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第 07 讲 位似
课程标准 学习目标
①位似图形的定义 1. 掌握位似图形的定义并能够熟练的判定位似关系。
②位似图形的性质 2. 掌握位似图形的性质并能够在解决位似的相关题目时熟练的应用。
③位似图形的画法 3. 掌握位似图形的画法，能够熟练的作位似图形。
④位似变换与坐标 4. 掌握位似变换中坐标的关系，能熟练的求出位似变换中的坐标。
知识点01 位似图形的定义
1. 位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线 相交于一点 ，对应边 互相平行 或在
同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心 。
【即学即练1】
1．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应
边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【解答】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，在网格图中的△ABC与△DEF是否成位似图形？说明理由．如果是，同时指出它们的位似中心．
【分析】由题中的图形可以看出△ABC∽△DEF，进而又有位似中心，即可得其为位似图形．
【解答】解：是位似图形，位似中心为P．
理由：∵AB∥DE，AC∥FD，
∴△ABC∽△DEF，
又其每组对应点所在的直线都经过同一个点P，
所以其为位似图形．
知识点02 位似图形的性质
1. 位似图形的性质：
①位似图形是特殊的 相似 图形，它具有 相似 图形的所有性质。
②位似图形的对应点连线交于一点，即 位似中心 。对应边 相互平行 或 在同一直线
上。
③位似图形任意一组对应点到位似中心的距离的比值等于 相似比 。【即学即练1】
3．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则
OA：OD为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．2：1 D．3：1
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，得到 ，根
据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ ，
∵△ABC与△DEF的面积比4：9，
∴△ABC与△DEF的相似比2：3，即 ，
∴ ，
故选：B．
【即学即练2】
4．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则
△DEF的周长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出 ，再根据
相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解答】解：∵OA：AD＝1：2，∴OA：OD＝1：3，
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ ＝ ＝ ，
∴△ABC的周长：△DEF的周长1：3，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为24，
故选：C．
【即学即练3】
5．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA′＝2：3，则
四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9
【分析】根据位似图形的面积之比等于相似比的平方，列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴AD∥A′D′，
∴△AOD∽△A′OD′，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为4：9，
故选：D．
知识点03 位似图形的画法
1. 画位似图形的步骤：
①定点：确定 位似中心 以及原图形中的关键点。
②连线：过位似中心与各关键点连直线。
③截取：根据 相似比 ，在连线上截取适当的长度，做出个关键点的对应点。
④构图：按照原图形顺次连接新图形的关键点。得到位似图形。
【即学即练1】
6．画出图（1）、（2）中的位似中心．【分析】作过2对对应点的2条直线，两条直线的交点就是位似中心．
【解答】解： 点O就是所求的位似中心．
【即学即练2】
7．如图，以点O为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似△A′B′C′．
【分析】连接OA，OB，OC，并延长到A′，B′，C′，使OA′，OB′，OC′是OA，OB，OC的2
倍，顺次连接各点即可．它的位似图形有两个，一个放大，一个缩小．
【解答】解：如图所示：
知识点04 位似变换与坐标
1. 用坐标表示位似：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标
的比等于k或﹣k。当图形在原点的同侧，则比值为k，当图形在原点异侧时，则比值为﹣k。
即若A（x，y），以原点为位似中心，相似比为k的对应点的坐标为 。
【即学即练1】8．如图，△AOB和△COD是以点O为位似中心的位似图形，点 A的坐标为（1，2），点B的坐标为
（3，0），位似比为1：2，则点C的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（3，3） D．（3，4）
【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，
△ABC上一点的坐标是（x，y）则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣
ky），进而求出即可．
【解答】解：∵△AOB和△COD是以点0为位似中心的位似图形，点A的坐标为（1，2），点A与点
C是对应点，
∴点C的坐标为（1×2，2×2），即（2，4），
故选：B．
【即学即练2】
9．如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限
内与△OAB 的位似比为 的位似图形△OCD．若点 C 的坐标为（﹣1，﹣ ），则点 A 的坐标为
（ ）
A．（ ，2） B．（2，3） C．（3， ） D．（3，2）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，C（﹣
1，﹣ ），
∴点A的坐标为（﹣1×（﹣3），﹣ ×（﹣3）），即（3，2），
故选：D．题型01 几何变换的类型判断
【典例1】下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一判断，即可选出正确答案．
【解答】解：A．其中一个图形经过位似变换得到另一图形，不合题意；
B．其中一个图形经过平移变换得到另一图形，符合题意；
C．其中一个图形经过旋转变换得到另一图形，不合题意；
D．其中一个图形经过轴对称变换得到另一图形，不合题意；
故选：B．
【变式1】如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转
【分析】根据原图标与放大后图标之间形状相同，大小不等即可解决问题．
【解答】解：由题知，
放大后的图标与原图标之间形状相同，且大小不等，
所以这两个图形之间属于相似变换．
故选：A．
12．【变式2】对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移
C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称
【分析】根据平移变换，旋转变换，旋转变换变换的定义判断即可．
【解答】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换→平移变换→旋转变换．故选：A．
【变式3】如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在y轴上，∠A＝60°，AB＝4，点C的坐标
为（0，1），Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，且点E在y轴上，这种变换可以是（ ）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度
B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度
C．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度
【分析】先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到 AC＝2，则CE＝3，然后根据旋转变换和平移
变换对各选项进行判断．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∵∠A＝60°，
∴AC＝ AB＝2，
∵点C的坐标为（0，1），
∴OC＝1，
∴CE＝3，
∴把Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位得到Rt△ODE．
故选：A．
题型02 利用位似图形的性质求线段、周长及面积
【典例1】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是3：2，则
AO：DO的值为（ ）
A．3：5 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出 ＝ ，再
根据相似三角形的性质计算即可解题．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∵△ABC与△DEF的周长之比是3：2，
∴ ＝ ＝ ，
∵AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴ ＝ ＝ ，
故选：B．
【变式1】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，位似比为A′B′：AB＝1：3，若
AC＝12，则A′C′的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为A′B′：AB＝1：3，AC＝12，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴A′C′＝4．
故选：D．
【变式2】如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，
他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像
与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为16cm．蜡烛火焰AB高为6cm，若像高CD为
3cm，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ）
A． B．25cm C．32cm D．64cm【分析】连接AB，CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，先判定△COD∽△BOA，即可得
对应高比之比等于相似比，即可得 ，即可求解．
【解答】解：如图，连接AB，CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，
由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，
∴△COD∽△BOA，
∵相似比为： ，
∴对应高的比为： ，
∴OE＝2OF＝2×16＝32（cm），
∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为32cm，
故选：C．
【典例2】在如图所示的平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，已知点B
的坐标为（3，3），点D的坐标为（﹣2，﹣2），则△OAB与△OCD的周长比是（ ）
A．3：2 B．9：4 C．5：2 D．25：4
【分析】根据位似变换的概念得到△OAB∽△OCD，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质计算
即可．
【解答】解：∵△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△OAB∽△OCD，
∵B（3，3），D（﹣2，﹣2），
∴△OAB和△OCD的相似比为3：2，
∴△OAB与△OCD的周长比为3：2，
故选：A．
【变式1】如图，△ABC和△A B C 是以点P为位似中心的位似图形，若 ，△ABC的周长为
1 1 1
6，则△A B C 的周长是（ ）
1 1 1A．8 B．12 C．18 D．24
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：△ABC和△A B C 是以点P为位似中心的位似图形，若 ，
1 1 1
故△ABC的周长和△A B C 的周长比为1：2，
1 1 1
故△A B C 的周长是12，
1 1 1
故选：B．
【变式 2】如图，△ABC 与△A'B'C′位似，位似中心为点 O，OA'＝2AA'，△ABC 的周长为 9，则
△A'B'C'周长为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A'B'C′，A′B′∥AB，证明△OAB∽△OA'B'，根据相似
三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵OA'＝2AA'，
∴OA'：OA＝2：3，
∵△ABC与△A'B'C′位似，
∴△ABC∽△A'B'C′，A′B′∥AB，
∴△OAB∽△OA'B'，
∴ ＝ ＝ ，
∴△ABC与△A'B'C′的周长比为3：2，
∵△ABC的周长为9，
∴△A'B'C'周长为6，
故选：B．
【典例3】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC：OF＝3：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
【分析】首先推导出△AOC∽△DO，通过相似的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴AC∥CF，△ABC∽△DEF，
∴△AOC∽△DOF，
∴ ，
∴△ABC的面积与△DEF的面积之比为9：4．
故选：C．
【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA'＝1：3，△ABC的面积
为2，则△A'B'C'的面积为（ ）
A．8 B．18 C．32 D．64
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥A′B′，得到△AOB∽△A'OB'，根据相似三
角形的性质求出 ，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵OA：AA'＝1：3，
∴OA：OA'＝1：4，
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A'OB'，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵△ABC的面积为2，∴△A'B'C'的面积为32，
故选：C．
【变式2】如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O．若OA：AD＝1：3，△ABC的面积为
2，则△DEF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．18 D．32
【分析】利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，所以 ，然后根据相似三角形的性
质求解．
【解答】解：∵OA：AD＝1：3，
∴ ，
∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴ ，
∵△ABC∽△DEF，
∴ ，
∴S△DEF ＝16S△ABC ＝16×2＝32．
故选：D．
题型03 利用位似变换求点的坐标
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O
是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8）
【分析】根据点A、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，A（1.5，0），D（4.5，0），∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∵点C的坐标为（1，3），
∴点F的坐标为（1×3，3×3），即（3，9），
故选：C．
【变式1】在平面直角坐标系内，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣6，3），B（﹣6，0），以原点
O为位似中心，相似比为 ，将线段AB缩小得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2）或（﹣1，2）
C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出A'点坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为 ，将线段AB缩小得到线段A'B'，
∴端点A'的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的± ，
又∵A（﹣6，3），
∴端点A'的坐标为（﹣6× ，3× ）或（﹣6×（﹣ ），3×（﹣ ）），即（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：D．
【变式2】如图，△AOB的顶点A的坐标为（﹣4，2），现以原点O为位似中心，画一个三角形与△AOB
位似，相似比为 ，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
【分析】分别讨论△AOB的位似图形在位似中心的同侧和异侧两种情况，结合位似的性质可得答案．
【解答】解：当△AOB的位似图形在位似中心的同侧时，
可得点A的对应点的坐标为（﹣2，1）；
当△AOB的位似图形在位似中心的异侧时，
可得点A的对应点的坐标为（2，﹣1）．
综上所述，点A的对应点的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选：C．
【变式3】已知△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．正方
形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出△A BC ，使
1 1△A BC 与△ABC位似，且相似比为2：1，则C 坐标为（ ）
1 1 1
A．（1，﹣1） B．（1，0） C．（2，0） D．（﹣1，0）
【分析】根据C（2，2），位似比为2：1画出图形，得出点C 坐标即可．
1
【解答】解：延长BA到点A ，使得BA ＝2BA，延长BC到点C ，使得BC ＝2BC，如图所示：
1 1 1 1
根据作图可知：点C 的坐标为（1，0）．
1
故选：B．
题型04 位似作图
【典例1】如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）若以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC缩放，使得相似比为1：2，求作△OB′C′；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而即可画图；
（2）利用题（1）所画出的图形得出对应点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△OB′C′即为所求；
（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，方格图中的每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，
△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向左平移8个单位长度，请画出平移后的△A B C ；
1 1 1
（2）画出平移后△A B C 关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A B C 与△ABC对应边的比为1：2，请
3 3 3
画出△A B C ．
3 3 3【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）根据位似的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
（3）如图，△A' B' C' 和△A'' B'' C'' 均满足题意．
3 3 3 3 3 3
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，
1）．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且位似比为2：1；
1 1 1 1 1 1
并写出A 和C 的坐标．
1 1
（2）求四边形CC A A的面积．
1 1
【分析】（1）先根据位似图形的性质画出点A 和C ，再顺次连接即可得△A B C ，再根据坐标与位似
1 1 1 1 1
变换可得点A 和C 的坐标；
1 1
（2）先求出△ABC的面积，再根据位似图形的性质可得△A B C 的面积，然后根据四边形CC A A的
1 1 1 1 1
面积等于△A B C 的面积减去△ABC的面积求解即可得．
1 1 1
【解答】解：（1）△ABC的位似图形△A B C ，如图即为所求．
1 1 1∵△A B C 与△ABC位似，且位似比为2：1，
1 1 1
∴点A是A B的中点，点C是C B的中点，
1 1
∵A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1），
∴A （﹣1×2+4，2×2﹣3），C （﹣3×2+4，1×2﹣3），即A （2，1），C （﹣2，﹣1）．
1 1 1 1
（2）∵S△ABC ＝ ＝ ，且△A
1
B
1
C
1
与△ABC位似，且位似比为
2：1，
∴ ＝ ，
∴ ＝4S△ABC ＝10，
则四边形CC
1
A
1
A的面积为 ﹣S△ABC ＝10﹣ ＝ ．
【变式3】如图，在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2），
（1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2；
（2）若△ABC内有一点P（a，b），直接写出△A′B′C′与P点对应的P′的坐标 （ 2 a ﹣ 1 ， 2 b ﹣
2 ） ．【分析】（1）延长MA到A′使AA′＝MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点
B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到即可得出结果．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′为所作；
（2）∵△ABC内有一点P（a，b），
∴△A′B′C′与P点对应的P′的坐标为（2a﹣1，2b﹣2），
故答案为：（2a﹣1，2b﹣2）．1．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，则下列说法错误
的是（ ）
A．△BCO∽△B′C′O
B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3
C．S△A′B′C′ ：S△ABC ＝4：9
D．OB′：BB′＝3：2
【分析】根据位似变换得到△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，则S△A′B′C′ ：S△ABC
＝4：9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2：3，OB′：BB′＝2：1，即可得
到答案．
【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴S△A′B′C′ ：S△ABC ＝4：9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2：3，
∴OB′：OB＝2：3，
∴OB′：BB′＝2：1．
故选项A、B、C说法正确，选项D说法错误，
即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
2．如图，在直角坐标系中，已知△ABC中，B的坐标为（4，2），以原点O为位似中心，在第一象限内
作△A′B′C′与△ABC位似，位似比为1：2，则顶点B′的坐标为（ ）
A．（4，8） B．（8，4） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】根据位似的性质求解作答即可．
【解答】解：∵B的坐标为（4，2），原点O为位似中心，△A′B′C′与△ABC位似，位似比为1：
2，
∴第一象限内顶点B′的坐标为（2，1），
故选：D．3．如图，△ABC 与△A
1
B
1
C
1
是以点 O 为位似中心的位似图形，若 ，S△ABC ＝27，则
＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．13.5
【分析】根据 可得相似比为1：3，再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比
的平方，由此即可求解．
【解答】解：△ABC与△A
1
B
1
C
1
是以点O为位似中心的位似图形，若 ，S△ABC ＝27，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ S△ABC ＝ ×27＝3，
故选：A．
4．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝
1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：3
【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形
的性质计算即可．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥A′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，
故选：D．
5．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮
品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票
和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙
地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中
心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1
B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2
C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1
D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1
【分析】先利用位似的性质得到A′B′：AB＝1：2，然后根据相似的性质进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，
∴OA′：OA＝1：2，
∴A′B′：AB＝1：2，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4：1．
故选：D．
6．如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在
薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡
烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为12cm．蜡烛火焰AB高为6cm，若像CD高3cm，
则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（ ）
A．6cm B．24cm C．36cm D．48cm【分析】连接AB、CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，先判定△COD∽△BOA，得出
，求出 ，即可得到答案．
【解答】解：连接AB、CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，
由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，
根据题意可得：OC＝OD，∠COD＝∠AOB，AO＝BO，
∴△COD∽△BOA，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴OE＝2OF＝2×12＝24（cm），
∴蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为24cm．
故选：B．
7．如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为
位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（ ）
A．（9，4） B．（4，9） C．（1， ） D．（1， ）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比 缩小，点B的坐标为（3，2），
∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3× ，2× ），即（1， ），
故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）、B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为
，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，﹣1）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对
应点的坐标的比等于k或﹣k计算．
【解答】解：∵原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣2× ，4× ）或（﹣2×（﹣ ），4×（﹣ ）），即（﹣1，2）或
（1，﹣2），
故选：C．
9．如图，两个三角形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为 A（2，﹣4），B（﹣1，b），则b的值
为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
【分析】根据点A和点B的横坐标求出位似比，计算即可．
【解答】解：∵两个三角形关于原点位似，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，
∴两个三角形的位似比为2：1，
∵点A的纵坐标为﹣4，点B的纵坐标为2，
∴b＝2，
故选：D．
10．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝
30°．若S△AOB ＝1，则图中与△BOA位似的三角形的面积为（ ）A． B． C． D．
【分析】据余弦的定义得到 ，进而得到 ，根据位似图形的概念得到△GOH
与△AOB位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，
∵ ，
∴ ，
同理， ，
∴ ，
……，
，
由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为 ，
∵S△AOB ＝1，
∴ ，
故选：C．
11．如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O
四个点中的 点 O ．【分析】连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案．
【解答】解：如图所示，位似中心是点O．
故答案为：点O．
12．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为4：1，则OD：
OA＝ 1 ： 2 ．
【分析】根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为4：1，
∴△ABC∽△DEF，OD：OA＝EF：BC，
∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，
∴OD：OA＝EF：BC＝1：2．
故答案为：1：2．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形，点M（﹣1，1.5）是位似中
心，已知点A，B的坐标为（0，2），（0，1），点F的坐标为（2，0），则点H的坐标为 （ 5 ， 3 ）
．【分析】根据点M的坐标为（﹣1，1.5），点F的坐标为（2，0），得到正方形ABCD与正方形EFGH
的相似比为1：3，再根据正方形的性质、坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形，点M的坐标为（﹣1，1.5），点F的坐标为
（2，0），
∴正方形ABCD与正方形EFGH的相似比为1：3，
∵点A，B的坐标为（0，2），（0，1），
∴AB＝1，
∴EF＝3，
∵四边形EFGH为正方形，
∴FH＝EF＝3，
∴H的坐标为（5，3）．
故答案为：（5，3）．
14．如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E
在x轴上，若点A的坐标为（1，0），则点F的坐标为 （ 9 ， 6 ） ．
【分析】根据位似变换的性质得到△OAD∽△OBG，且 ，根据A（1，0），得到OA＝1，得到
OB＝3，得到AB＝2，根据相似三角形的性质求出BE即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△OAD∽△OBG，
∵相似比为1：3，A（1，0），
∴ ，OA＝1，
∴OB＝3，
∴AB＝OB﹣OA＝2，∵△OBC∽△OEF，
∴ ，
∴ ，
解得：BE＝6，
∴OE＝OB+BE＝9，
∴点F的坐标为（9，6）．
故答案为：（9，6）．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝1， ，
在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的 倍，得到矩形A OC B ，再以原
1 1 1
点 O 为位似中心将矩形 A OC B 各边放大为原来的 倍，得到矩形 A OC B ，以此类推…，矩形
1 1 1 2 2 2
A OC B 的面积为 ，矩形A OC B 的面积为 × （ ） 404 8 ．
2 2 2 2024 2024 2024
【分析】根据矩形的性质求出矩形的面积，根据位似图形的定义、相似多边形的性质总结规律，根据规
律解答即可．
【解答】解：∵四边形AOCB为矩形，OA＝1，OC＝ ，
∴矩形AOCB的面积为：1× ＝ ，
∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的 倍，
∴矩形A OC B 的面积为： ×（ ）2，
1 1 1
∵以原点O为位似中心将矩形A OC B 各边放大为原来的 倍，得到矩形A OC B ，
1 1 1 2 2 2∴矩形A OC B 的面积为： ×（ ）2×（ ）2＝ ×（ ）4＝ ，
2 2 2
……
同理得：矩形A OC B 的面积为 × ，
2024 2024 2024
故答案为： ， ×（ ）4048．
16．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
（1）以O为位似中心，在网格中画出△ABC的位似图形△A B C ，使原图形与新图形的位似比为1：
1 1 1
2；
（2）利用图中网格线的交点用直尺在线段AB上找到一点D，使AD：DB＝1：2．
【分析】（1）连接OA并延长到点A ，使得AA ＝OA，连接OB并延长到点B ，使得BB ＝OB，连接
1 1 1 1
OC并延长到点C ，使得CC ＝OC，顺次连接A 、B 、C 即可；
1 1 1 1 1
（2）如图，AE∥DF，根据平行线分线段成比例定理即可得到所求的点．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，点D为所求，
如图，AE∥DF，
故点D满足题意．
17．如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C的坐标分别为A
（1，2），B（0，1），C（2，0）．
（1）以原点O为位似中心在第三象限画出△A B C ，使它与△ABC位似，且△A B C 与△ABC的相似
1 1 1 1 1 1比是2：1；（点A 、B 、C 分别与点A、B、C对应）
1 1 1
（2）在（1）的条件下，点A 的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 4 ） ．
1
【分析】（1）根据题意作出点A、B、C的对应点A 、B 、C ，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）观察图形写出A 的坐标即可．
1
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）由图形知，点A （﹣2，﹣4）．
1
故答案为：（﹣2，﹣4）．
18．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．（1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长；
（2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数．
【分析】（1）由△ABC与△DEF的相似比为1：2，可得 ，再求DF的长即可；
（2）先求出∠OCB的度数，再根据位似图形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴ ，
∴DF＝2AC＝4；
（2）∵∠O＝22°，∠ABC＝38°，
∴∠OCB＝180°﹣22°﹣38°＝120°．
∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴ ，
∴△OBC∽△OEF，
∴∠OFE＝∠OCB＝120°．
19．如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点坐标是（1，2），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：
3，点C是OA'的中点，反比例函数 的图象经过点C，与A'B'交于点D．
（1）求点D坐标；
（2）连接BD、CD，求四边形ABDC的面积．
【分析】（1）根据题意求出点B的坐标，根据位似图形的性质求出点B′的坐标、点A′的坐标，根据
线段中点的性质求出点C的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出解析式，进而求出点 D的
坐标；
（2）根据三角形的面积公式、坐标与图形求出四边形ABDC的面积．
【解答】解：（1）∵AB和A'B'与x轴垂直，A点坐标是（1，2），
∴点B的坐标为（1，0），
∵△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，
∴点B′的坐标为（3，0），点A′的坐标为（3，6），
∵点C是OA'的中点，∴点C的坐标为（ ，3），
∵反比例函数y＝ 的图象经过点C，
∴k＝ ×3＝ ，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
当x＝3时，y＝ ，
∴点D的坐标为（3， ）；
（2）连接BD、CD，
S四边形ABCD ＝S△A′OB′ ﹣S△AOB ﹣S△DBB′ ﹣S△AC′D
＝ ×3×6﹣ ×1×2﹣ ×2× ﹣ × ×
＝ ．
20．已知抛物线 与x轴交于点A（1，0）和点B，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点C为抛物线对称轴上一点，则在抛物线上是否存在点D，使得△OAC与△OBD位似，且位似
中心为点O？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴求出b，根据抛物线与x轴的交点求出c；
（2）根据题意求出相似比，根据位似变换的性质求出点D的横坐标，进而求出纵坐标．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
解得：b＝﹣ ，
∵抛物线与x轴交于点A（1，0），∴ ﹣ +c＝0，
解得：c＝ ，
∴抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x+ ；
（2）存在，
∵抛物线y＝ x2﹣ x+ 与x轴交于点A（1，0）和点B，对称轴为直线x＝2，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵△OAC与△OBD位似，且位似中心为点O，
∴△OAC与△OBD相似比为1：3，
∵点C在抛物线对称轴上，
∴点C的横坐标为2，
∴点D的横坐标为6，
∴点D的纵坐标为： ×62﹣ ×6+ ＝3，
∴点D的坐标为（6，3）．
