文档内容
第19章 一次函数单元能力提优测试卷（解析版）
试卷亮点：1.南通某名校周考试卷；2.重点突出，难易适中，区分度好。
（时间：90分钟 总分100分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023•安徽模拟）一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在函数图象
上的是（ ）
A．（3，﹣1） B．（2，5） C．（4，6） D．（5，6）
【思路引领】根据一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，可知k＜0，然后将各个选
项中的点的横纵坐标代入解析式求出k的值，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，
∴k＜0，
当x＝3，y＝﹣1时，﹣1＝k（3﹣2）+4，得k＝﹣5，故选项A符合题意；
当x＝2，y＝5时，5＝k（2﹣2）+4不成立，故选项B不符合题意；
当x＝4，y＝6时，6＝k（4﹣2）+4，得k＝1，故选项C不符合题意；
2
当x＝5，y＝6时，6＝k（5﹣2）+4，得k= ，故选项D不符合题意；
3
故选：A．
【总结提升】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，
判断出k的正负情况．
1
2．（2021秋•金山区期中）下列各点中，在正比例函数y= x的图象上的是（ ）
3
1
A．( ，6) B．（﹣3，﹣1） C．（0，1） D．（6，3）
2
【思路引领】点的坐标满足正比例函数的解析式，则可知点在函数图象上，逐项判断即可．
1 1 1
【解答】解：A、当x= 时，代入可得y= ≠6，所以点（ ，6）不在函数图象上，故A不符合题意；
2 6 2
B、当x＝﹣3时，代入可得y＝﹣1，所以点（﹣3，﹣1）在函数图象上，故B符合题意；
C、当x＝0时，代入可得y＝0≠1，所以点（0，1）不在函数图象上，故C不符合题意；
D、当x＝6时，代入可得y＝2≠3，所以点（6，3）不在函数图象上，故D不符合题意；
故选：B．
【总结提升】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握在函数图象上的点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
4
3．（2020•内乡县一模）如图，直线y=− x+4与x轴，y轴分别交于A，B把△AOB绕点A顺时针旋转
3
90°后得到△ACD，则点D的坐标是（ ）
A．（3.4） B．（4，5） C．（7，4） D．（7，3）
【思路引领】过点D作DM⊥x轴于点M，则四边形ACDM为矩形，利用一次函数图象上点的坐标特征
可得出OA，OB的长，由旋转的性质可得出CD，CA的长，结合矩形的性质可求出OM，DM的长，进
而可得出点D的坐标．
【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，则四边形ACDM为矩形，如图所示．
4
当x＝0时，y=− x+4＝4，
3
∴OB＝4；
4
当y＝0时，− x+4＝0，解得：x＝3，
3
∴OA＝3．
由旋转的性质，可知：CD＝OB＝4，CA＝OA＝3，
∴OM＝OA+AM＝OA+CD＝7，DM＝CA＝3，
∴点D的坐标为（7，3）．
故选：D．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、旋转的性质以及矩形的性质，利用旋转的性质
结合矩形的性质，找出OM，DM的长是解题的关键．4．（2022•钦北区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣2，4），（﹣6，0），则不等式kx+b＞4
的解集为（ ）
A．x＞﹣6 B．x＜﹣6 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【思路引领】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【解答】解：观察图象知：当x＞﹣2时，kx+b＞4，
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y
＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y＝kx+b在
x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（
）
A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5
【思路引领】直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，
{k+b=−2)
∴ ，
b=−5
{ k=3 )
解得： ，
b=−5
故它的解析式是：y＝3x﹣5．
故选：D．
【总结提升】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确将已知点代入是解题关键．
1
6．（2022•莲湖区三模）将一次函数y=− x+1的图象向右平移2个单位后与x轴交于点A，点B的坐标是
2
（0，﹣3），则线段AB的长为（ ）
A．5 B．7 C．1 D．❑√13【思路引领】根据平移的规律求得平移后的解析式，即可求得A的坐标，然后根据勾股定理即可求得线
段AB的长．
1 1 1
【解答】解：将一次函数y=− x+1的图象向右平移2个单位后得到y=− （x﹣2）+1，即y=−
2 2 2
x+2，
令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），
∴AB 5，
=❑√42+32=
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移规律求得
平移后的解析式是解题的关键．
7．（2021•芙蓉区一模）如图所示，一次函数 y＝kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常
数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1
B．关于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＞1
C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大
{y−mx=0) {x=1)
D．关于x，y的方程组 的解是
y=kx−b y=2
【思路引领】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象
相交于点M（1，2），∴关于x的方程，mx＝kx+b的解是x＝1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＜1，选项B判断错误，符合题意；
当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；
{y−mx=0) {x=1)
关于x，y的方程组 的解是 ，选项D判断正确，不符合题意．
y=kx−b y=2故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性
质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足
两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
8．（2020秋•道外区期中）下面所画的函数图象中，不可能是一次函数y＝mx+2﹣m图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据图象，确定一次项系数及常数项的性质符号，再作判断．若不等式的解集有公共部分，
则有可能；反之，则不可能．
【解答】解：根据图象知：
A、m＜0，2﹣m＞0．解得m＜0，所以有可能；
B、m＞0，2﹣m＞0．解得0＜m＜2，所以有可能；
C、m＜0，2﹣m＜0．两不等式无公共部分，所以不可能；
D、m＞0，2﹣m＜0．解得m＞2，所以有可能．
故选：C．
【总结提升】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9．（2022春•鼓楼区期中）关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（ ）
3
A．当x＞ 时，y＜0
2B．图象经过一、二、三象限
C．y随x的增大而增大
D．图象过点（1，﹣1）
【思路引领】解不等式求得不等式的解集即可判断A；根据一次函数的性质即可判断B、C；把点（1，
﹣1）代入解析式即可判断D．
【解答】解：A、令y＜0，则﹣2x+3＜0，
3
解得x＞ ，
2
故正确；
B、∵﹣2＜0，3＞0，
∴图象过一、二、四象限，故错误；
C、∵﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，故错误；
D、当x＝1时，y＝1．所以图象不过（1，﹣1），故错误；
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与不等式的
关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
10．（2023春•栾城区期末）函数y＝|x|﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法，可以写出两段对应的函数解析式及此时
对应的函数图象，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵函数y＝|x|﹣1，
∴当x≥0时，y＝x﹣1，y随x的增大而增大，
当x＜0时，y＝﹣x﹣1，y随x的增大而减小，故选：C．
【总结提升】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
二．填空题（共8小题每小题3分，共24分）
11．（2023•大冶市一模）先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的
图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则❑√2k−3b= 2❑√3 ．
【思路引领】直接根据“上加下减，左加右减”的原则即可求得k、b的值，代入计算即可．
【解答】解：将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，所得函数为y＝kx﹣1，
将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，所得函数为y＝3x+b+1，
∵平移后的两个函数的图象重合，
∴k＝3，b+1＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴❑√2k−3b=❑√6+6=2❑√3，
故答案为：2❑√3．
【总结提升】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12．已知函数y＝5x﹣2，当自变量x的取值范围为﹣3≤x≤5，y的最大值为 2 3 ．
【思路引领】k＝5＞0，由根据一次函数的性质得y随x的增大而增大，可得当x＝5时，y的值最大，
即可求出y的最大值．
【解答】解：∵k＝5＞0，
∴函数y＝5x﹣2，y随x的增大而增大，
∵﹣3≤x≤5，
∴当x＝5时，y的值最大，最大值为y＝5×5﹣2＝23，
故答案为：23．
【总结提升】本题主要考查了一次函数的性质，掌握k＞0时，y随x的增大而增大是解决问题的关键．
13．（2023•东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C
（m，n），则2m﹣n的值是 ﹣ 1 ．【思路引领】点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），根据反射的性质得，反射光线所在直
线过点B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式为：y＝2x+1，再根据反射后经过点C（m，n），
2m+1＝n，即可求出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），
∴反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），
设A'B的解析式为：y＝kx+1，过点A′（2，5），
∴5＝2k+1，
∴k＝2，
∴A'B的解析式为：y＝2x+1，
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m+1＝n，
∴2m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【总结提升】本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A'B的解析式．
14．（2022秋•翁源县期中）如图所示，已知直线 l：y＝2kx+2﹣4k（k为实数），直线l与x轴正半轴、y
轴的正半轴交于A、B两点，则△AOB面积的最小值是 8 ．
【思路引领】可用k分别表示出A、B两点的坐标，则可得到OA、OB的长，可用k表示出△AOB的面
积，再利用基本不等式可求得答案．
【解答】解：
在y＝2kx+2﹣4k中，
2k−1
令y＝0可得，0＝2kx+2﹣4k，解得x= ，
k
令x＝0可得，y＝2﹣4k，
2k−1
∴A（ ，0），B（0，2﹣4k），
k2k−1
∴OA= ，OB＝2﹣4k，
k
1 1 2k−1 (2k−1) 2 4k2−4k+1 1
∴S△AOB =
2
OA•OB=
2
×
k
×（2﹣4k）=−
k
=−
k
=−4k−
k
+4，
∵k＜0，
1 1
∴﹣4k＞0，− ＞0，且﹣4k×（− ）＝4，
k k
√ 1
∵（❑√−4k−❑− ）2≥0，
k
1
∴﹣4k− ≥2❑√4=4，
k
1
∴﹣4k− +4≥8，即S△AOB ≥8，
k
即△AOB面积的最小值是8，
故答案为：8．
【总结提升】本题主要考查基本不等式的应用，把△AOB的面积用k表示出来是解题的关键．
15．（2023春•柘城县期末）已知点P（3，y ），Q（﹣2，y ）在一次函数y＝（﹣4m+1）x+2的图象上，
1 2
1
若y ＜y ，则实数m的取值范围是 m ＞ ．
1 2
4
【思路引领】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范
围．
【解答】解：∵点P（3，y ），Q（﹣2，y ）在一次函数y＝（﹣4m+1）x+2的图象上，且y ＜y ，
1 2 1 2
∴当3＞﹣2时，由题意可知y ＜y ，
1 2
∴y随x的增大而减小，
1
∴﹣4m+1＜0，解得m＞ ，
4
1
故答案为：m＞ ．
4
【总结提升】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
16．（2021春•普陀区期末）将平面直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函
数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图象与x、y轴分别交于点A、B，那么△ABO为此一次函数的坐
1
标轴三角形．一次函数y=− x+4的坐标轴三角形的面积是 1 6 ．
2【思路引领】根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：由题意可得：A（8，0）B（0，4），
所以OA＝8，OB＝4，
1
∴S = ×8×4=16．
△AOB 2
故答案为：16．
【总结提升】本题考查了一次函数问题，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三
边长是解题的基础．
1
17．（2023秋•九江期中）已知点 A（m，m+1）在直线y= x+3上，则点 A关于y轴对称的坐标是
2
（﹣ 4 ， 5 ） ．
1
【思路引领】把A（m，m+1）代入y= x+3，求出m，再根据轴对称变换的性质即可求解．
2
1
【解答】解：∵点A（m，m+1）在直线y= x+3上，
2
1
∴m+1= m+3，
2
解得：m＝4，
∴点A（4，5），
∴点A关于y轴对称的坐标是（﹣4，5）．
故答案为：（﹣4，5）．
【总结提升】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，坐标与图形变换—轴对称，熟知一次函数图象
上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
3
18．（2021秋•滨湖区期末）如图，P是直线y= x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，
4
15
3），则△PAB的面积为 ．
23 15 3
【思路引领】求得直线AB为y= x− ，即可判断直线AB与直线y= x平行，根据题意求得两平行
4 4 4
线间的距离，利用勾股定理求得AB，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），
∴
{5k+b=0)
，解得k=
3
，b=−
15
，
9k+b=3 4 4
3 15
∴直线AB为y= x− ，
4 4
3
∴直线AB与直线y= x平行，
4
设直线AB交y轴于C点，作OD⊥直线AB于D，
3 15 15
在y= x− 中，令x＝0，则y=− ，
4 4 4
15
∴直线AB与y轴的交点C（0，− ），
4
15
∴OC= ，
4
∵OA＝5，
√ 15 25
∴AC=❑√OA2+OC2=❑52+( ) 2= ，
4 4
1 1 1 15 1 25
∵S△OAC = OA⋅OC= AC•OD，即 ×5× = × ×OD，
2 2 2 4 2 4
∴OD＝3，
∵AB 5，
=❑√(9−5) 2+(3−0) 2=
1 15
∴△PAB的面积为： ×5×3= ，
2 215
故答案为： ．
2
【总结提升】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，两条直线平行问题，解直角三角形以及三角形
3
的面积，证得直线AB与直线y= x平行是解题的关键．
4
三．解答题（共5小题）
19．（2022春•铜梁区期末）如图，直线l ：y ＝x+3交x轴于点B，与过点A（3，0）的直线l ：y ＝kx+b
1 1 2 2
交于点C（1，m）．
（1）求直线l 的解析式，并画出l 的图象；
2 2
（2）求△ABC的面积；
（3）根据函数图象，直接写出y ＞y ≥0的解集．
1 2
【思路引领】（1）先求出点C的纵坐标，再把A、C的坐标代入y ＝kx+b，再求出k、b即可；
2
（2）求出点B的坐标，求出AB的值，再求出三角形的面积即可；
（3）根据点C和点A的坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）把点C（1，m）代入y ＝x+3得：m＝1+3＝4，
1
即C的坐标是（1，4），{3k+b=0)
把A、C点的坐标代入y ＝kx+b，得 ，
2 k+b=4
解得：k＝﹣2，b＝6，
即直线l 的解析式是y ＝﹣2x+6；
2 2
（2）y＝x+3，
令y＝0，x+3＝0，
解得：x＝﹣3，
即点B的坐标是（﹣3，0），
所以AB＝3﹣（﹣3）＝6，
∵C点的坐标是（1，4），
1
∴△ABC的面积是 ×6×4=12；
2
（3）∵C（1，4），A（3，0），
∴y ＞y ≥0的解集是1＜x≤3．
1 2
【总结提升】本题考查了两直线平行或相交问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上
点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式等知识点，能求出交点坐标是解此题的关键．
20．一次函数的图象如图，根据图象回答
3
（1）写出这个函数的表达式 y=− x +3 ；
2
3 14
（2）当x＝3时，则y＝ − ；当y＝10时，x＝ − ；
2 3
（3）当x ＞ 2 时，y＜0；
（4）函数值y随着x的增大是如何变化的？它的图象从左到右怎样变化？【思路引领】（1）根据函数图象与两坐标轴的交点坐标可用待定系数法求出此一次函数的解析式；
（2）将x＝3，y＝10分别代入即可；
（3）根据函数的图象与x轴的交点可直接求出当y＜0时，x的取值范围；
（4）通过观察图象即可得出结论．
【解答】解：（1）由函数的图象可知函数图象与坐标轴的交点为（2，0）、（0，3），
设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把（2，0）、（0，3）代入得，
{0=2k+b)
，
¿3=b
{ k=− 3 )
解得， 2 ，
¿b=3
3
故此一次函数的解析式为y=− x+3；
2
3
故答案为：y=− x+3；
2
3 3
（2）当x＝3时，y=− ×3+3=− ；
2 2
3 14
当y＝10时，10=− x+3，解得x=− ；
2 3
3 14
故答案为：− ；− ；
2 3
（3）根据函数的图象与x轴的交点可知，当y＜0时，x的取值范围x＞2；
故答案为：＞2；
（4）由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，属于基础题，关键是根据图象解题．
21．（2022春•新田县期末）已知，如图，一次函数的图象经过点P（4，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点Q，且△ABQ的面积为6，求点Q的坐标．
【思路引领】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
1
（2）设点Q的坐标为（t，0），先利用一次函数解析式确定A点坐标，再利用三角形面积公式得到 ×
2
|t﹣2|×2＝6，然后解方程求出，从而得到Q点的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
{4k+b=2) { k=1 )
把P（4，2）和B（0，﹣2）分别代入得 ，解得 ，
b=−2 b=−2
∴一次函数解析式为y＝x﹣2；
（2）设点Q的坐标为（t，0），
当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）
∵△ABQ的面积为6，
1
∴ ×|t﹣2|×2＝6，解得t＝8或t＝﹣4，
2
∴Q点的坐标为（﹣4，0）或（8，0）．
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析
式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系
数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的
性质．
1
22．（2022春•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y= x
3
的图象平移得到，且经过点（﹣3，﹣3）．
（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于函数y＝kx+b的值，直接写出m
的取值范围．
1
【思路引领】（1）根据平移的性质可得k= ，再将点（﹣3，﹣3）代入即可求出一次函数表达式；
3
（2）将点（﹣3，﹣3）代入y＝mx，求出m的值，根据一次函数的性质即可求出m的取值范围．
1
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y= x的图象平移得到，
3
1
∴k= ，
3
1
将点（﹣3，﹣3）代入y= x+b，
3
得﹣1+b＝﹣3，
解得b＝﹣2，
1
∴一次函数的表达式：y= x﹣2；
3
（2）将点（﹣3，﹣3）代入y＝mx，
得﹣3m＝﹣3，
解得m＝1，
∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于函数y＝kx+b的值，
1
∴m的取值范围是： ≤m≤1．
3
【总结提升】本题考查了一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质
是解题的关键．
23．（2022•岚山区一模）【探究•发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．
1
已知正方形ABCD的对角线AC长为a，则正方形ABCD的周长为 2❑√2 a ，面积为 a 2 （都用
2
含a的代数式表示）．
【拓展•综合】如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，
这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，点P是原点O的“正方形关联点”．
①若P（3，2），则O、P的“关联正方形”的周长是 2❑√26 ；
9
②若点P在直线y＝﹣x+3上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值是 ．
43 3 3
（2）如图2，已知点A（− ， ），点B在直线l：y=− x+6上，正方形APBQ是A、B的“关联正
2 2 4
方形”，顶点P、O到直线l的距离分别记为a和b，求a2+b2的最小值.
❑√2
【思路引领】【探究•发现】根据正方形的性质可知，正方形的边长等于其对角线长的 倍，再根据
2
正方形的周长与面积公式列式计算即可；
【拓展•综合】
（1）①根据“关联正方形”的定义可知，OP是某个正方形的两个对角顶点，根据两点间的距离公式
❑√2
求出OP，乘以 ，得到该正方形的边长，进而求出周长；
2
②根据正方形的面积公式可知，当正方形的边长最小时，面积最小，由垂线段最短得出此时OP与直线
y＝﹣x+3互相垂直，根据等腰直角三角形的性质求出OP，进而求出最小面积；
3
（2）过P、Q分别作直线l：y=− x+6的垂线，垂足分别为D、C，证明△PDB≌△BCQ，得出a2+b2
4
＝PB2，当AB⊥直线l时a2+b2有最小值．求出此时AB的长，进而求解即可．
【解答】解：【探究•发现】
∵正方形ABCD的对角线AC长为a，
❑√2
∴正方形ABCD的边长为 a，
2
❑√2 ❑√2 1
∴正方形ABCD的周长为4× a＝2❑√2a，面积为（ a）2= a2．
2 2 2
1
故答案为：2❑√2a， a2；
2
【拓展•综合】
（1）①∵P（3，2），O（0，0），∴OP ，
=❑√32+22=❑√13
❑√2 ❑√26
∴O、P的“关联正方形”的边长是❑√13× = ，
2 2
❑√26
∴周长是4× =2❑√26．
2
故答案为：2❑√26；
②设直线y＝﹣x+3与x轴交于点M，与y轴交于点N，则M（3，0），N（0，3）．
如图1，作OP⊥MN于P，此时OP最小，则O、P的“关联正方形”面积最小．
∵M（3，0），N（0，3），
∴OM＝ON＝3，
∵∠MON＝90°，OP⊥MN，
1 1 3
∴OP= MN= ×❑√32+32= ❑√2，
2 2 2
3 ❑√2 3
∴O、P的“关联正方形”的边长为 ❑√2× = ，
2 2 2
3 9
∴O、P的“关联正方形”的面积为（ ）2= ；
2 4
9
故答案为： ；
4
3
（2）如图2，过P、Q分别作直线l：y=− x+6的垂线，垂足分别为D、C．
4
∵∠PBQ＝90°，
∴∠DBP+∠CBQ＝∠DBP+∠DPB＝90°，
∴∠CBQ＝∠DPB．
在△PDB与△BCQ中，
{∠DPB=∠CBQ
)
∠PDB=∠BCQ ，
PB=BQ
∴△PDB≌△BCQ（AAS），
∴PD＝BC，DB＝CQ，
∵PD＝a，CQ＝b，∴a2+b2＝PD2+CQ2＝PD2+DB2＝PB2，
∴求a2+b2的最小值即求正方形边长的最小值，
又AB2＝PB2+PA2＝2PB2，
∴即是求AB的最小值，
根据垂线段最短可知，当AB⊥直线l时，AB最小，即a2+b2有最小值．
3 3 3
过点A（− ， ）作直线l：y=− x+6的垂线，垂足为B．
2 2 4
4
设直线AB的解析式为：y= x+n，
3
3 3 3 4 3
把A（− ， ）代入， = ×（− ）+n，
2 2 2 3 2
7
解得n= ，
2
4 7
∴y= x+ ．
3 2
3 6
{y=− x+6) { x= )
解方程组 4 ，得 5 ，
4 7 51
y= x+ y=
3 2 10
6 51
∴B（ ， ），
5 10
√ 6 3 51 3 9
∴AB=❑( + ) 2+( − ) 2= ，
5 2 10 2 2
9 ❑√2 9❑√2
∴正方形的边长为 × = ，
2 2 4
9❑√2 81
∴a2+b2的最小值为（ ）2= ．
4 8【总结提升】本题是一次函数综合题，考查了新定义，利用待定系数法求直线的解析式，正方形的性质，
全等三角形的判定与性质，垂线的性质，两点间的距离公式，两条直线交点坐标的求法等知识，正确理解
“关联正方形”是解题的关键．
