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专题44 运用方差做出决策
1．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.2环，方差分
别是 ， ， ， ，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳
定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】根据平均数及方差可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得： ，
∴根据方差越小表示越稳定，所以在本次射击测试中，成绩最稳定的是甲，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
2．2022年北京-张家口举办了冬季奥运会，很多学校也开设了相关的课程．下表记录了某
校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数 与方差
队员1 队员2 队员3 队员4
平均数
51 50 51 50
（秒）
方差 （秒2） 3.5 3.5 14.5 14.5
据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4
【答案】A
【分析】找出成绩的方差较小，且平均数较大的队员即可．
【详解】解：因为方差越小，表明发挥越稳定，且 ，
所以应该选择队员1或队员2，
又因为队员1的成绩的平均数为51大于队员2的成绩的平均数，
所以应该选择队员1，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数好方差的意义是解题关
键．
3．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表：
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量
1 2 5 11 7 3 1
（双）
鞋店老板决定下次进货多进23.5cm的鞋，可用来解释这一现象的统计量是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【分析】根据销售问题中，销量最多的对应的统计量是众数，从而可得答案．
【详解】解：∵尺码的众数是销售量最多的，
∴鞋店老板决定下次进货多进23.5cm的鞋，可用来解释这一现象的统计量是众数，
故选：C．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的
意义．
4．某射击队拟选一名队员参加比赛，在五轮预选赛中，甲，乙，丙，丁四名队员射击成绩
的平均数和方差如下表所示根据表中数据，更从这四名队员中选择一名成绩好又发挥稳定
的队员参赛，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数/环 8 7 9 9
方差 0.4 2 0.4 2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】由题意知，要选择平均数大且方差小的成绩，比较四名队员的平均数与方差，进
而可得答案．
【详解】解：∵7＜8＜9，
∴丙、丁的成绩更好；
∵0.4＜2，
∴甲、丙的成绩更稳定；
∴丙的成绩好又发挥稳定；
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数和方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，
波动性越大，反之也成立．
5．某校要从四名选手中选取一名同学代表学校参加武汉市“小小外交家”比赛，四名同学
平均成绩 及其方差 如表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，则应选
择的学生是（ ）
甲 乙 丙 丁
8 9 9 8
1.2 1.3 1 1
学科网（北京）股份有限公司A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根据题意可得 ，从而得到丙成绩好且发挥稳
定，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
∴丙成绩好且发挥稳定．
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用平均数和方差做决策，熟练掌握平均数和方差的意义是解题
的关键．
6．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表
格反映的是各组平时成绩的平均数 （单位：分）及方差s2，如果要选出一个成绩较好且
状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
甲 乙 丙 丁
6 7 7 6
s2 1 1.1 1 1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】由题意知乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，可知
丙组的成绩比较稳定，进而得出答案．
【详解】解：∵乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小
∴丙组的成绩比较稳定
故选C．
【点睛】本题考查了利用平均数与方差进行决策．解题的关键在于明确进行决策需要考虑
的因素．
7．下表记录了四名同学最近几次一分钟踢毽子选拔赛成绩的平均数与方差．
姓名 甲 乙 丙 丁
平均数 74.25 70 70 65.75
方差 3.07 4.28 2.57 6.78
根据表中数据，要从中选择两名成绩更好且发挥稳定的同学参加正式比赛，应选择（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丁 D．甲和丙
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的意义判断即可．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由表知，甲、乙、丙成绩的平均数高，其中甲、丙成绩的方差小，
所以甲、丙成绩更好且发挥稳定，
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数及方差的意义．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
8．甲、乙两人在相同情况下各射靶10次，环数的方差分别是 ＝1.4， ＝1.2，则射
击稳定性高的是______．
【答案】乙
【详解】因为 =1.4＞ =1.2，方差小的为乙，
所以成绩比较稳定的是乙．
故答案为∶乙．
9．甲乙两人六次参加射击训练的成绩 单位：环 分别如下：甲： ， ， ， ， ， ；
乙： ， ， ， ， ， 则甲乙两人中射击成绩更稳定的是______．
【答案】甲
【分析】先分别求出甲、乙的平均数和方差，然后再根据方差的意义解答即可．
【详解】解： （环），
（环），
，
，
， ，
甲乙两人中射击成绩更稳定的是甲．
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了方差的定义：一般地设 个数据， ， ， 的平均数为 ，
则方差 ，它反映了一组数据的波动大小，方差越
大，波动性越大，反之也成立．
10．下表记录了甲、乙、丙三名学生这学期的射击成绩的平均数和方差
甲 乙 丙
学科网（北京）股份有限公司平均
9.23 9.3 9.3
数
方差 0.23 0.017 0.057
根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择______．
【答案】乙
【分析】根据题意得： 且 ，可得乙的成绩好且发挥稳定，即可求
解．
【详解】解：根据题意得： 且 ，
∴乙的成绩好且发挥稳定，
∴应选择乙．
故答案为：乙
【点睛】本题主要考查了平均数和方差，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的
关键．
三、解答题
11．某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，
成绩达6分以上为合格，达到9分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成
绩分布的条形统计图如下．
(1)补充完成下列的成绩统计分析表：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲 6.7 3.41 90% 20%
乙 7.1 7.5 1.69 80% ______
(2)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组
同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学
观点的理由．
【答案】(1)6；10%，
(2)①乙组的平均数高于甲组；②乙组的中位数高于甲组．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据中位数的概念，将甲组全部得分按从小到大排列，取中间两个数的平均
数即得到中位数，从条形图中找出乙组9分以上（含9分）的人数，除以乙组总人数即得
乙组优秀率；
（2）从分析表中找出两条乙组优于甲组的项目：平均分、中位数．
（1）
由条形统计图可知：
甲组学生得分分别为：3、6、6、6、6、6、7、8、9、10，
∴甲组的中位数为 ；
乙组学生得分9分以上（含9分）的人数为1，全组总人数为10，
∴乙组得分优秀率为 ；
补充完成统计分析表如下：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲 6.7 6 3.41 90% 20%
乙 7.1 7.5 1.69 80% 10%
（2）
由统计分析表可知支持乙组观点的理由如下：
乙组的平均数高于甲组；
乙组的中位数高于甲组.
【点睛】本题考查了数据的分析，熟练掌握中位数、平均数、方差的概念和算法是解题关
键．
12．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%．现已挂果，经
济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每
棵的产量如折线统计图所示．
（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？
【答案】（1）甲、乙样本的平均数分别为：40kg，40kg；产量总和为7840千克（2）乙．
【分析】（1）根据折线图先求出甲山和乙山的杨梅的总数就可以求出样本的平均数；利用
学科网（北京）股份有限公司样本平均数代替总体平均数即可估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）根据甲乙两山的样本数据求出方差，比较大小就可以求出结论．
【详解】解：（1）甲山上4棵树的产量分别为：50千克、36千克、40千克、34千克，
所以甲山产量的样本平均数为： 千克；
乙山上4棵树的产量分别为：36千克、40千克、48千克、36千克，
所以乙山产量的样本平均数为 千克．
答：甲、乙两片山上杨梅产量数样本的平均数分别为：40kg，40kg；
甲、乙两山的产量总和为：100×98%×2×40=7840千克．
（2）由题意，得
（千克2）；
（千克2）
∵38＞24
∴S2 ＞S2
甲 乙
∴乙山上的杨梅产量较稳定．
【点睛】本题考查了折线统计图、方差、平均数，从图中找到所需的统计量是解题的关键．
13．某校初二学生开展毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，
在规定时间内每踢100个（含100）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班各5名学生的比
赛数据（单位：个）
经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考．
请你回答下列问题：
1号 2号 3号 4号 5号 总分
甲
100 98 110 89 103 500
班
乙
89 100 95 119 97 500
班
(1)计算两班比赛数据的中位数；
(2)通过计算方差比较哪一个班级学生的比赛成绩相互之间更接近，为什么？
(3)根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？说明理由！
【答案】(1)甲班比赛数据的中位数是100，乙班比赛数据的中位数是97
(2)甲班学生的比赛成绩相互之间更接近，理由是方差越小，表明数据波动越小，越稳定
(3)应该把冠军奖状发给甲班，理由见解析
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据中位数的定义即可得；
（2）先利用方差公式求出两班的方差，再根据方差的意义即可得；
（3）先求出两个班级的优秀率，再结合中位数和方差进行分析即可得．
（1）
解：甲班5名学生的比赛数据按从小到大进行排序为 ，
则甲班比赛数据的中位数是100，
乙班5名学生的比赛数据按从小到大进行排序为 ，
则乙班比赛数据的中位数是97．
（2）
解：甲、乙班学生的比赛成绩的平均数为 ，
则甲班学生的比赛成绩的方差为 ，
乙班学生的比赛成绩的方差为 ，
由此可知，甲班学生的比赛成绩的方差小于乙班学生的比赛成绩的方差，
因为方差越小，表明数据波动越小，越稳定，
所以甲班学生的比赛成绩相互之间更接近．
（3）
解：甲班的优秀率为 ，乙班的优秀率为 ，
根据以上信息，甲班的优秀率和中位数都比乙班的高，而且甲班的方差也比乙班小，说明
甲班参赛学生的整体水平比乙班好，所以应该把冠军奖状发给甲班．
【点睛】本题主要考查了中位数和方差．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重
新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动
大小的量．熟练掌握方差的意义是解题关键．
14．6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网
上竞赛活动，为了解竞赛情况．从两个年级各随机抽取了6名同学的成绩（满分为100
分）收集数据为：七年级：90，95，80，85，90，100．八年级：85，85，95，80，95，
100．
根据以上数据，回答下列问题：
(1)通过分析，你认为哪个年级成绩比较好？请说明理由；
(2)该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”，估计这两个年级
共有多少名学生达到“优秀”．
【答案】(1)七年级；理由见解析
(2)350名
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）分别计算出七、八年级成绩的平均数、中位数和方差，再进一步求解即可；
（2）用总人数乘以样本中七、八年级优秀人数占被调查人数的比例即可．
(1)
根据题意，得 =90（分），
＝90（分），
七年级成绩重新排列为80、85、90、90、95、100，
八年级成绩重新排列为80、85、85、95、95、100，
∴七年级成绩的中位数为 ＝90（分），
八年级成绩的中位数为 ＝90（分）；
七年级成绩的方差为
= ，
=50，
∵ ＜50，
∴在平均成绩和中位数均相等的前提下，七年级的方差小，所以七年级的成绩稳定；
(2)
600× ＝350（名），
答：估计这两个年级共有350名学生达到“优秀”．
【点睛】本题考查了数据的集中趋势，熟练进行平均数，中位数，方差的计算是解题的关
键．
15．为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度如
下表所示（单位：厘米）通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐．
编
1 2 3 4 5
号
甲 12 13 14 15 16
乙 13 14 16 12 10
学科网（北京）股份有限公司【答案】甲种水稻出苗更整齐
【分析】根据平均数、方差的计算公式求出平均数和方差，再根据平均数、方差的意义，
进行比较可得出结论．
【详解】解： （厘米），
（厘米），
（厘米 ），
（厘米 ），
∵ ，
∴甲种水稻出苗更整齐．
【点睛】本题考查平均数、方差的计算及意义，需熟记计算公式．
16．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在
相同条件下各射靶6次，命中的环数如下（单位：环）：
甲：7，8，8，6，10，9 乙：9，6，7，8，9，9
（1）求甲、乙两名选手的射击平均成绩分别是多少？
（2）如果你是教练，你会派哪一位选手参加比赛？请说明理由．
【答案】（1） ， ；（2）选乙 ．
【详解】试题分析：（1）利用求平均数的公式代入数据求出甲、乙两名选手的射击平均成
绩即可；（2）求出甲乙二人的方差，比较方差即可得结论．
试题解析：解：（1）
（2）选乙
∵ ，
∴ 即
说明在他们的平均成绩一样的情况下， 乙选手的成绩较稳定，所以选乙 ．
考点：平均数；方差．
17．甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统
计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）：
学科网（北京）股份有限公司平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差/环2
甲 7 7 12
乙 7 8
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求出 的值；
（2）直接写出乙队员第7次的射击环数及 的值，并求出 的值；
（3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由．
【答案】（1）7，（2）乙队员第7次的射击环数是7环或8环；7.5；4.2（3）乙，理由见
解析．
【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；
（2）根据众数可求乙队员第7次的射击环数,中位数是第5次和第6次射击环数的平均数；
根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；
（3）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．
【详解】解：（1）甲的平均成绩a＝ （环）；
（2）∵已知的环数分别是： 3、4、6、7、8、8、9、10，平均数是7，
可知剩余两次的成绩和为：70-55=15（环），根据统计图可知不可能是9和6，只能是7和
8，所以乙队员第7次的射击环数是7环或8环；
把乙的成绩从小到大排列：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
∴乙射击成绩的中位数b＝ ＝7.5（环），
其方差c＝ ×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）
2+（10﹣7）2]
＝ ×（16+9+1+3+4+9）
＝4.2；
学科网（北京）股份有限公司（3）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小
于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看乙的成绩比甲
的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获
得高分的可能更大．
【点睛】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握
平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．
18．某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
众
平均数 中位数 方差
数
甲 8 b 8 0.4
乙 a 9 c 3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝ ，b＝ ，c＝ ．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择
甲的理由是 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同
学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是 ；
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均
数 ，中位数 ，方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数
是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小．
【分析】（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案；
（2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案；
（3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案．
【详解】（1） ，
因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8
因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9；
故答案为a、b、c的值分别是8、8、9；
（2） ，
∴甲的方差较小，成绩比较稳定，
∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；
∵乙的中位数是9，众数也是9，
∴获奖可能性较大，
学科网（北京）股份有限公司∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向
上比赛；
（3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8，
∴平均数不变．
∵六次成绩排序为5，7，8，9，9，10，
∴处于中间位置的数为8，9，
∴中位数为 ，
∴中位数变小．
后来的方差为 ，
∴方差变小．
【点睛】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数和方差的概念是解题的关
键．
19．某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，
他们的原始成绩（单位：cm）如下表：
学生/成绩/次
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
数
甲 169 165 168 169 172 173 169 167
乙 161 174 172 162 163 172 172 176
两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：
学生/成 平均数（单位： 中位数（单位： 众数（单位： 方差（单位：
绩/名称 cm） cm） cm） cm2）
甲 a b c 5.75
乙 169 172 172 31.25
根据图表信息回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）这两名同学中， 的成绩更为稳定；（填甲或乙）
（3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择
同学参赛，理由是： ；
（4）若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择
同学参赛，班由是： ．
【答案】（1）169，169，169；（2）甲;（3）甲，成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多；
（4）乙，成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可；
（2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立；
（3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在1.65或
1.65米以上的次数多，就选哪位运动员参赛；若成绩在1.70米可获得冠军，看谁的成绩在
1.70或1.70米以上的次数多，就选哪位运动员参赛．
【详解】（1）a＝ （169+165+168+169+172+173+169+167）＝169；
b＝ （169+169）＝169；
∵169出现了3次，最多，
∴c＝169
故答案为169，169，169；
（2）∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定，
故答案为甲；
（3）若跳高1.65米就获得冠军，那么成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多，则选择甲；
故答案为甲，成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多；
（4）若跳高1.70米就获得冠军，那么成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多，则选择乙．
故答案为乙，成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多．
【点睛】本题考查平均数和方差的意义．平均数表示数据的平均水平；方差是用来衡量一
组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不
稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越
小，数据越稳定．
学科网（北京）股份有限公司
