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第 18 章 平行四边形 章节测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有
关，不用考虑原四边形的形状．
【解答】解：连接 ，
已知任意四边形 ， 、 、 、 分别是各边中点．
在 中， 、 是 、 中点，
所以 ， ．
在 中， 、 是 、 中点，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形．
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半以及平行四边形的判定．
2．已知直线 ，如图，下列哪条线段的长可以表示直线 与 之间的距离
A．只有 B．只有 C． 和 均可 D． 和 均可
【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．
【解答】解： 从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距
离，
线段 和 都可以示直线 与 之间的距离，
故选： ．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，熟记平行线之间的距离的概念是解题的关键．
3．如图，直角三角形 中， ，中线 中线 ，且相交于 ，已知 ，则 的
长为
A． B． C． D．
【分析】由三角形重心的性质推出 ，令 ，则 ，由直角三角形斜边中线的性质
得到 ，由勾股定理得到 ，求出 ，即可得到 ．
【解答】解： 、 是 的中线，
是 的重心，
，
令 ，则 ，
，，
，
是 的中点，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的重心，勾股定理，关键是由三角形重心的性质得到
，由勾股定理得到 ．
4．已知平行四边形 中， ，则
A． B． C． D．
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ， ，再由已知条件计算出 的度数，即
可得出 的度数．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
解得： ，
，
故选： ．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，两组对角分别相等．5．如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是菱形， ，点 的坐标为 ，则点
的坐标为
A． B． ， C． D．
【分析】由 点坐标求得 ，再解 ，求得 ，于是得到结论．
【解答】解： 点 的坐标为 ，
，
四边形 是菱形， ，
，
，
，
， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，解直角三角形，关键是解直角三角形求得
对角线的长度．
6．如图， 是 的中位线，若 ，则 的长是
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】已知 是 的中位线， ，根据中位线定理即可求得 的长．【解答】解： 是 的中位线， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．掌握三
角形中位线定理是解题的关键．
7．如图，在 中， 于点 ， 于点 ．若 ， ，且 的周长为
40，则 的面积为
A．24 B．36 C．40 D．48
【分析】设 ，由平行四边形的周长表示出 ，再根据平行四边形的面积列式求出 ，然后根据平
行四边形的面积公式列式进而求出 ，即可得出结论．
【解答】解：设 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
的周长为40，
，
，
于点 ， 于点 ，
的面积 ，
，
解得： ，
的面积 ．
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关
键．
8．如图，在平面直角坐标系中， 是菱形 的对角线 的中点， 轴且 ， ，点 的坐标是
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出 是等边三角形，则 ，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股
定理求得 ， ，进而得出 点的坐标，根据中心对称的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，设 与 轴交于点 ，
四边形 是菱形，
，
， ，
是等边三角形，则 ，
是菱形 的对角线 的中点，
轴，则 ，
， ，
， 关于 对称，
，
故选： ．【点评】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角
形的性质，求得点 的坐标是解题的关键．
9． 添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解： 、 ，
，
四边形 是平行四边形，
是矩形，故选项 不符合题意；
、 四边形 是平行四边形， ，
是矩形，故选项 不符合题意；
、 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
是矩形，故选项 不符合题意；
、 四边形 是平行四边形， ，
是菱形，故选项 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及菱形的判定；熟练掌握矩形的判定和平行四边形
的性质是解题的关键．
10．下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】 、根据正方形的判定方法进行判断；
、根据平行四边形的判定方法判断即可；
、根据平行四边形的判定方法判断即可；、根据菱形的判定方法进行判断．
【解答】解： 、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以 选项错误．
、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故 选项错误．
、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故 选项正确．
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 选项错误；
故选： ．
【点评】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定，注意间接条件的应用．在应用判定定理判定平行四
边形、菱形和正方形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混
用判定方法．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．如图，在平行四边形 中， ， ， 的平分线 交 于点 ，则 的长为
6 ．
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ，由平行线的性质和角平分线的性质可求
，即可求解．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ．
，
平分 ，
，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，求出 的长是本题的关键．
12．如图，在平行四边形 中， ， ，点 在边 上，以每秒 的速度从点
向点 运动，点 在边 上，以每秒 的速度从点 出发，在 之间做往返运动．两个动点同时出发，当点 到达点 时两点同时停止运动．设运动时间为 ．在点 ， 的运动过程中， 为
或 1 0 时，四边形 为平行四边形．
【分析】由四边形 为平行四边形可得出 ，结合平行四边形的判定定理可得出当 时，
由此构建方程，可得结论．
【解答】解： 的速度为每秒 ，
，
是速度为每秒 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
当 时，四边形 是平行四边形，
或 ，
解得 或10，
综上所述：满足条件的 的值为 或10，
故答案为： 或10．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，分弄清 在 上往返运动情况
是解决此题的关键．
13．如图： ， ， ， ， 的面积为6，则四边形 的
面积为 2 0 ．【分析】作 ， ，根据 的面积为6，求出 ，根据两平行线间的距
离相等得到 的长，根据平行四边形的面积公式得到答案．
【解答】解：作 于 ， 于 ，
， ，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，又 ，
，又 的面积为6，
，
四边形 的面积 ，
故答案为：20．
【点评】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以
及面积公式是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，已知 、 ，点 在第一象限，且 ，若存在点 ，使得
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则点 的坐标为 ， 或 ， 或 ．【分析】分三种情况讨论，由菱形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解： ， ，
，
点 在第一象限，且 ，
，
是等边三角形，
过点 作 于点 ，
，
，
， ，
当 为菱形的对角线时，如图，
四边形 为菱形，
， ，
，
， ，
当 为菱形的对角线时，
与 关于 轴对称，
， ，
当 为菱形的对角线时，
与 关于 轴对称，
，
综上所述：点 的坐标为 ， 或 ， 或 ．
故答案为： ， 或 ， 或 ．【点评】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形，利用分类讨论思想解决问题
是解题的关键．
15．如图，若将四根木条钉成的矩形变形成为平行四边形 ，并使其面积为原矩形面积的一半，则
的度数为 15 0 度．
【分析】根据矩形、平行四边形的面积公式与平行四边形的底边长 矩形的长，可得平行四边形的高 矩
形宽的一半，可求得 的度数，已知四边形 是平行四边形，所以 ，可得 的度
数．
【解答】解：矩形的面积 长 宽，平行四边形的面积 底边 高，
如图平行四边形的底边长 矩形的长，
要使其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形的高 矩形宽的一半，
过 作 ，交 于点 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，故答案为：150．
【点评】本题考查了矩形、平行四边形，关键是掌握矩形、平行四边形的面积公式．
16．如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成了一个边长为9的大正方形ABCD，连接AF
并延长交CD于点M，交DH于点K，作MN⊥FC于点N．若AH＝GH，则CM的长为 ．
【分析】利用正方形的性质及四个全等的直角三角形得到AE∥CG，进而得到MF＝MC；设MF＝MC＝
x，在Rt△ADM中利用勾股定理建立方程求得x的值即可．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF，
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG，
∴BE＝EF＝GF＝FC＝ ，
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF＝9，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AB2＝AE2+BE2
∴AE＝CG，
∵AE∥CG，
∴∠FAE＝∠GFK，
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG∴MF＝MC，
又∵MN⊥FC于点N，
∴Rt△MFN≌Rt△MCN，
∴CN＝FN＝ CF，
设MF＝MC＝x，则AM＝9+x，DM＝9﹣x，由勾股定理得：92+（9﹣x）2＝（9+x）2，解得x＝ ，则
CM＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形全等的性质等知识点，解题的关键是假设 CM为x，运用勾股定
理求出未知数x的值．
17．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 2. 5 ．
【分析】根据勾股定理求出 ，根据直角三角形斜边上中线求出 即可．
【解答】解： ， ， ，由勾股定理得： ，
是 中线，
，
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出 是解此题的关键．
18．如图，两条宽都为 的纸条交叉成 角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 ．【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，先证四边形 是平行四边形，再证平行
四边形 是菱形，然后由锐角三角函数定义求出 的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
由题意可得 ， ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
平行四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
即重叠四边形的面积为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，求出
的长是解题的关键．三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．如图，在四边形 中， ， 为 上一点，且 ， ， ，
求证：四边形 为平行四边形．
【分析】证明 ，得出 ，由平行四边形的判定可得出结论．
【解答】证明： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
，
，
四边形 为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，证明 是解题的关键．
20．如图，在 中， ， ，垂足为点 ， 是 外角 的平分线，
，垂足为点 ．
（1）求证：四边形 为矩形；
（2）当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？请给出证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出 ．证出 ，由矩形的判定可得
出结论；
（2）当 时，四边形 是一个正方形．证出 ，由正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明： ， ，
．
是 外角 的平分线，
，
，
，
，
， ，
，
四边形 为矩形．
（2）解：答案不唯一，如：当 时，四边形 是一个正方形．
证明： ，
，
，
，
，
四边形 为矩形，
矩形 是正方形．
故当 时，四边形 是一个正方形．
【点评】本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综
合运用．
21．在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作 交 的延长线
于点 ．（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）由 是 的中点， 是 的中点，得 ， ，由 ，得
，可证明 ，得 ，则四边形 是平行四边形，根据“直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半”得 ，所以四边形 是菱形；
（2）作 交 的延长线于点 ，由菱形的性质得 ， ，
则 和 都是等边三角形，所以 ， ，则 ，
由 ， ，求得 ， ，则 ，即可根据勾股定理求得
．
【解答】（1）证明： 是 的中点， 是 的中点，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
， 是 的中点，，
四边形 是菱形．
（2）解：作 交 的延长线于点 ，则 ，
四边形 是菱形，
， ，
和 都是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
的长是 ．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证
明 是解题的关键．
22．如图，在等边 中， 、 分别为 、 的中点，延长 至点 ，使 ，连接
和 ．
（1）求证： ；
（2）请直接写出与 相等的所有角 除外）．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出四边形 是平行四边形，进而得出 ；
（2）根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】（1）证明： 、 分别为 、 的中点，
为 的中位线，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
是等边三角形， 是 中点，
，
与 相等的所有角是 、 、 、 ．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是利用三角形中位线定理得出四边形 是平行四边形解答．
23．如图，矩形 中，点 是对角线 的中点，过点 的直线分别交 、 边于点 、 ，
．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．【分析】（1）根据矩形的性质，利用 证明 ，得到 ，得到四边形是平行四边形
再根据 ，即可得证；
（2）勾股定理求出 的长，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理求出 的值，
再根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
是对角线 的中点，
，
又 ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
是菱形；
（2）解： 四边形 是矩形，
，
在 中，
， ，
，
．
四边形 是菱形，
， ， ，
，令 ，则 ，
在 中，
，
，
解得 ，即 ，
，
．
【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关
性质和判定是解题的关键．
24．如图所示，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，过点 作 ，且 ，连
接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，求 的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得出 ，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质得出 ，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明： 菱形 ，
， ，
，
，
，四边形 是平行四边形，
，
，
是矩形；
（2）解： 菱形 ，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
矩形 ，
， ，
，
，
．
【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据菱形的性质得出 解答．
25．如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是平行四边形， ， 两点的坐标分别为 ，
．将平行四边形 先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形 ．
（1）请你直接写出点 ， 的坐标；
（2）平行四边形 与平行四边形 的重叠部分的形状是 平行四边形 ，重叠部分的面积是
；
（3）点 是 轴上一动点，在直线 上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行
四边形？若存在，请求出满足条件的所有点 、点 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由平移的性质进行求解即可；
（2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明 ， ，由此即可证明四边形 是
平行四边形，即平行四边形 与平行四边形 的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线
的解析式为 ，进而求出 ，则 ，则 ，即平行
四边形 与平行四边形 的重叠部分的面积为 ；
（3）分 为边和 为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可．
【解答】解：（1） 将平行四边形 先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形
，
点 、点 分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点 、点 ，
， ，
， ；
（2）如图所示，设 与 轴交于 ， 与 交于 ，过点 作 轴于 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
由平移的性质可得 ， ，
， ，即 ， ，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 与平行四边形 的重叠部分的形状是平行四边形；设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
在 中，当 ， ，
，
，
，
平行四边形 与平行四边形 的重叠部分的面积为 ，
故答案为：平行四边形， ；
（3） ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，，
同理可得直线 的解析式为 ，
设 ，
当 为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
解得 ，
；
当 为边时，则 ， ，
，
，
，
，
或 ；
综上所述，当 或 或 时，以 ， ， ， 为顶点
的四边形为平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几
何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
26．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 中，
点 ， 分别是 ， 边的中点 ，
求证： ．
证明：
【分析】证明 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，再证明四边形
为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
【解答】已知：如图，在 中，
点 ， 分别是 ， 边的中点，
求证： ，且 ．
如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ．
在 和 中，
，
，
， ，
，
，，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
， ．
故答案为：点 ， 分别是 ， 边的中点； ，且 ．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平
行四边形的判定定理是解题的关键．
