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专题24.36 圆锥的侧面积（分层练习）
一、单选题
1．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图的面积是（ ）．
A．6 B．12 C．6π D．12π
2．已知圆锥的母线长是4cm，侧面积是12πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，
圆锥的高是（ ）m．
A． B．5 C． D．
4．已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
5．今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为
8cm的圆柱粮仓模型．如图 是底面直径， 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带
经过 ， 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B．48cm C． D．20cm6．圆锥的底面半径为15，母线长为50，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，如果从半径为 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝
处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为 ，底面圆的半径为 ，
这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，
则移动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
11．用圆心角为 ，半径为 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的
高是（ ）A． B． C． D．
12．如图，点 是 上的点，已知 的半径 ， ，欢欢利用图中阴影部分制
作一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．4
13．如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着
圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．3
14．如图，圆锥的底面半径 ，高 ．则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是
（ ）
A． B． C． D．
15．如图所示，矩形纸片 中， ，把它分割成正方形纸片 和矩形纸片 后，
分别裁出扇形 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
16．底面半径为2cm，母线为5cm的圆锥侧面积为 ．
17．圆锥的侧面积为 ，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为 ．
18．底面半径为3，母线长为5的圆锥的高是 ．
19．已知圆锥的底面圆半径是 ，母线长是 ，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ．
20．如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将 OAC沿AC折叠，点O恰好落在 上的点D处，
△
且l ：l ＝1：3（l 表示 的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长
的比为
21．已知圆锥底面圆半径为 ，其侧面展开图的面积为 ，则母线长为 ．
22．某个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则这个圆锥的底面半径为
cm．
23．若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 度．
24．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为 ，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
25．如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从
B点到P点的最短路线的长为 ．
26．在 中， ， ， ，以直角边 所在的直线为轴，将 旋
转一周，则所得的几何体的侧面积是 （结果保留π）．
27．有一半径为4米，圆心角为 的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那
么这个圆锥的高为 米．
28．已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是 ．
29．圆锥母线长 ，底面圆半径 ，则圆锥侧面展开图的圆心角 是 ．
30．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，
其侧面展开图如图2所示，若 =120°，OA= ，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．三、解答题
31．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为 ，高为 ，
外围高 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（ 取3.142，结果取整数）？
32．看图计算，求下面组合图的体积．
33．综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为 ，圆心角为 的扇形.
工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.
（1）探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相
等”）若 ， ，则 ________.
（2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 的值，请用含 ， 的式子表示 ；
（3）拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽， ， ， 是 中点，现要从点 到点 再到点 之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
34．如图， 内接于 ， ，点E在直径BD的延长线上，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，
①求阴影部分的面积；
②连接AO，试求以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径．
35．如图，在一张四边形 的纸片中， ， ， ，以点 为圆
心， 为半径的圆分别与 交于点 ．
（1）求证： 与 相切；（2）过点B作 的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（3）若用剪下的扇形 围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作
为这个圆锥的底面？
36．小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为 ，高为 的锥形漏斗，要求只能
有一条接缝（接缝忽略不计）
你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？
如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？参考答案
1．D
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
解：根据题意可知 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了求圆锥的侧面积，掌握公式是解题的关键．即 （其中r是底面半径，
l是圆锥的母线）．
2．A
【分析】设圆锥的底面半径为 cm，利用圆锥的侧面积公式计算即可；
解：设圆锥的底面半径为 cm，
则 ，
解得， ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查侧面积公式的运用，熟练掌握圆锥的侧面积公式，运用方程的思想解决问题是
解题的关键．
3．C【分析】首先连接 ，求出 的长度是多少；然后求出扇形的弧长 为多少，进而求出扇形围成
的圆锥的底面半径是多少；最后应用勾股定理，求出圆锥的高是多少即可．
解：如图1，连接 ，
，点 是 的中点，
，
又 ，
，
，
，
将剪下的扇形围成的圆锥的半径是：
，
圆锥的高是： ．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是要熟练掌握求出扇形围成的圆锥的底面半径．
4．C
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×10＝ ，
解得n＝120，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°．
故选：C．
【点拨】本题扇形面积的计算,关键在于熟记公式.5．D
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形， ，且点C为 的中点，
∵ ， ，
∴装饰带的长度 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧
面展开图是长方形．
6．B
【分析】圆锥的侧面积 底面周长 母线长 ．
解：因为底面半径为15，母线长50，
所以圆锥的侧面积 ．
故选：B．
【点拨】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答．
7．B
【分析】求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，即可求出圆锥的底面半径．
解：∵圆形纸片的半径为 ，
∴圆形纸片的周长 ，
∴剩下扇形的周长 ，
即 ，解得： ，
∴圆锥底面半径为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆的周长公式，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握相关知识
点及圆的周长公式是解决本题的关键．
8．D【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ，
，
解得 ，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查圆锥的计算，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长．
9．B
【分析】设该圆锥母线长为 ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到 ，然后解方程即可．
解：设该圆锥母线长为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
即该圆锥母线长为2．
故选：B．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．A
【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用
勾股定理即可得出AS的长．
解：沿着S所在的母线展开，如图，
连接AS，则AB＝ ×16＝8，BS＝ BC＝6，
在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，解得AS＝10．
∵A，S两点之间线段AS最短，
∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．
故选：A．
【点拨】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求
解是解答此题的关键．
11．C
【分析】由题意可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，得到 ，即可求出底面半径，
设纸帽的高为 ，利用勾股定理求出纸帽的高即可．
解：由题意可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
又 扇形的圆心角为 ，半径为 ，
设底面半径为 ，
，解得： ，
设纸帽的高为 ，
则 ，解得： 或 （舍去），
故选： ．
【点拨】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，
扇形的半径等干圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理，求出底面半径是解答本题的关键．
12．C
【分析】根据圆周角定理，由 可知优弧 所对圆心角为 ，从而由弧长公式得到
优弧 的长度为 ，得到利用阴影部分制作圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，作出
图形，利用勾股定理即可得到这个圆锥的高．
解： ，
优弧 所对圆心角为 ，
优弧 的长度为 ，利用阴影部分制作圆锥的母线 长为 ，底面半径 长为 ，如图所示：
这个圆锥的高为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查圆周角定理、弧长公式、圆锥的概念、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何知识，
理解扇形与圆锥的关系是解决问题的关键．
13．C
【分析】设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出n，然
后可判断三角形 为等边三角形，再利用等边三角形的性质求出 即可得．
解：由题意知，底面圆的直径 ，故底面周长等于 ．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 ，
解得 ，
所以展开图中 ，
因为半径 ，
故三角形 为等边三角形，
又∵D为 的中点，
所以 ，在直角三角形 中， ，
根据勾股定理求得 ，
所以蚂蚁爬行的最短距离为 ．故选：C．
【点拨】本题考查了圆锥的相关概念、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确理解题意、
掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
14．D
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再利用底面周长=展开图的弧长，圆锥的母线长=展开
图的扇形的半径，即可求解．
解：∵圆锥的底面半径 ，高 ，
∴圆锥的母线长 ，
设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为 ，则
，
解得： ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是确定底面周长=展开图的弧长这个等量
关系，然后设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为 ，由扇形的弧长公式和圆的周长公式列方程求值．
15．B
【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长得到 2 r，解方程求出r，然后求得直径即可．
π
解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r
根据题意得 2 r，
π
解得r＝1，
侧面积= ，
底面积=
所以圆锥的表面积= ，
故选：B．【点拨】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间
的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
16．
【分析】根据侧面积的公式： ，进行计算即可．
解：由题意，得： ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式，是解题的关键．
17．4
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
解：设底面半径为 ，
则底面周长 ，
圆锥的侧面积 ，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了圆锥的底面半径，利用圆锥侧面积公式求解是解题的关键．
18．4
【分析】圆锥的母线长、底面半径与高组成一个直角三角形，其中母线长为斜边，由勾股定理即可完
成．
解：由勾股定理得，圆锥的高为
故答案为：4
【点拨】本题考查了圆锥的母线、底面半径与高间的关系，用勾股定理是关键．
19． / 度
【分析】根据圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的
角度，把相关数值代入即可求解．
解：∵圆锥底面半径是 ，
∴圆锥的底面周长为 ，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为 ，∴ ，
解得： ，
∴圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角．掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是
解题的关键．
20．2：9
【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．
解：连接OD交OC于M．
由折叠的知识可得：OM＝ OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵且l ：l ＝1：3，
∴∠AOB＝80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
＝2πr，
∴r：i＝2：9．
故答案是2：9．
【点拨】本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想．
21．8
【分析】根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可得出结论．
解：设圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为 ，
由题意，得： ，
解得： ；即母线长为 ．
故答案为：8．
【点拨】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
22．2
【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
解：设此圆锥的底面半径为 ，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
，
故答案为 ．
【点拨】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．
23．120
【分析】圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式
即可求解．
解：圆锥侧面展开图的弧长是： ，
设圆心角的度数是 度．则
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，解题的关键是理解圆锥的母线长是
扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
24．10
【分析】根据圆锥的侧面积公式： ＝ ．即可求得
侧
解： ＝
侧
故答案为10
【点拨】根本考查了圆锥的侧面积公式： ＝ ，理解和牢记公式是解题的关键．
侧25．
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半
径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出
BP即可．
解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BC ＝8 ，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心π，以πAB为半径的扇形，弧长是l＝8 ，
π
设展开后的圆心角是n°，则 ，
解得： ，
即展开后∠BAC＝ ×180°＝90°，
AP＝ AC＝4，AB＝8，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，
圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就
是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
26．
【分析】根据题意可得，以直角边 所在的直线为轴，将 旋转一周，所得的图形为圆锥，利
用勾股定理求得圆锥底面半径 ，再根据圆锥的侧面积公式计算即可．
解：由题意可得，以直角边 所在的直线为轴，将 旋转一周，所得的图形为圆锥，如图，
∵圆锥的母线 ，圆锥底面半径 ，∴圆锥的侧面积为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键．
27．
【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．
解：设底面半径为 ，则 ，解得： ，
所以其高为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了圆锥的计算，首先求得圆锥的底面的半径是解题的关键．
28．1
【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后解关于r的方程即可．
解：设该圆锥的底面半径为r，根据题意得 ，
解得 ．
故答案为1．
【点拨】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
29． /90度
【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可．
解：∵圆锥母线长 ，底面圆半径 ，圆锥侧面展开图的圆心角 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键．
30．3【分析】连接 ，作 于点 ，根据题意，结合两点之间线段最短，得出 即为蚂蚁爬行
的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出 ，再根据直角三角形中 所对的直角边等于斜
边的一半，得出 ，再根据勾股定理，得出 ，再根据三线合一的性质，得出 ，再
根据线段之间的数量关系，得出 即可解答．
解：如图，连接 ，作 于点 ，
∴ 即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3
【点拨】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、
三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
31．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥母线l的长，再计算圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，然后计算20
个蒙古包所需毛毡的面积．
解：如图是一个蒙古包的示意图．根据题意，下部圆柱的底面积为 ，高 ；上部圆锥的高 ．
圆柱的底面圆的半径 ，
侧面积为 ．
圆锥的母线长 ，
侧面展开扇形的弧长为 ，
圆锥的侧面积为 ．
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡 ．
【点拨】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．注意在取近似值时需需面积应该用收尾法．
32．32π
【分析】本题中的体积是圆柱的体积+圆锥的体积，根据圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积
×高× ，把数据带入公式解答即可．
解：π×22×6+π×22×6×
=π×4×6+π×4×2
=π×4×8
=32π
答：组合图形的体积是32π．
【点拨】本题考查组合图形的体积．熟记圆锥的体积和圆柱的体积计算公式是解题关键．
33．（1）相等， ；（2） ；（3）【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出 之间的关系，进而即可求解；
（2）根据 ，即可求解；
（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为 ，进而根据勾股定理即可求解．
（1）解：圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：相等， ．
（2）由圆锥的底面周长等于扇形 的弧长
得：
∴
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为
∴
∵
∴
∴在 中， ，
∴彩带长度的最小值为【点拨】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的
关键．
34．（1）见分析；（2）① ；② ，
【分析】（1）首先连接 ，由 ，利用圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由
，即可求得 与 的度数，利用三角形外角的性质，求得 的度数，又由 ，
利用等边对等角，求得 ，则可求得 ，则可证得 是 的切线；
（2）①连接 ，先求得 ，再由（1）知 ，可求得
，则 ，又由（1）知： ， ， ，，
即可由 求解；
②先求出 长 ，再根据以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的周长等于 长
求解即可．
解：（1）证明：连接 ．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：①连接 ，如图，
∵ 为 的直径，
∴ ，
由（1）知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又由（1）知： ， ，
∵ ，
∴ ；
②由（1）知 ，
∵ ，
∴ 长 ，设以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径为r，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，扇形面积和弧长的计算
等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
35．（1）见分析；（2）见分析；（3）能，理由见分析
【分析】（1）过点 作 于点 ，勾股定理求得 可得 是 的半径，即可得证；
（2）作线段 的垂直平分线，交 于点 ，作直线 ，则 即为所求，根据作图可得
，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，即可求解；
（3）根据弧长公式求得 的长，继而求得圆锥的底面半径，连接 交 于点 ，过点 作
于点 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，则 与 相切，继而求得 的半径
，比较 与 的大小，进而比较 与圆锥底面半径的大小即可求解．
解：（1）证明：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，
∴ 是 的半径，
又 ，
∴ 是 的切线；
（2）如图，作线段 的垂直平分线，交 于点 ，作直线 ，则 即为所求，理由，∵ ，
∴
∴ 是直角三角形，且
∴ 是 的切线；
（3）解：∵
∴ ，
∴
则圆锥的底面圆的半径为
如图，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ， 交于点 ，过点 作 于点
，则 与 相切，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可知 之间的距离为 ，∴ ,
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴
设 的半径为 ，则 ，
∴
解得
∴ ,
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
又 ，
∴ ，即 ，
∵ ．
∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．
【点拨】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
36．（1）120°；（2）方案二所用的矩形铁皮面积较少
【分析】（1）先根据勾股定理求出母线长为60，然后根据圆锥侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长和弧长公式计算锥形漏斗的侧面展开图的圆心角；（2）如图1，矩形的一边长等于
母线长60，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OB，从而得到BC长，再计算矩形ABCD的面
积；如图2，矩形的一边长等于母线长60，再利用含30°的直角三角形三边的关系计算出OF，从而得到
CG长，再计算矩形EFGH的面积，然后比较两矩形的面积即可．
解： 圆锥的母线长 ，
设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为 ，
所以 ，解得 ，
即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为 ； 如图 ， ， ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴方案一所需的矩形铁皮的面积 ，
如图 ， ， ，
在 中，∵ ，
∴ ，∴ ，
∴方案二所需的矩形铁皮的面积 ，
∴方案二所用的矩形铁皮面积较少．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形半径等于圆锥的母线长.
