文档内容
圆锥的侧面积
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．
2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求
1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养
学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，
感受成功的体验．
2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习
数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．
教学重点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
教学难点
经历探索圆锥侧面积计算公式．
教学方法
观察——想象——实践——总结法
教具准备
一个圆锥模型(纸做)
投影片两张
第一张：(记作§3．8A)
第二张：(记作§3．8B)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？
[主]见过，如漏斗、蒙古包．
[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．
[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．
1[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这
些问题．
Ⅲ．新课讲解
一、探索圆锥的侧面展开图的形状
[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是
什么形状．
[生]圆锥的侧面展开图是扇形．
[师]能说说理由吗？
[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节
课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想
圆锥的侧面展开图应该是扇形．
[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理
由吗？
[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．
[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪
开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？
[生]是扇形．
[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面
积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半
径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．
二、探索圆锥的侧面积公式
[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底
面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为
1
底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝ ·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S
2
＝πrl．
侧
2圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S ＝πr2＋
全
πrl．
三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．
投影片(§3．8A)
圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高
为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2
分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可
求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三
角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S ＝πrl中即可．
侧
58
解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝
2
58
l＝ ( )2 202 ≈22.03cm，
2
1
S ＝πrl≈ ×58×22.03＝638.87cm2．
圆锥侧
2
638.87×20＝12777.4cm2．
所以，至少需要12777.4cm2的纸．
投影片(§3．8B)
如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得
一个几何体．求这个几何体的表面积．
3分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个
n
圆锥的侧面积之和．根据S ＝ πR2或S ＝πrl可知，用第二个公式比较好求，但是得
侧 侧
360
求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在Rt△ABC中，由OC、AB＝BC、AC可求出r，问题
就解决了．
解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，
∴BC＝12cm．
∵OC·AB＝BC·AC，
∴r＝OC＝ ．
60
∴S ＝πr(BC＋AC)＝π× ×(12＋5)
表
13
1020
＝ π cm2．
13
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容：
探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．
Ⅴ．课后作业
习题3．11
Ⅵ．活动与探究
探索圆柱的侧面展开图
4在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知圆
柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之间
的距离是圆柱的高．
圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴
的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，
并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的．
如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形，这
个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧
面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高．
[例1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知AD＝18cm，AB＝
30cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm2)．
解：如图(2)，AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱的母线，设圆柱的表面积为S，则S＝2S
圆
＋S ．
侧
18 18
∴S＝2π( )2＋2π× ×30＝162π＋540π≈2204cm2．
2 2
所以这个圆柱形木块的表面积约为2204cm2．
板书设计
§3．8 圆锥的侧面积
5一、1．探索圆锥的侧面展开图的形状；
2．探索圆锥的侧面积公式；
3．利用圆锥的侧面积公式进行计算．
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
回顾与思考
教学目标
(一)教学知识点
1．掌握本章的知识结构图．
2．探索圆及其相关结论．
3．掌握并理解垂径定理．
4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
5．掌握圆心角和圆周角的关系定理．
(二)能力训练要求
1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．
2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生
的动手操作能力．
3．用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力．
4．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方
面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．
教学重点
掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的
关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．
教学难点
上面这些内容的推导及应用．
6教学方法
教师引导学生自己归纳总结法．
教具准备
投影片三张：
第一张：(记作A)
第二张：(记作D
第三张：(记作C)
教学过程
Ⅰ．回顾本章内容
[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？
[生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有
旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探
索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又
研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究
了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．
[师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆
引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性
方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，
其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了
全章内容，结构如下：(投影片A)
Ⅱ．具体内容巩固
[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．
7一、圆的有关概念及性质
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是
圆心，圆还具有旋转不变性．
[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？
[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地
面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车
厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．
如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．
二、垂径定理及其逆定理
[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
[师]这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定
理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，
结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一
条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有
两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个
结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还
是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．下面我
们就用一些具体例子来区别它们．
(投影片B)
1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，
则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．
2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂 直于AB
吗？OC的长度是多少？
8[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？
[生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于
弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，
应用逆定理．
[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？
[生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE是矩形．
∵AC＝AB，∴AE＝AD．
∴四边形ADOE是正方形．
2．解：∵C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
1
在Rt△OAC中，AC＝ AB＝25mm，OA＝50mm．
2
∴由勾股定理得OC＝ (mm)．
OA2 AC2 502 252 25 3
三、圆心角、弧、弦之间关系定理
[师]大家先回忆一下本部分内容．
[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
[师]下面我们进行有关练习
(投影片C)
1
1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为2cm，求AB的长．
3
[生]解：由题意可知 的度数为120°，
AB
∴∠AOB＝120°．
作OC⊥AB，垂足为C，则
9∠AOC＝60°，AC＝BC．
在Rt△ABC中，
AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2× 3 ．
3
3
∴AB＝2AC＝2 (cm)．
3
四、圆心角与圆周角的关系
[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积
[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，
而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌
握公式并能运用．
nR
[生]弧长公式l＝ ，π是圆心角，R为半径．
180
扇形面积公式S＝nR2 或S＝1 lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形弧长．
360 2
圆锥的侧面积S ＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径．
侧
S ＝S ＋S ＝πrl＋πr2．
全 侧 底
Ⅲ．课时小结
本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心
距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．
Ⅳ．课后作业
复习题 A组
Ⅴ．活动与深究
弓形面积
如图，把扇形OAmB的面积以及△OAB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积．如
图(1)中，弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S ＝S －S ；图(2)中，弓形AmB的面
弓形 扇形 △OAB
10积大于半圆的面积，这时S ＝S ＋S ；图(3)中，弓形AmB的面积等于半圆的面积，这
弓形 扇形 △OAB
1
时S ＝ S ．
弓形 圆
2
例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m，求截面上有水
的弓形的面积(精确到0.01m2)．
解：如图，在⊙O中，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交 于点C．
AB
∵OA＝0.6，DC＝0.3，
∴OD＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD＝60°，AD＝0.3 ．
3
∵S ＝S －S ，
弓形ACB 扇形OACB △OAB
120
∴S ＝ ·0.62＝0.12π(m2)，
扇形OACB
360
1 1
S ＝ AB·OD＝ ×0.6 3×0.3＝0.09 3(m2)
△OAB
2 2
∴S ＝0.12π－0.09 ≈0.22(m2)．
弓形ACB 3
板书设计
回顾与思考
一、1．圆的有关概念及性质；2．垂径定理及其逆定理；
3．圆心角、弧、弦之间关系定理；4．圆心角与圆周角的关系；
5．弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．二、课时小结
11三、课后作业
回顾与思考(2)
教学目标
(一)教学知识点
1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．
2．了解切线的概念，切线的性质及判定．
3．会过圆上一点画圆的切线．
(二)能力训练要求
1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动
变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．
2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能
力．
3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．
4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数
学结论的确定性．
2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，
能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点
1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．
教学难点
探索各种位置关系及切线的性质．
教学方法
学生自己交流总结法．
教具准备
投影片五张：
12第一张：(记作A)
第二张：(记作B)
第三张：(记作C)
第四张：(记作D)
第五张：(记作E)
教学过程
Ⅰ．回顾本章内容
[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本
章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．
Ⅱ．具体内容巩固
一、确定圆的条件
[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我
们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆
心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．
[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连
的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．
经过两点也可以作无数个圆．
设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应
在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距
离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．
经过在同一直线上的三点不能作圆．
经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个
点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平
分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三
点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因
为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一
个．
[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？
[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆
心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，
说明四个点不在同一个圆上．
13例题讲解(投影片A)
矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？
[师]请大家互相交流．
[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．
∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
二、三种位置关系
[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆
和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．
1．点和圆的位置关系
[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆
的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明
这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这
个点在圆内．
[师]总结得不错，下面看具体的例子．
(投影片B)
1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的 距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，
且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？
2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？
分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．
[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，
14∵OD＝3，PD＝4，
∴OP＝ ＝5＝r．
OD2 PD2 32 42
所以点P在圆上．
同理可知OR＝ ＜5，OQ＝ ＞5．
OD2 DR2 OD2 DQ2
所以点R在圆内，点Q在圆外．
2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因
为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、
H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，
1 1 1 1
因此有OE＝ AB，OF＝ BC，OG＝ CD，OH＝ AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝
2 2 2 2
OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．
2．直线和圆的位置关系
[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，
此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没
有公共点时，此时直线和圆相离．
[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？
[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较
圆心到直线的距离d与半径的大小．
当d＜r时，直线和圆相交；
当d＝r时，直线和圆相切；
当d＞r时，直线和圆相离．
[师]很好，下面我们做一个练习．
(投影片C)
15如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有
怎样的位置关系？
分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与
圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是
求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．
[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，
∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．
又因为⊙A的半径为4，
∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．
∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．
由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．
[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行
深层次的研究，即切线的性质和判定．
[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．
切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
[师]下面我们看它们的应用．
(投影片D)
1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的
⊙O切AC于点E，求AD的长．
162．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？
为什么？
分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比
OA OE
例， ．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD．
BA BC
2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为
⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝
90°．
[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．
[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，
∴由勾股定理得AB＝15．
∵⊙O切AC于点E，连接OE，
∴OE⊥AC．
∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．
OA OE ABOE OE
∴ ，即 ．
AB BC AB BC
15OE OE 45
∴ ．∴OE＝
15 9 8
45 15
∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－ ×2＝ ．
8 4
2．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°．
∴∠CAE＝∠B，
∴∠CAB＋∠CAE＝90°，
即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径，
∴AE与⊙O相切．
3．圆和圆的位置关系
[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．
[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切
包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．
[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？
17[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内
部还是外部来判断．
当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在
另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．
当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点
都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是
内切．
两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部
时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．
[师]只有这一种判定方法吗？
[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，
当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．
[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别
画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等
关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．
当d＞R＋r时，两圆外离；
当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；
当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．
(投影片E)
设⊙O和⊙O的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O和⊙O的位置关系怎
1 2 1 2
样？
①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；
②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；
③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；
④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；
⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；
⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；
⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．
[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，
∴⊙O与⊙O的位置关系是相交；
1 2
(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；
18(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；
(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；
(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；
(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；
(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．
三、有关外接圆和内切圆的定义及画法
[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接
圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．
因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线
的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．
和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线
的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，
以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．
Ⅲ．课堂练习
1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．
2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关
1
系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DE BC)
2
Ⅳ．课时小结
本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形
的外接圆和内切圆．
Ⅴ．课后作业
复习题 B组
Ⅵ．活动与探究
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的面积．
19分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差，由勾股定理
可求出直角边BC的长度，则能求出S ，要求圆的面积，则需求⊙O的半径OD或OE、OF．连
△ABC
接OA、OB、OC，则把△ABC分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有S ＝S ＋S ＋
△ABC △OAB △OBC
S ，从中可求出半径．
△OCA
解：如图连接OA、OB、OC，则△ABC分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、OF、OD分
别是三角形各边上过切点的半径．
1 1 1
∴S ＝ AB·OF，S ＝ BC·OD，S ＝ CA·OE．
△OAB △OBC △OCA
2 2 2
∵S ＝S ＋S ＋S ，
△ABC △OAB △OBC △OCA
1 1 1 1
∴ AC·BC＝ AB·OF＋ BC·OD＋ CA·OE．
2 2 2 2
∵OD＝OE＝OF，
∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD．
在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得BC＝5．
∴12×5＝(12＋13＋5)·OD．
∴OD＝2．
1
∴S ＝S －S ＝ ×12×5－π·22＝30－4π．
阴影 △ABC ⊙O
2
板书设计
回顾与思考
一、确定圆的条件
二、三种位置关系；
1．点和圆的位置关系；2．直线和圆的位置关系．
3．圆和圆的位置关系
三、有关外接圆和内切圆的定义及画法
四、课堂练习五、课时小结 六、课后作业
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