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第 08 讲 圆锥的认识与计算
课程标准 学习目标
①圆锥的认识 1. 认识圆锥以及相关概念。
②圆锥的侧面积 2. 掌握圆锥的侧面积计算公式并运用。
③圆锥的全面积 3. 掌握圆锥的全面积公式并应用。
知识点01 圆锥的认识
1. 圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个 和一个 构成。顶点C到底面圆上
任意一点的连线是圆锥的 ，如的CA与CB。AB是圆锥 ，
顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 。
2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成 。
即：如图： 。
题型考点：①利用三者之间的关系计算。
【即学即练1】
1．一个圆锥的底面半径为10cm，母线长为20cm，求圆锥的高是 。
知识点02 圆锥的侧面展开图与侧面积
1. 圆锥的侧面展开图的认识：圆锥的侧面展开图是一个 ，这个扇形的半径等于圆
锥的 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 。
2. 圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为
，弧长等于底面圆周长等于： ，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：
。
方法 2：圆锥的母线长为 a，侧面展开图的圆心角为 n°。则侧面展开图的扇形面积为：
。
题型考点：①圆锥侧面积的计算。②侧面积公式的应用。
【即学即练1】
2．圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 （结果保留 ）．
【即学即练2】
π
3．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为 cm2．
【即学即练3】
4．如图，圆锥的底面半径OB＝6，高OC＝8，则圆锥的侧面积等于 •
【即学即练4】
5．圆锥的侧面积为8 ，母线长为4，则它的底面半径为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
π
【即学即练4】
6．若圆锥的侧面积是15 ，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是 ．
知识点03 圆锥的全面积（表面积）计算
π
1. 圆锥的表面积计算：
圆锥的侧面是一个扇形，底面是一个圆。所以：
圆锥的表面积＝ 圆锥的侧面积 ＋ 圆锥的底面积 。
题型考点：①圆锥的表面积的计算。
【即学即练1】
7．已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为90cm，则圆锥的表面积是 cm2．（结果保留 ）
【即学即练2】
π
8．扇形的圆心角为150°，半径为4cm，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm2．
【即学即练3】9．已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12cm，另一条直角边BC＝5cm，则以AB为轴旋转一周，所得
到的圆锥的表面积是（ ）
A．90 cm2 B．209 cm2 C．155 cm2 D．65 cm2
π π π π
题型01 圆周侧面积的计算
【典例1】
已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【典例2】
π π π π
圆锥的高为 ，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆
锥的侧面积是 （结果用含 的式子表示）．
【典例3】
π
已知圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）cm2．
A．130 B．120 C．65 D．60
【典例4】
π π π π
已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何
体，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．24
π π π π
题型02 圆锥的表面积计算
【典例1】
已知圆锥的母线是3cm，底面半径是1cm，则圆锥的表面积是 cm2．
【典例2】
如图，圆锥的底面直径AB＝6cm，OC＝4cm，则该圆锥的表面积是 cm2（结果保留 ）．
π
【典例3】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的
几何体的表面积为 ．
【典例4】
如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出
扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A．4 cm2 B．5 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
π π π π
题型03 底面圆的半径计算
【典例1】
如果圆锥侧面展开图的面积是15 ，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
π
【典例2】
将半径为4，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【典例3】
如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）A．4 B．2 C．4 D．2
【典例4】
π π
如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么
这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A． B． C． D．1
题型04 圆锥的高线的计算
【典例1】
已知圆锥的母线长13cm，侧面积65 cm2，则这个圆锥的高是 cm．
【典例2】
π
圆锥的侧面展开图是一个圆心角120°，半径6cm的扇形，则该圆锥的高是（ ）
A．1cm B．2cm C． cm D． cm
【典例3】
如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65 cm2，扇形的弧长为10 cm，则圆锥的高是（ ）
π π
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm
题型05 圆锥的母线长的计算
【典例1】
已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是85 cm2，则圆锥的母线长是（ ）
A．6.5cm B．13cm C．17cm D．26cm
π
【典例2】
圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长是 ．
【典例3】
如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB为半径作 A，与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰
好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为（ ）
⊙A． B． C． D．
1．圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．12
2．已知圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
π π π π
A．60 cm2 B．65 cm2 C．120 cm2 D．130 cm2
3．某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这个圆
π π π π
锥的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r＝1 cm，扇形的圆
心角 ＝120°，则该圆锥的母线长l为（ ）
θA．1cm B．12cm C．3cm D．6cm
5．现有一张圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则
该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．如图，Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以BC边所在直线为轴将这个三角形旋转一
周，得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积为（ ）
A．65 cm2 B．90 cm2 C．156 cm2 D．300 cm2
π π π π
7．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为
R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝ r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
8．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出
扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
9．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线 AB＝5米，半径OB＝4米，则圆锥的侧面积
是 平方米（结果保留 ）．
π
10．有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成
一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r＝ ．
11．已知一个圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，则其侧面展开图的圆心角为 °．
12．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2， ，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形
AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
13．在半径为 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．14．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰
三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料
的顶角∠BAC＝90°．
（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留
）
π
15．如图，AB是 O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接
EO、FO，若D⊙E＝4 ，∠DPA＝45°
（1）求 O的半径．
（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．
⊙
