文档内容
24.4 弧长和扇形面积
一、教学目标
（1）掌握扇形的面积公式，会利用扇形的弧长公式进行有关的计算.
（2）了解圆锥的侧面展开图是一个扇形.
（3）了解圆锥侧面积、全面积的计算方法，并会运用公式解决问题.
二、教学重难点
（1）教学重点：弧长公式、圆锥及有关概念；
（2）教学难点：圆锥的侧面积和全面积；
知识点一：弧长公式
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为
l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)
例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为
l=nπr/180
=45×π×1/180
=45×3.14×1/180
约等于0.785
【提醒】
(1) 在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在公式计算时，“n”和“180”不应再写单位；
(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量，即三个量中知二可求一；
(3)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等
弧，要充分注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一.
例1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）A． B． C．2π D．
【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式= ，可得结果．
【解答】解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= = ，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
例2.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）A．2π B． C． D．
【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧 AC的长为
= ．
【解答】解：如图，连接CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC的长为 = ，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．
变式1.一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为 2 π cm．
【分析】根据弧长公式可得结论．
【解答】解：根据题意，扇形的弧长为 =2π，故答案为：2π
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
变式2.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为 9 cm．
【分析】根据弧长公式L= 求解即可．
【解答】解：∵L= ，
∴R= =9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L= ．
知识点二：扇形与扇形的面积公式
1.扇形的定义
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然，
它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两
边和这两边所截一段圆弧围成的图形。
2.扇形的面积公式
①角度制计算
,其中 l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。
②弧度制计算
，其中l是弧长，|α|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值，R是扇形半径。
【提醒】
（1）对于扇形的面积公式与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看作一个曲边三角形，吧弧长l
看做底边，R看做高，这样对比，便于记忆，也便于应用，实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的
极限.
（2）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量.
例1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是 6 π cm2．
【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，
∴ =3π，
解得：R=4，
所以此扇形的面积为 =6π（cm2），
故答案为：6π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关
键．
例2.已知扇形的弧长为2πcm，圆心角为120°，则扇形的面积为 3 π cm2．
【分析】首先运用弧长公式求出扇形的半径，运用扇形的面积公式直接计算，即可解决问题．
【解答】解：设该扇形的弧长为λ，半径为μ，圆心角为α°，
则 ，而α=120，
解得：μ=3，
∴该扇形的面积= =3π（cm2），
故答案为3π．
【点评】该题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式等知识点及其应用问题；应牢固掌握扇形的面积公式、弧长公式，这是灵活运用、解题的基础和关键．
变式1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）
A． 2 B． C．πm2 D．2πm2
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出
即可．
【解答】解：
连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC= m，
∴阴影部分的面积是 = （m2），
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
变式2．如图，在 ▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）A．π B．2π C．3π D．6π
【分析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵在 ▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，
∴∠C=120°，
∴图中阴影部分的面积是： =3π，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计
算公式解答．
知识点三：圆锥及有关概念
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点
的线段叫做圆锥的母线.
【提醒】
圆锥的特征：
（1）底面的特征：圆锥的底面都是一个圆。（2）侧面的特征：圆锥的侧面是曲面。
（3）高的特征：一个圆锥只有一条高。
（4）母线的特征：圆锥母线的长度大于圆锥的高。
圆锥的底面半径r，高h和母线l构成了一个直角三角形，由勾股定理可得，半径的平方+高的平方=母
线的平方.
点拨方法：判断一个图形是圆锥的条件：①底面是一个圆；②侧面是一个曲面，③只有一条条高；④有一
个顶点。
例1.说一说下面哪些是圆锥
例2.
1、判断
（1）圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。（ ）
（2）从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫做圆锥的高。（ ）
（3）圆锥从正面或侧面看，都是一个等腰三角形。（ ）
2、下面图形中是圆锥的在括号里打“√”，不是的打“×”。
（1）（ ） （2）（ ） （3）（ ） （4）（ ） （5）（ ）
变式1.下面各图标出圆锥的高正确吗？为什么？变式2.下列对高的测量正确的是（ ）
A B C
拓展点一：弧长公式的应用
例1.如图，A，B，P是半径为2的⊙上的三点，∠APB=45°，则 的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°，
∴ 的长为 =π，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理和弧长公式，能求出∠AOB的度数是解此题的关键．例2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，⊙O的半径为6，则 的长等于（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【分析】根据圆周角得出∠AOB=60°，进而利用弧长公式解答即可．
【解答】解：∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴ 的长= ，
故选：B．
【点评】此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出∠AOB=60°．
例3.如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BAC=36°，且⊙O的半径为1，则劣弧BC的长是（ ）
A． π B． π C． π D． π
【分析】连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧 BC的圆心角的度数，
然后利用弧长计算公式求解即可．
【解答】解：连接OB，OC，则∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
故劣弧BC的长是 ．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算公式以及圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键，难度一般．
变式1.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ ．
【点评】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
拓展点二：扇形面积公式的应用
例1.如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，
∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，
∵DE=DC，
∴∠C=∠DEC=20°，
∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S = = π．
扇形DBE故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=
．
例2.如图，正方形ABCD内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16
【分析】连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2 ，根据阴影部分的面积=S ﹣S
⊙O 正方形
列式计算可得．
ABCD
【解答】解：连接OA、OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴OA=ABcos45°=4× =2 ，
所以阴影部分的面积=S ﹣S =π×（2 ）2﹣4×4=8π﹣16．
⊙O 正方形ABCD
故选：B．
【点评】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．
变式1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB=2，AC= ．（1）求∠A的度数．
（2）求弧CBD的长．
（3）求弓形CBD的面积．
【分析】（1）根据题意可以求得BC的长和∠ACB的度数，从而可以求得∠A的度数；
（2）根据（1）中的结果可以求得∠COD的度数，从而可以求得弧CBD的长；
（3）根据图形可知，弓形CBD的面积等于扇形CBD与△COD的面积之差，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）连接BC，BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=2，
AC= ，
∴BC=1，
∴∠A=30°；
（2）连接OC，OD，
∵CD⊥AB、AB是直径，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∴∠COD=120°，
∴弧CBD的长是： ；（3）∵OC=OA=1，∠BOC=60°，
∴CP=OC•sin60°=1× = ，OP=OC•cos60°= ，
∴CD=2CP= ，
∴弓形CBD的面积是： ．
【点评】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、弧长计算，解答本题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
拓展点三：阴影部分的面积的计算
例1.如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD
的长，再根据S =S ﹣S 进行计算即可．
阴影 扇形OAB △AOB
【解答】解：过点O作OD⊥AB，
∵∠AOB=120°，OA=2，
∴∠OAD= =30°，∴OD= OA= ×2=1，AD= = = ．
∴AB=2AD=2 ，
∴S =S ﹣S = ﹣ ×2 ×1= ﹣ ．
阴影 扇形OAB △AOB
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S =S ﹣S 是解答此题的
阴影 扇形OAB △AOB
关键．
例2.已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．
（1）求DE的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE，根据中点的性质出去OD，根据勾股定理求出DE；
（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）连接OE，
∵D是CO的中点，⊙O的半径为6cm，
∴OD= OC=3cm，∵OC⊥AB，DE∥AB，
∴∠ODE=90°，
∴DE= =3 ；
（2）∵OD= OC，∠ODE=90°，
∴∠OED=30°，
∴∠DOE=60°，
∴图中阴影部分的面积= ﹣ ×3 ×3=6π﹣ （cm2）．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握垂径定理、扇形面积公式是解题的关键．
拓展点四：圆锥的有关计算
例1.求下列圆锥的体积。（单位：cm）
例2.一个扇形纸片的半径为30，圆心角为120°．
（1）求这个扇形纸片的面积；（2）若用这个扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径．
【分析】（1）直接利用扇形的面积公式计算即可；
（2）根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【解答】解：（1）∵扇形纸片的半径为30，圆心角为120°，
∴扇形的面积为 =300π；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
则2πr= ，
解得：r=10，
故圆锥的底面半径为10．
【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是牢固掌握扇形的面积公式和弧
长公式，难度不大．
拓展点五：运动型问题
例1.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，△ABC绕AC边旋转一周得到一个圆锥体，求圆锥体的
全面积．
【分析】先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上底面积可得到圆
锥的侧面积．
【解答】解：AB= =10，
所以△ABC绕AC边旋转一周得到的圆锥体的母线长为10，底面圆的半径为8，
所以此圆锥的侧面积= •2π•8•10=80π，底面的面积=π•82=64π，
所以圆锥体的全面积=80π+64π=144π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
