA∽△CNM
测量数据 测量AB、CB、CE即可得到DE 测量MN、CN、CB，即可得到AB
【即学即练1】
2．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下BC的距离为2a；
②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E
观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；
③调整D，E的位置，使DE∥BC，记录下DE的距离为5a；
④测量出BE之间的距离大约为27m．
数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．
【分析】证明△ABC∽△AED，根据相似三角形的性质即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠E，∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△AED，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得AB＝18（m），
∴能得出树A与树B之间的距离，距离为18m．
答：河宽AB为60m．
【即学即练2】
3．在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，小聪采用了如下方法：如图，从A处沿与AB垂直的直线方
向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达D处，再右转90°走到E处，使点B，
C，E恰好在一条直线上，量的DE＝20m，这样就可以求出河宽AB．请说明理由，并计算出结果．【分析】根据题意得出△ACB∽△DCE，进而利用相似三角形的性质进而求出即可．
【解答】解：由题意可得：AB∥DE，
则△ACB∽△DCE，
故 ＝ ，
∵AC＝45m，DC＝15m，DE＝20m，
∴ ＝ ，
∴AB＝60m．
题型01 利用相似测量高度
【典例1】大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第 1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》
中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，
AB∥CD，AC与BD交于点O，OF⊥AB于点F，OE⊥CD于点E，若物距OF为10cm，像距OE为
15cm，蜡烛火焰倒立的像CD的高度是8cm，则蜡烛火焰AB的高度是（ ）
A． B． C．6cm D．8cm
【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即
可求解．
【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值
等于物距与像距的比值，
则： ，即 ．
解得 ．
所以蜡烛火焰AB的高度是 cm．
故选：B．
【变式1】小明测量旗杆AB高度，如图所示．他首先在旗杆的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝
12米．然后小明沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），则旗杆AB的高为（ ）
A．6.0米 B．6.2米 C．6.3米 D．6.4米
【分析】证明△ABE∽△CDE，则 ，即 ，计算求解即可．
【解答】解：∵∠AEB＝∠CED，∠ABE＝90°＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，即 ，
解得，AB＝6.4，
故选：D．
【变式2】延时课上，老师布置任务如下：让王林站在 B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树
（CD），所用工具为一个平面镜 P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林目高
（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王林（ ）m处才能观测到大树的顶端．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可得：∠APB＝∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，从而可得∠ABP＝∠CDP＝90°，然后
证明△ABP∽△CDP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：∠APB＝∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：BP＝2，
∴将平面镜P放置在离王林2m处才能观测到大树的顶端，
故选：B．
【变式3】数学思考
（1）我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在
太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图 1），它的影长五寸（备注：1丈＝
10尺，1尺＝10寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程： ＝ ．
解决问题
（2）数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图 2，甲同学在古塔AB的影子顶端
D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE＝2.4m，然后，乙同学在BD的延长线上找出一点
F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得DF＝2.5m．已知图中所有点均在同一平面内，木棒CD＝
2m，AB⊥BF，CD⊥BF，请根据以上测量数据，求古塔的高度AB．
【分析】（1）利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程；
（2）设古塔的高度AB为x米，影长为y米，先利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程得
＝ ，即 ＝ ，所以y＝1.2x，再证明△FCD∽△FAB得到 ＝ ，即 ＝ ，然后解方程
组求出x即可．
【解答】解：（1）根据题意得 ＝ ；
故答案为： ＝ ；
（2）设古塔的高度AB为x米，影长为y米，
根据题意得 ＝ ，即 ＝ ，
∴y＝1.2x，
∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△FCD∽△FAB，∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，
解得x＝50，
经检验x＝50为原方程的解，
∴古塔的高度AB为50米．
【变式4】小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，
于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A
的像；第二次他把镜子放在点C′处，他在点F′处正好在镜中看到树尖A的像．已知AB⊥BF′，
EF⊥BF′，E′F′⊥BF′，小军的眼睛距地面1.7m（即EF＝E′F′＝1.7m），量得CC′＝12m，
CF＝1.8m，C′F′＝4.2m．求这棵古松树的高度AB．（镜子大小忽略不计）
【 分 析 】 先 证 明 △ ABC∽ △ EFC ， 得 出 ， 再 证 明 △ ABC∽ △ E′ F′ C′ ， 得 出
，由EF＝E′F′，得出 ，继而求出BC的长度，代入 即可求
出AB的长度，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝∠EFC＝90°，∠ACB＝∠ECF，
∴△ABC∽△EFC，
∴ ，
∵∠ABC′＝∠E′F′C′＝90°，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△ABC∽△E′F′C′，
∴ ，
∵EF＝E′F′＝1.7m，
∴ ，
∵CC′＝12m，CF＝1.8m，C′F′＝4.2m，
∴ ，
解得：BC＝9，∴ ，
解得：AB＝8.5，
答：这棵古松树的高度为8.5m．
【变式5】某校社会实践小组为测量大雁塔的高度，如图，在地面上点C处垂直于地面竖立了高度为2米
的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4
米．将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直
线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝60米．
（1）请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
（2）“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的
合理化建议．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质度量咧方程即可得到结论；（2）多次测量，求平均值．
【解答】解：（1）由题意可得：∵DC∥AB，
∴△EDC∽△EBA，
∴ ，
∵GH∥AB，
∴△FHG∽△FBA，
∴ ，
∵DC＝HG，
∴ ，
∴ ，
∴CA＝120（米），
∵ ，
∴ ，∴AB＝62（米），
答：大雁塔的高度AB为62米；
（2）误差：64.5﹣62＝2.5m，
建议：多次测量，求平均值．
题型02 利用相似测量距离
【典例1】如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取
点B、C、D，使A、B、C在同一条直线上，且AC⊥AP；使CD⊥AC且P、B、D三点在同一条直线上．
若测得AB＝15m，BC＝3m，CD＝8m，则A、P两点间的距离为（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
【分析】直接证明△ABP∽△CBD，再根据 求解即可．
【解答】解：∵AC⊥AP，CD⊥AC，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵∠ABP＝∠CBD，
∴△ABP∽△CBD，
∴ ，
∵AB＝15m，BC＝3m，CD＝8m，
∴ ，
∴AP＝40m，故选：B．
【变式1】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光
的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD
（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD
的高度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证明△COE∽△CAB得到 ，再证明△BOE∽△BDC得到 ，再把①和
②相加变形得到，然后把AB＝5cm，OE＝2cm，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用
相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
【解答】解：依题意，
∵OE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴ ，
∵OE∥CD，
∴△BOE∽△BDC，
∴ ，
则①+②得 ，
∴ ，
∴ ，
∵AB＝5cm，OE＝2cm，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
【变式2】学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河
的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE＝20米）的点P处看北岸，小军、小强站在南岸边，调
整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C，D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即A，C，P三点共线，B，D，P三点共线）．已知电线杆A，B之间的距离
为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，则这条河的宽度为（ ）
A．25米 B．30米 C．45米 D．50米
【分析】延长PE交AB于点F，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到
，代入有关数据列方程求解方程，即可得解．
【解答】解：延长PE交AB于点F，如解图所示．
∵PE⊥CD，AB∥CD，
∴PF⊥AB，
设这条河的宽度为x米．
∵AB∥CD，
∴△PBA∽△PDC，
∴ ，
依题意得，CD＝30米，AB＝75米，
∴ ，
解得x＝30，
即这条河的宽度为30米，
故选：B．
【变式3】为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺
就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，
他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C．分别在AB，AC的延长线
上取点D，E，使得DE∥BC．经测量，BC＝80米，DE＝100米，且点E到河岸BC的距离为90米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出 ，依据△ACF∽△ECG，即可得
到 ，进而得出AF的长．
【解答】解：如图，过E作EG⊥BC于G，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，
∴ ＝ ，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AF＝360米，
∴桥AF的长度为360米．
【变式4】为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的
点B处测得河北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如表：课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量 观察者从B点向东走到C点，此 观测者从B点出发，沿着南偏 观测者从B点向东走到O点，在
方案 时恰好测得∠ACB＝45°． 西80°的方向走到点C，此时 O点插上一面标杆，继续向东走
恰好测得∠ACB＝40°． 相同的路程到达C点后，一直向
南走到点D，使得树，标杆，人
在同一直线上．
测量
示意
图
（1）第一小组认为要知道河宽AB，只需要知道线段 BC 的长度．
（2）第二小组测得BC＝35米，请你帮他们求出河宽AB．
（3）第三小组认为只要测得CD就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出
证明；如果不可行，请说明理由．
【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAB＝45°，进而可得∠CAB＝∠ACB，再由等角
对等边可得AB＝BC，于是得解；
（2）利用三角形外角的性质可得∠CAB＝∠CBD﹣∠ACB＝40°，进而可得∠CAB＝∠ACB，再由等角
对等边可得AB＝BC＝35米，于是得解；
（3）由题意可知∠ABO＝∠DCO＝90°，利用ASA可证得△ABO≌△DCO，由全等三角形的性质可得
AB＝CD，于是可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴要知道河宽AB，只需要知道线段BC的长度，
故答案为：BC；
（2）∵∠CBD＝80°，∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝∠CBD﹣∠ACB＝80°﹣40°＝40°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC＝35（米），
∴河宽AB为35米；
（3）可行，证明如下：∵∠ABO＝∠DCO＝90°，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝CD，
∴只要测得CD就能得到河宽AB，
故第三小组的方案可行．
1．高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长8m，则该建筑物的高度是
（ ）
A．3m B． C．12m D．
【分析】设该建筑物的高度为x m，然后根据同一时刻物高与影长成正比可得： ＝ ，然后进行计算
即可解答．
【解答】解：设该建筑物的高度为x m，
由题意得：
＝ ，
解得：x＝ ，
即该建筑物的高度为 m，
故选：B．
2．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m【分析】根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得 ，即DC2＝ED•FD，代入
数据可得答案．
【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△CDF，
∴ ，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16，
解得CD＝4m．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，
C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1.5cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵BC＝3cm，DE＝1cm
∴ ，
解得：AD＝ ，
故选：C．
4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离
地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（ ）A．16.5m B．13.5m C．15m D．12m
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上边DF到地面的高度AC，即可求得树高
AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
∵DE＝0.4m，EF＝0.3m，CD＝20m，
∴ ，
∴CB＝15m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（m）．
故选：A．
5．2021年7月24日，在射击女子10米气步枪比赛中，中国选手杨倩赢得东京奥运会首枚金牌．如图为步
枪在瞄准时的示意图，AB∥CD，从眼睛O到准星的距离 OE为80cm，眼睛到目标F的距离OF为
200m，步枪上准星宽度AB为2mm，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点1mm，则目标偏离
的距离为（ ）
A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm
【分析】根据题意，可知偏离后形成的△OAE和OCF相似，然后根据相似三角形的性质，即可求得CF
的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
偏离后，点E到了点A，
∵AB∥CD，
∴△OAE∽OCF，
∴ ，
∵OE＝80cm，AE＝1mm＝0.1cm，OF＝200m，
∴ ，解得CF＝ m＝25cm，
故选：A．
6．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为
3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周
长为（ ）cm．
A．15cm B．13cm C．26cm D．30cm
【分析】首先证明△AEH∽△ABC，然后根据相似三角形的性质得出 ，进而得出EH，EF的长，
即可得出答案．
【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥FG，EH＝GF，EF＝GH，
∴EH∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AM⊥EH，
∴EF＝MD＝GH，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ，
∵矩形零件EFCH的长与宽的比为3：2，
设EH＝GF＝3x cm，EF＝GH＝MD＝2x cm，则AM＝（12﹣2x）cm，
∴ ，
解得：x＝3，
∴EH＝3x＝9，EF＝2x＝6，
∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）＝30cm．
故选：D．
7．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，然先求出内孔的直径AB．现
用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量，如果 ，且量得CD长为3cm，那么零件的厚度
为（ ）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x
的值．
【解答】解：∵ ，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴ ，
∵CD的长是3cm，
∴AB＝6cm，
∵已知零件的外径为10cm，
∴ ，
故零件的厚度为2cm，
故选：D．
8．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共
线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂
直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河的宽度PQ是（ ）
A．70m B．80m C．90m D．100m
【分析】根据相似三角形的性质得出 ＝ ，进而代入求出即可．
【解答】解：根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，故 ＝ ，
∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，
∴ ＝ ，
解得：PQ＝90（m），
故选：C．
9．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 G正好在书
架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（ ）
A．5cm B． C． D．8cm
【分析】根据题意得出CI＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，证△GIF∽△FEC，根据线段比例关系得出
FI的长度即可．
【解答】解：由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，
∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°，
∴∠CEF＝∠GFI，
∵∠ECF＝∠FIG＝90°，
∴△GIF∽△FCE，
∴ ，
即 ，
∴CE＝4FI，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202，
解得FI＝ 或FI＝0（舍去），
故选：B．
10．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如
图1），它的两条边长分别为 a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了
“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图 2，从“矩”EFG
的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE＝1米，AD＝4米，
若“矩”的边EF＝1米，FG＝0.5米，则这根杆子的长AB为（ ）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【分析】由题意知，AC＝DE＝1米，CE＝AD＝4米，EF∥CH，再证明△GFE∽△BCE，得 ＝ ，
求出CB＝2米，即可解决问题．
【解答】解：由题意知，AC＝DE＝1米，CE＝AD＝4米，EF∥CH，
∴△GFE∽△BCE，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：CB＝2（米），
∴AB＝AC+CB＝1+2＝3（米），
故选：B．
11．如图，一朵小花到照相机镜头的距离AB为15cm，镜头到传感器的距离BC为10cm．若小花高3cm，
则小花在传感器上的高度为 2 cm ．
【分析】根据小花的高度与AB长的比等于小花在传感器上的高度与BC长的比求解作答即可．
【解答】解：设小花在传感器上的高度为x cm，
∴ ，
解得，x＝2，
故答案为：2cm．
12．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点 A，B，Q在同一水
平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，则
树高PQ＝ 6 m．【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到 ，然后代入数据计算，即可得到PQ
的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴ ，
即 ，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：6．
13．如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形
成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大 0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地
面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为 3 米．
【分析】标注字母，根据常识，桌面与地面是平行的，然后判断出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对
应高的比等于对应边的比列出比例式，然后求出地面阴影部分的直径，再根据圆的面积公式列式进行计
算即可得解．
【解答】解：构造几何模型如图：
依题意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），FG＝1.5米，
由△DAE∽△BAC得 ，即 ，
解得AF＝3，
答：灯泡距离桌面3米．
故答案为：3．14．图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹
臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．
如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 1 4 mm．
【分析】连接CD，根据已知可证△AMN∽△ACD，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：连接CD，如图，
∵AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm，
∴ ＝ ，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ACD，
∴ ＝ ，
∴CD＝ ＝14（mm），
∴夹嘴间的距离CD为14mm；
故答案为：14．
15．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上
翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的 B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 5 0 cm．
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点 A向下压的长
度．
【解答】解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；
∵AM∥BN，
∴△ACM∽△BCN；
∴ ＝ ，
∵AC与BC之比为5：1，
∴ ＝ ＝5，即AM＝5BN，
∴当BN≥10cm时，AM≥50cm，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm．
故答案为：50．
16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地
面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
【分析】先在Rt△DEF中，由勾股定理求得DE，再利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长，加上
小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ＝ ，在Rt△DEF中，
∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，
由勾股定理得DE＝ ＝0.4（m），
∵CD＝10m，
∴ ＝ ，
∴BC＝7.5（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），
答：树高AB是9m．
17．在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高
度AB，测量步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小华站在BC的延长线上，当小华
从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离
ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在
平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米．
请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB．
【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
【解答】解：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，
∴ ，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得：y＝20，
把y＝20代入 中，得x＝15，
∴树的高度AB为15米．
18．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的
主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通
过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．
（1）若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，求蜡烛的像CD的长度；
（2）设 ， ，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的
像．
【分析】（1）由题意得，AB∥OE，可得△ABF∽△EOF，则 ，即 ＝ ，可得OE＝2，由
OE∥CD，CE∥OD，可得四边形OECD是平行四边形，因此CD＝OE＝2；
（2）由题可知，CD＝OE，即 ＝ ＝y，再根据AB∥OE，可得△ABF∽△EOF，因此 ＝ ＝
y，即 ＝ ，得出 ＝y+1，即 ＝y+1，因此得出y关于x的函数关系式：y＝x﹣1，当物距大
于2倍焦距时，则 ＞2，即x＞2时，y＝x﹣1＞1，可得 ＞1，即AB＞CD．
【解答】解：（1）由题意得，AB∥OE，
∴△ABF∽△EOF，
∴ ，即 ＝ ，
∴OE＝2，
∵OE∥CD，CE∥OD，
∴四边形OECD是平行四边形，
∴CD＝OE＝2，
∴蜡烛的像CD的长度为2；
（2）由题可知，CD＝OE，∴ ＝ ＝y，
∵AB∥OE，
∴△ABF∽△EOF，
∴ ＝ ＝y，
∴ ＝ ，
∴ ＝y+1，
∴ ＝y+1，
∴x＝y+1，
∴y＝x﹣1，
当 ＞2，即x＞2时，y＝x﹣1＞1，
∴ ＞1，即AB＞CD，
∴当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
19．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件
PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ交AD于H点．
（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝ 6 0 mm．
（2）若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度．
【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得到 ．
（2）根据PQ∥BC，得到△APQ∽△ABC，得到对应高之比等于相似比， ，从而得到PN的长．
【解答】解：（1）∵P为AB中点，PQ∥BC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴ mm．
故答案为：60；（2）∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∴PN＝DH
∴AH＝AD﹣DH＝80﹣PN．
∴四边形PNMQ为矩形，
∴PQ＝MN，DH＝PN，
∵矩形PNMQ的周长为220mm，
∴PQ＝110﹣PN，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴PN＝20mm．
20．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜
和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8
厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到
光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．
（1）求像A′B′的长度．
（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答
即可；
（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解
答即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm，∵AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ ．
∵AB∥A′B′，
∴△OAC∽△OA′D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴A′B′＝3.2．
答：像A′B′的长度3.2厘米．
（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图，
∵A′E∥OD，MN∥A′B′，
∴四边形A′EOD为平行四边形，
∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D．
同理：四边形ACOP为平行四边形，
∴AP＝OC＝32cm，
∵AP∥CD，A′E∥OD，
∴AP∥A′E，
∴△APO∽△A′EO，∴ ，
∴ ．
∵MN∥A′B′，
∴△POF∽△A′DF，
∴ ＝ ，
∴OF＝ OD＝ （厘米）．
答：凸透镜焦距OF的长为厘米．
