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2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍 【人教版】
专题6.3大题易丢分期末考前必做解答30题（提升版）
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•通榆县期中）计算：
（1） ；
（2）﹣22×7﹣（﹣3）×6÷ ．
【分析】（1）利用乘法的分配律进行运算即可；
（2）先算乘方，除法转为乘法，再算乘法，最后算减法即可．
【解答】解：（1）
＝﹣24×（﹣ ）﹣24× ×﹣24×（﹣ ）
＝12﹣18+8
＝2；
（2）﹣22×7﹣（﹣3）×6÷
＝﹣4﹣（﹣3）×6×（﹣5）
＝﹣4﹣90
＝﹣94．
2．（2022秋•芜湖期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用乘法分配律，进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣ ×24﹣ ×24+ ×24
＝﹣15﹣4+14＝﹣5；
（2）
＝
＝﹣1﹣2×2+9
＝4．
3．（2022秋•通榆县期中）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，
求 的值．
【分析】根据相反数，倒数，绝对值的意义可得a+b＝0，cd＝1，m＝±1，然后代入式子中进行计算即
可解答．
【解答】解：∵a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±1，
∴
＝（±1）2﹣（﹣1）+ ﹣1
＝1+1+0﹣1
＝1．
4．（2022秋•黄冈期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号依次连接．
﹣2 ，+3，﹣22，﹣（﹣2.5），|﹣5|
【分析】首先在数轴上表示各数，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＞”号
把它们按从小到大的顺序排列起来即可．
【解答】解：﹣22＝﹣4，|﹣5|＝5，
如图：
故|﹣5|＞+3＞﹣（﹣2.5）＞ ＞﹣22．5．（2022秋•金牛区校级期中）已知有a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图，且|a|＝|c|．
（1）求a+c的值．
（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+2（a+c﹣b）．
【分析】（1）由数轴可，a+c＝0．
（2）由数轴可知a＜0＜b＜c，可得a+b＜0，a+c﹣b＝﹣b，a﹣b＜0，再化简绝对值即可．
【解答】解：（1）∵|a|＝|c|，
∴a＝﹣c，
∴a+c＝0；
（2）由数轴可知a＜0＜b＜c，
∴a+b＜0，a+c﹣b＝﹣b，a﹣b＜0，
∴|a+b|﹣|a﹣b|+2（a+c﹣b）
＝﹣a﹣b+a﹣b+2（0﹣b）
＝﹣4b．
6．（2022秋•巴东县期中）某粮库3天内粮食进、出库的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：
+26，﹣20，﹣15，+34，﹣38，﹣20．
（1）经过这3天，仓库里的粮食是增加了还是减少了？
（2）经过这3天，仓库管理员结算时发现库里还存280吨粮，那么3天前仓库里存粮多少吨？
（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？
【分析】（1）将各数相加得到结果，即可作出判断；
（2）根据题意列出算式，计算即可求出值；
（3）根据题意列出算式，计算即可求出值．
【解答】解：（1）26﹣20﹣15+34﹣38﹣20＝﹣33（吨），
答：库里的粮食减少了33吨；
（2）280﹣（﹣33）＝313（吨），
答：3天前库里存粮食是313吨；
（3）（26+20+15+34+38+20）×5＝765（元），
答：3天要付装卸费765元．
7．（2022秋•通榆县期中）规定一种新运算法则：a b＝a2﹣ab，例如：2 3＝22﹣2×3＝﹣2．请用上述
规定计算下面式子的值：4 （2 9）． ⊗ ⊗
⊗ ⊗【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
4 （2 9）
＝⊗4 （⊗22﹣2×9）
＝4⊗（4﹣18）
＝4⊗（﹣14）
＝4⊗2﹣4×（﹣14）
＝16+56
＝72．
8．（2022秋•双流区期中）计算：
（1）5﹣（﹣2）2×3+（﹣24）÷6；
（2） ；
（3）﹣2y3﹣xy2﹣2（xy2﹣y3）；
（4）5x2﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x）]．
【分析】（1）根据有理数的乘方运算以及有理数的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据乘法分配律即可求出答案．
（3）根据整式的加减运算法则即可求出答案．
（4）根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝5﹣4×3﹣4
＝5﹣12﹣4
＝﹣7﹣4
＝﹣11．
（2）原式＝15×（ + ﹣ ）
＝15×1
＝15．
（3）原式＝﹣2y3﹣xy2﹣2xy2+2y3
＝﹣3xy2．
（4）原式＝5x2﹣（3x2+2x2﹣8x）
＝5x2﹣（5x2﹣8x）
＝5x2﹣5x2+8x＝8x．
9．（2022秋•湖南期中）已知：x＝a2+4ab﹣3，y＝2a2﹣2ab﹣6．
（1）化简：2x﹣y；
（2）若|a+2|+（b﹣1）2＝0，求2x﹣y的值．
【分析】（1）直接化简计算即可；
（2）通过双重非负性得到a与b的值，代入（1）结论计算即可．
【解答】解：（1）2x﹣y
＝2（a2+4ab﹣3）﹣（2a2﹣2ab﹣6）
＝2a2+8ab﹣6﹣2a2+2ab+6
＝10ab；
（2）∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴2x﹣y＝10ab＝﹣20．
10．（2022秋•临潼区期中）已知A＝2x2+3x﹣ ，B＝x2﹣3x+ ，求A比2B大多少？
【分析】用A减去2B即可．
【解答】解：∵A＝2x2+3x﹣ ，B＝x2﹣3x+ ，
∴A﹣2B＝2x2+3x﹣ ﹣2（x2﹣3x+ ）＝2x2+3x﹣ ﹣2x2+6x﹣1＝9x﹣ ，
即A比2B大9x﹣ ．
11．（2022秋•镇海区校级期中）有长为h的篱笆，利用它和一面墙围成长方形菜园，菜园的宽为t．
（1）用关于h、t的代数式表示菜园的面积S．
（2）当h＝200m，t＝40m时，求菜园的面积S．
【分析】（1）根据长方形面积﹣长×宽列关系式；
（2）把h＝200m，t＝40m代入（1）计算．
【解答】解：（1）根据题意，得S＝t（h﹣2t）
＝﹣2t2+th；（2）当h＝200m，t＝40m时，
S＝﹣2×402+200×40＝4800．
12．（2022秋•芜湖期中）已知多项式A＝2x2+bx﹣y+6，B＝2ax2﹣10x+5y﹣1．
（1）若a＝0，b＝1，|x+1|+（y﹣2）2＝0，求A﹣B；
（2）若多项式A﹣B的值与字母x的取值无关，求a，b的值．
【分析】（1）化简原式，然后根据a，b，x，y的值得出结论即可；
（2）根据多项式A﹣B的值与字母x的取值无关得出a和b的值即可．
【解答】解：（1）A﹣B＝（2x2+bx﹣y+6）﹣（2ax2﹣10x+5y﹣1）
＝2x2+bx﹣y+6﹣2ax2+10x﹣5y+1
＝（2x2﹣2ax2）+（bx+10x）+（﹣y﹣5y）+7
＝（2﹣2a）x2+（b+10）x﹣6y+7，
∵|x+1|+（y﹣2）2＝0，
∴x＝﹣1，y＝2，
又∵a＝0，b＝1，
∴（2﹣2a）x2+（b+10）x﹣6y+7
＝（2﹣2×0）×（﹣1）2+（1+10）×（﹣1）﹣6×2+7
＝2﹣11﹣12+7
＝﹣14；
（2）由（1）结论可知，A﹣B＝（2﹣2a）x2+（b+10）x﹣6y+7，
∵多项式A﹣B的值与字母x的取值无关，
∴2﹣2a＝0，b+10＝0，
∴a＝1，b＝﹣10．
13．（2022秋•临潼区期中）青少年活动中心为了满足乒乓球社团活动的需要，决定购置某品牌乒乓球拍
和乒乓球．以阳呼乒乓球拍每副定价90元，乒乓球每个定价20元．现有A、B两个体育店出售这种品
牌，并提出了各自的优惠方案．具体如下：
A店乒乓球拍和乒乓球都按定价的8折付款；B店买一副乒乓球拍送4个乒乓球．
已知该青少年活动中心共购买乒乓球拍50副，乒乓球x个（x＞200）．
（1）求在A店、B店购买各需付多少元钱（用含x的式子表示）？
（2）当x＝500时，在哪家购买划算．
【分析】（1）根据A店乒乓球拍和乒乓球都按定价的8折付款；B店买一副乒乓球拍送4个乒乓球，列
出两个代数式；（2）把x＝500代入（1）的式子计算，然后比较大小．
【解答】解：（1）在A店购买需付款：50×90×0.8+20×0.8x＝（3600+16x）元，
在B店购买需付款：50×80+20（x﹣4×50）＝20x（元）；
答：在A店、B店购买各需付（3600+16x）元、20x元．
（2）当x＝500时，在A店购买需付款：3600+16×500＝11600（元），
在B店购买需付款：20×500＝10000（元），
∵10000＜11600，
∴在B店购买划算．
14．（2022秋•西城区校级期中）解下列方程：
①3x+7＝32﹣2x；
②9﹣3y＝5y+5；
③4﹣x＝3（2﹣x）；
④2﹣4（2﹣3x）＝1﹣2（x﹣5）．
【分析】①方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
②方程移项，合并，把y系数化为1，即可求出解；
③方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
④方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：①移项得：3x+2x＝32﹣7，
合并得：5x＝25，
解得：x＝5；
②移项得：﹣3y﹣5y＝5﹣9，
合并得：﹣8y＝﹣4，
解得：y＝ ；
③去括号得：4﹣x＝6﹣3x，
移项得：﹣x+3x＝6﹣4，
合并得：2x＝2，
解得：x＝1；
④去括号得：2﹣8+12x＝1﹣2x+10，
移项得：12x+2x＝1+10﹣2+8，
合并得：14x＝17，解得：x＝ ．
15．（2022秋•天宁区校级期中）已知关于x的方程 ＝3x﹣2与 ＝x+ 的解互为倒数，求m的值．
【分析】先求出两方程的解，再由倒数的定义即可得出结论．
【解答】解：解方程 ＝3x﹣2得，x＝1，
解方程 ＝x+ 得，x＝ ，
∵关于x的方程 ＝3x﹣2与 ＝x+ 的解互为倒数，
×1＝1，
解得m＝ ．
16．（2022秋•肇源县期中）用绳子测井深，把绳子三折量，井外余16米，把绳子四折量，井外余4米．
求井有多深，绳子有多长？
【分析】设井深为x米，根据绳长不变列方程求解即可．
【解答】解：设井深为x米，
根据题意得，3x+16×3＝4x+4×4，
解得x＝32，
32×3+16×3＝144（米），
答：井深32米，绳子长144米．
17．（2022秋•南岗区校级月考）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下
的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的面积
是多少？
【分析】设正方形的边长为xcm，根据两次剪下的长条面积正好相等，可得出方程．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，由题意可知：5（x﹣4）＝4x，
解得x＝20，
∴该正方形的面积为：202＝400（cm2），
答：原正方形的面积是400cm2．
18．（2022秋•顺德区校级期中）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为﹣4，A在B的右边，且A
与B的距离是20，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A
出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数 1 6 ，与点A的距离为3的点表示的数是 1 9 或 1 3 ．
（2）在数轴上有一个点到A和B的距离相等，这个点表示的数是 6 ；
（3）点P表示的数 ﹣ 4+ t （用含t的代数式表示）；
点Q表示的数 1 6 ﹣ 2 t （用含t的代数式表示）．
（4）假如Q先出发2秒，请问t为何值时PQ相距5个单位长度？
【分析】（1）由A在B的右边，且A与B的距离是20，可得点A表示的数是16，从而可得与点A的距
离为3的点表示的数是19或13；
（2）由中点公式可得这个点表示的数是6，
（3）根据题意，P表示的数是﹣4+t，点Q表示的数是16﹣2t；
（4）由P，Q相距5个单位长度，得|16﹣2t﹣（t﹣6）|＝5，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵A在B的右边，且A与B的距离是20，
∴点A表示的数是﹣4+20＝16，
∵16+3＝19，16﹣3＝13，
∴与点A的距离为3的点表示的数是19或13，
故答案为：16，19或13；
（2）∵ ＝6，
∴这个点表示的数是6，
故答案为：6；
（3）根据题意，P表示的数是﹣4+t，点Q表示的数是16﹣2t，
故答案为：﹣4+t，16﹣2t；
（4）根据题意，P表示的数是﹣4+（t﹣2）＝t﹣6，点Q表示的数是16﹣2t，∵P，Q相距5个单位长度，
∴|16﹣2t﹣（t﹣6）|＝5，
解得t＝ 或t＝9，
答：t为 或9时，P，Q相距5个单位长度．
19．（2022秋•香坊区校级期中）风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承
包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，
甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队
每天费用2600元．
（1）求风华中学一共有多少个教室？
（2）若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分．且乙
工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉刷多少天？
（3）经学校研究，制定如下方案：
方案一：由甲工程队单独完成；
方案二：由乙工程队单独完成；
方案三：按（2）的方式完成；
请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案．
【分析】（1）设乙工程队要刷x天，根据题意房间数量列出方程，再解即可；
（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间（2y+16）天，根据两队共粉刷120间教室
列出方程，再解即可；
（3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可．
【解答】解：（1）设乙工程队要刷x天，则风华中学一共有3x个教室，
由题意得：3x＝2（x+20），
解得：x＝40，
∴3x＝3×40＝120，
答：风华中学一共有120个教室；
（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间（2y+16）天，
由题意得：2y+3（2y+16）＝120，
解得：y＝9，
2y+16＝2×9+16＝34，答：乙工程队共粉刷34天；
（3）方案一：由甲工程队单独完成需40+20＝60（天），
∴费用为60×1600＝96000（元）；
方案二：由乙工程队单独完成需要40天，
费用为40×2600＝104000（元）；
方案三：按（2）方式完成，
费用为9×1600+34×2600＝102800（元），
∵96000＜102800＜104000，
∴方案一最合适，
答：选择方案一是最省钱的粉刷方案．
20．（2022秋•花山区校级期中）为增强居民节约用水意识，某市在2022年开始对供水范围内的居民用水
实行“阶梯收费”，具体收费标准如表：
一户居民一个月用水量即为x立方米 水费 单价（单位：元/立方米）
x≤22 a
超出22立方米的部分 a+1.1
某户居民四月份用水10立方米时，缴纳水费23元．
（1）求a的值；
（2）若该户居民六月份的用水量为20立方米，七月份的用水量为25立方米，求该户居民六、七月份
的用水费用和；
（3）若该户居民五月份的用水量为x立方米，用含x的代数式表示该户居民五月份的用水费用．
【分析】（1）根据四月份用水量和缴纳水费的钱数直接求出a的值即可；
（2）根据收费标准，分别算出六、七月份的用水费用，再相加即可；
（3）分两种情况，分别表示出用水费用即可．
【解答】解：（1）∵四月份用水10立方米时，缴纳水费23元，
∴a＝23÷10＝2.3；
（2）由（1）知a＝2.3，则a+1.1＝3.4，
∴六月份的用水量为20立方米，需缴纳水费20×2.3＝46（元），
七月份的用水量为25立方米，需缴纳水费22×2.3+（25﹣22）×3.4＝60.8（元），
∴该户居民六、七月份的用水费用和是46+60.8＝106.8（元）；
（3）当x≤22时，用水费用为2.3x元，
当x＞22时，用水费用为22×2.3+3.4（x﹣22）＝（3.4x﹣24.2）元，∴五月份的用水费用为：2.3x元（x≤22）或（3.4x﹣24.2）元（x＞22）．
21．（2022秋•思明区校级期中）如图1将一根长为6cm木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端
与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动
到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到
点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，
0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方
向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒．
（1）图中点A所表示的数是 ﹣ 6 ，移动后点Q所表示的数是 1 2 ﹣ t ；（用含t的式子表示）
（2）若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C
之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运
动．
①当3＜t＜4时，动点P在线段 OB 上运动；
②当P，Q两点在数轴上相距的5cm时，求运动时间t．
【分析】（1）根据已知可分别求出N，M表示的数，从而可得A表示的数，由“Q从点D出发，以每
秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动”可表示出Q运动后表示的数；
（2）①计算出P从A到O，从O到B的时间，即可得3＜t＜4时，动点P在线段OB上运动；
②分段表示出P运动后表示的数，根据“P，Q两点在数轴上相距的5cm”列方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵木棒长为6cm，当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12，
∴N表示的数是12﹣6＝6，M表示的数是6﹣6＝0，
∵当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A，
∴点A所表示的数是0﹣6＝﹣6，
∵Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，D表示的数是12，
∴移动后点Q所表示的数是12﹣t，
故答案为：﹣6，12﹣t；
（2）①根据题意可得，P从A到O所需时间为6÷2＝3（秒），从O到B所需时间为4÷1＝4（秒），
∴当3＜t＜4时，动点P在线段OB上，
故答案为：OB；②当0≤t＜3时，P在线段AO上，表示的数是﹣6+2t，Q运动后表示的数是12﹣t，
∴|12﹣t﹣（﹣6+2t）|＝5，
解得t＝ （大于3，舍去）或t＝ （舍去），
当3≤t＜7时，P在线段OB上，表示的数是t﹣3，Q运动后表示的数是12﹣t，
∴|12﹣t﹣（t﹣3）|＝5，
解得t＝5或t＝10（舍去），
当7≤t＜8时，P在线段BC上，表示的数是4+4（t﹣7）＝4t﹣24，Q运动后表示的数是12﹣t，
|12﹣t﹣（4t﹣24）|＝5，
解得t＝6.2或t＝8.2（舍去），
当8≤t≤10时，P在线段CD上，表示的数是8+2（t﹣8）＝2t﹣8，Q运动后表示的数是12﹣t，
|12﹣t﹣（2t﹣8）|＝5，
解得t＝5（舍去）或t＝ （舍去），
综上所述，运动时间t为5秒或6.2秒．
22．（2022秋•永安市期中）如图，在长和宽分别是a，b的长方形的四个角上都剪去一个边长为x的正方
形，折叠后，做成一个无盖的长方体盒子（单位：cm）．
（1）用a，b，x表示无盖长方体盒子的底面积为 （ a b ﹣ 4 x 2 ） cm2；
（2）当a＝10，b＝8，x＝2时，求无盖长方体盒子的底面积．
【分析】（1）利用大长方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出结论；
（2）将a，b，x的值代入（1）中的代数式即可．
【解答】解：（1）无盖的盒子的表面积为：（ab﹣4x2）cm2；
故答案为：（ab﹣4x2）；
（2）当a＝10，b＝8，x＝2时，
ab﹣4x2
＝10×8﹣4×22
＝80﹣16
＝64（cm2）．答：无盖的盒子的表面积为64cm2．
23．（2022秋•新城区期中）已知∠AOB和三条射线OE、OC、OF在同一个平面内，其中OE平分角
∠BOC，OF平分角∠AOC．
（1）如图，若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；
（2）如图，若∠BOC＝ ，∠AOC＝ ，直接用 、 表示∠EOF．
α β α β
【分析】（1）利用角平分线定义，角的加减计算即可；
（2）根据（1）计算过程，代入字母即可；
【解答】解：（1）∵OE平分角∠BOC，OF平分角∠AOC，
∴∠COE＝ ∠BOC，∠COF＝ ∠AOC，
∵∠BOC＝70°，∠AOC＝50°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COF
＝ ∠BOC+ ∠AOC
＝ ×70°+ ×50°
＝35°+25°
＝70°，
∴∠EOF的度数为70°；
（2）∵∠BOC＝ ，∠AOC＝ ，
由（1）可知， α β
∴∠EOF＝∠COE+∠COF
＝ ∠BOC+ ∠AOC
＝ + ．
24．（2α022β秋•天山区校级期中）如图，延长线段AB到C，使BC＝4AB，点D是线段BC的中点，如果
CD＝4cm．
（1）求AC的长度；（2）若点E是线段AC的中点，求ED的长度．
【分析】（1）先根据点D是线段BC的中点，如果CD＝4cm，求出BC的长，再根据BC＝4AB求出AB
的长，由AC＝AB+BC即可得出结论；
（2）先根据线段的中点可得EC的长，再根据线段的差可得结论．
【解答】解：（1）因为点D为线段BC的中点，CD＝4cm，
所以BC＝2CD＝8cm，
因为BC＝4AB＝8cm，
所以AB＝2cm，
所以AC＝AB+BC＝10cm，即AC的长度为10cm．
（2）因为E是AC中点，所以EC＝ AC＝5cm，
所以ED＝EC﹣DC＝5﹣4＝1cm，
即ED的长度是1cm．
25．（2021秋•洛宁县期末）如图，已知线段AB＝23，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求线段MN的长．
【分析】（1）根据图示知，AC＝AB﹣BC，AM＝ AC，根据上两式即可求解；
（2）根据已知条件求得CN＝5，MC＝4，然后根据图示知MN＝MC+NC＝4+5＝9．
【解答】解：（1）线段AB＝23，BC＝15，
∴AC＝AB﹣BC＝23﹣15＝8．
又∵点M是AC的中点．
∴AM＝ AC＝ ×8＝4，即线段AM的长度是4．
（2）∵BC＝15，CN：NB＝1：2，
∴CN＝ BC＝ ×15＝5．
又∵点M是AC的中点，AC＝8，∴MC＝ AC＝4，
∴MN＝MC+NC＝4+5＝9，
即MN的长度是9．
26．（2021秋•乌当区期末）（1）如图①，线段AB＝20cm，点C为线段AB的中点，求线段AC的长；
（2）如图②，在（1）的条件下，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
【分析】（1）根据中点定义解答便可；
（2）先根据M、N分别是线段AC、BC的中点得出MC＝ AC，CN＝ BC，再由线段AB＝20cm即可
得出结论．
【解答】解：（1）∵线段AB＝20cm，点C为线段AB的中点，
∴AC＝ AB＝ ＝10（cm）．
（2）∵M、N分别是线段AC、BC的中点，
∴MC＝ AC，CN＝ BC，
∵线段AB＝20cm，
∴MN＝MC+CN＝ （AC+BC）＝ AB＝10（cm）．
27．（2022秋•天山区校级期中）如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，
求∠AOB的度数．
【分析】根据角平分线的定义以及角的和差关系解决此题．
【解答】解：由题意，可设∠AOC＝x，∠BOC＝5x．
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x+x＝6x．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝ ＝3x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝3x﹣x＝2x＝36°．
∴x＝18°．
∴∠AOB＝6x＝108°．
28．（2021秋•南关区校级期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠AOC＝120°，
将一个有一个角为30°直角三角板的直角顶点放在点O处，使边ON在射线OA上，另一边OM在直线
AB的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转180°．
（1）三角板旋转的过程中，当ON⊥AB时，三角板旋转的角度为 90 ° ；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为 150 ° ；
（3）在旋转的过程中，∠AOM与∠CON的数量关系为 当 0 ° ≤ ≤ 30 ° 时，∠ BON + ∠ COM ＝ 330 ° ，
当 30 ° ＜ ≤ 180 ° 时，∠ COM ﹣∠ BON ＝ 30 ° ， α
当 180 ° ＜ α ≤ 210 ° 时，∠ BON + ∠ COM ＝ 30 ° ，
当 210 ° ＜ α ≤ 360 ° 时，∠ BON ﹣∠ COM ＝ 30 ° ；（请写出所有可能情况）
（4）若三α角板绕点O按每秒钟20°的速度顺时针旋转，同时射线OC绕点O按每秒钟5°的速度沿顺时
针方向，向终边OB运动，当ON与射线OB重合时，同时停止运动，直接写出三角板的直角边所在射
线恰好平分∠AOC时，三角板运动时间为 t ＝ s 或 t ＝ s ．
【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON＝90°；
（2）根据角平分线的定义求解即可；
（3）根据旋转角的大小画出图形，分别计算即可．
【解答】解：（1）依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON＝90°．
故答案为：90；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为150°．
故答案为：150°；
（3）设旋转角是 ，
当0°≤ ≤30°时，α如图，
α∵∠BON＝180°﹣ ，∠COM＝60°+90°+ ＝150°+ ，
∴∠BON+∠COM＝α 330°； α α
当30°＜ ≤180°时，如图，
α
∵∠BON＝180°﹣ ，∠COM＝120°+90°﹣ ＝210°﹣ ，
∴∠COM﹣∠BONα＝30°； α α
当180°＜ ≤210°时，如图，
α
∵∠BON＝ ﹣180°，∠COM＝120°+90°﹣ ＝210°﹣ ，
∴∠BON+∠αCOM＝30°； α α
当210°＜ ≤360°时，如图，
α
∵∠BON＝ ﹣180°，∠COM＝ ﹣210°，
∴∠BON﹣α∠COM＝30°． α
综上，当0°≤ ≤30°时，∠BON+∠COM＝330°，
当30°＜ ≤18α0°时，∠COM﹣∠BON＝30°，
当180°＜α ≤210°时，∠BON+∠COM＝30°，
当210°＜α≤360°时，∠BON﹣∠COM＝30°．
（4）设三α角板运动的时间为t，
∴∠AOC＝120+5t，∵OD平分∠AOC时，
∴∠AOD＝ ，∠AON＝20t，
∴当ON平分∠AOC时，60 ＝20t，解得t＝ s，
当OM平分∠AOC时，90 t＝20t，解得t＝ s．
29．（2021秋•新乐市期末）已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝ 6 0 °；
（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB
在∠AOC内时，求∠MON的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义求出∠BOM和∠BON，然后根据∠MON＝∠BOM+∠BON代入数据进行计算
即可得解；
（3）设∠AOB＝x，表示出∠BOD＝160°﹣x，根据角平分线的定义表示出∠COM和∠BON，然后根据
∠MON＝∠COM+∠BON﹣∠BOC列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝160°，∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝120°，
∵ON平分∠BOD，
∴∠BON＝ ∠BOD＝60°，
故答案为：60；
（2）∵ON平分∠BOD，OM平分∠AOB，
∴∠BON＝ ∠BOD，∠BOM＝ ∠AOB，
∵∠AOD＝160°，∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝ ∠BOD+ ∠AOB＝ ∠AOD＝80°；
（3）设∠AOB＝x，则∠BOD＝160°﹣x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM＝ ∠AOC＝ （x+20°），∠BON＝ ∠BOD＝ （160°﹣x），
∴∠MON＝∠COM+∠BON﹣∠BOC＝ （x+20°）+ （160°﹣x）﹣20°＝70°．
30．（2022秋•晋州市期中）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使
∠BOP＝68°，将一块直角三角尺（∠MON＝90°）的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在直线AB的
上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）．
（1）当n＝30时，求∠PON的大小；
（2）当OP恰好平分∠MON时，求n的值；
（3）当n≠68时，嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值，淇淇认为∠AON与∠POM的和为定值，且
二人求得的定值相同，均为22°，老师说，要使两人的说法都正确，需要对n分别附加条件．请你补充
这个条件：
当n满足 0 ＜ n ＜ 6 8 时，∠AON﹣∠POM＝22°；
当n满足 6 8 ＜ n ＜ 9 0 时，∠AON+∠POM＝22°．
【分析】（1）根据角的和差关系可得答案；
（2）根据角平分线的定义与角的和差关系可得答案；
（3）分两种情况：OM在OP的左侧和右侧时，根据角的和差关系可得结论．
【解答】解：（1）当n＝30°时，∠BOM＝30°，
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝68°﹣30°＝38°，
∵∠MON＝90°，∴∠PON＝90°﹣38°＝52°；
（2）∵OP恰好平分∠MON，∠MON＝90°，
∴∠POM＝45°，
∵∠POB＝68°，
∴n＝68﹣45＝23；
（3）当0＜n＜68时，如图1，∠AON﹣∠POM＝22°，理由如下：
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝68°﹣n°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，
∴∠AON﹣∠POM＝（90°﹣n°）﹣（68°﹣n°）＝22°；
当68＜n＜90时，如图2，理由如下：
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝n°﹣68°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，
∴∠AON+∠POM＝（90°﹣n°）+（n°﹣68°）＝22°；故答案为：0＜n＜68，68＜n＜90．
