人教版九年级数学上册教案：24.1圆（2）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_04教案（多套）_教案2（赠送）

24.1 圆(第 2 课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的 弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以 推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推 论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形． A B O 老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． B A O （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 1B A' A B' O = ，AB=A′B′ AB A'B' 理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径OB与OB′重合 ∵点A与点A′重合，点B与点B′重合 ∴ 与 重合，弦AB与弦A′B′重合 AB A'B' ∴ = ，AB=A′B′ AB A'B' 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手 作一作． （学生活动）老师点评：如图 1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和 ∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一 个角度，使得OA与O′A′重合． B B' B A A' O(O') A O O' A' O O' O(O') B' (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： = ，AB=A/B/． AB A'B' 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢 ──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评． 例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ 2（2）如果OE=OF，那么 与 的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为 AB CD 什么？∠AOB与∠COD呢？ C A F E O D B 分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说 明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可． （2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中， 又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF， ∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 = AB CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD 1 1 ∴AE= AB，CF= CD 2 2 ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF （2）如果OE=OF，那么AB=CD， = ，∠AOB=∠COD AB CD 理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF 又∵OE⊥AB，OF⊥CD 1 1 ∴AE= AB，CF= CD 2 2 ∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD ∴ = ，∠AOB=∠COD AB CD 三、巩固练习 教材 练习1 教材练习2． 四、应用拓展 例 2．如图 3 和图 4，MN 是⊙O 的直径，弦 AB、CD相交于 MN上的一点 P， 3∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明 理由． M A C P F E A E O B N D B M P D N F C (3) (4) 分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相 等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD 五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业 1．教材 复习巩固4、5、6、7、8． 2．选用课时作业设计． 4第二课时作业设计 一、选择题． 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（ ） A． =2 B． > C． <2 D．不能确定 AB CD AB CD AB CD 3．如图5，⊙O中，如果 =2 ，那么（ ）． AB AC A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC C A E C A B O O B D (5) (6) 二、填空题 1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________． 3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题 1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上． （1）求证： = ； AM BN （2）若C、D分别为OA、OB中点，则 成立吗？ AM MN  NB 2．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若 ∠D=50°，求 的度数和 的度数． BE EF 53．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD． 答案: 一、1．D 2．A 3．C 1 5 二、1．圆的旋转不变形 2． 或 3．3 3 3 三、1．（1）连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，OA=OB， ∵AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN， ∴∠AOM=∠BON，∴ AM  NB （2） AM MN  NB 2．BE的度数为80°，EF的度数为50°． 3．连结AC、BD，∵C、D是 三等分点， AB 1 ∴AC=CD=DB，且∠AOC= ×90°=30°， 3 ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°， 又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC， 同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD 6