人教版九年级数学上册教案：24.4弧长和扇形的面积_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_04教案（多套）_教案2（赠送）

3.7 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数 学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系， 激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 2．投影片四张 第一张：(记作§3．7A) 第二张：(记作§3．7B) 第三张：(记作§3．7C) 第四张：(记作§3．7D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 1[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的 一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？ 本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？ [生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3．7A) 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ [师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应 1 360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的 ；转动轮转n°， 360 传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍． [生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm； 20  (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送  cm； 360 18 20 n (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×  ＝cm． 360 180 [师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算 公式吗？请大家互相交流． 2[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的 2R R 弧长为  ，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n× 360 180 R nR  ． 180 180 [师]表述得非常棒． 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为： nR l＝ ． 180 下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解 投影片(§3．7B) 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直 长度，即 的长(结果精确到0.1mm)． AB nR 分析：要求管道的展直长度，即求AB的长，根根弧长公式l＝ 可求得AB的长， 180 其中n为圆心角，R为半径． 解：R＝40mm，n＝110． n 110 ∴AB的长＝ πR＝ ×40π≈76.8mm． 180 180 因此，管道的展直长度约为76.8mm． 四、想一想 投影片(§3．7C) 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一 只狗． (1)这只狗的最大活动区域有多大？ 3(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？ [师]请大家互相交流． [生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π； (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积， 1 1   1°的圆心角对应圆面积的 ，即 ×9π＝ ，n°的圆心角对应的圆面积为n× 360 360 40 40 n ＝ ． 40 [师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式． [生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为R2 ，n° 360 的圆心角对应的扇形面积为n·R2 nR2 ．因此扇形面积的计算公式为S ＝ n  扇形 360 360 360 πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 五、弧长与扇形面积的关系 [师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长 n n 的计算公式为l＝ πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S ＝ πR2，在这两个公式 扇形 180 360 中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜 得出吗？请大家互相交流． n n [生]∵l＝ πR，S ＝ πR2， 扇形 180 360 n 1 n 1 ∴ πR2＝ R· πR．∴S ＝ lR． 扇形 360 2 180 2 六、扇形面积的应用 4投影片(§3．7D) 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的 AB 面积(结果精确到0.1cm2) 分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条 件已经告诉了，因此这个问题就解决了． 120 解：AB的长＝ π×12≈25.1cm． 180 120 S ＝ π×122≈150.7cm2． 扇形 360 因此， 的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2． AB Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： n 1．探索弧长的计算公式l＝ πR，并运用公式进行计算； 180 n 2．探索扇形的面积公式S＝ πR2，并运用公式进行计算； 360 3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． Ⅴ．课后作业 习题3．10 Ⅵ．活动与探究 如图，两个同心圆被两条半径截得的 的长为6π cm， 的长为10π cm，又AC＝ AB CD 12cm，求阴影部分ABDC的面积． 5分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面 1 积S＝ lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出 2 OA即可． 解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：  n 6 R ①   180  n  10 (R12) ②  180 ① 得3 R ．  ② 5 R12 ∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18． ∴OC＝18＋12＝30． 1 1 ∴S＝S －S ＝ ×10π×30－ ×6π×18＝96π cm2． 扇形COD 扇形AOB 2 2 所以阴影部分的面积为96π cm2． 板书设计 §3．7 弧长及扇形的面积 一、1．复习圆的周长和面积计算公式； 2．探索弧长的计算公式； 3．例题讲解； 4．想一想； 5．弧长及扇形面积的关系； 6．扇形面积的应用． 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 67