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第 22 章 二次函数能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
2
A．y=2x+3 B．y=x2-x(x-1) C．y=x2-x+1 D．y=-
x2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义进行判断即可：一般的，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常
数，且a≠0）的函数叫做二次函数．
【详解】A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y=x2-x(x-1)=x，函数是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，正确理解二次函数的一般形式是解题的关键．
2．二次函数y=-(x+2) 2+6图象的顶点坐标是（ ）
A．(2,6) B．(-2,6) C．(2,-6) D．(-2,-6)
【答案】B
【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
【详解】∵二次函数y=﹣(x+2)2+6，
∴该函数的顶点坐标为(﹣2，6)，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y=a(x-h) 2+k的顶点坐
标是(h，k)，对称轴是x=h．
3．关于抛物线y＝x2﹣2x，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线经过原点
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该二次函数的最小值是0D．当x＜0时，y随x增大而减小
【答案】C
【分析】令x=0，求得y的值判断A，将抛物线的解析式化为顶点式，得到函数图象的对
称轴和顶点坐标判断B和C，然后结合开口方向得到函数的增减性判断D．
【详解】解：A、令x=0，y=0，故选项正确，不符合题意；
B、∵y=x2-2x=(x-1) 2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,-1)，故选项正确，不符合题意；
C、∵函数图象开口向上，
∴函数的最小值为-1，故选项C错误，符合题意；
D、当x<1时，y随x的增大而减小，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，
解题的关键是会将二次函数的解析式化为顶点式得到二次函数的性质．
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．方程ax2+bx+c=0的解为x =1，x =3
1 2
C．抛物线对称轴为直线x=2 D．抛物线与y轴交点坐标为(0,2)
【答案】D
【分析】根据图象可得开口方向、与y轴交点坐标、与x轴的交点坐标，由此可求对称轴和
对应方程的解．
【详解】A.由图象得：抛物线开口向上，故此结论正确；
B.由图象得：与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以方程ax2+bx+c=0的解为x =1，
1
x =3，故此结论正确；
2
C.3-x=x-1，解得x=2，所以抛物线对称轴为直线x=2，故此结论正确；
D.由图象得：顶点坐标为(2,-1)，可设y=a(x-1)(x-3)，-1=a(2-1)(2-3)，解得a=1，
∴y=x2-4x+3抛物线与y轴交点坐标为(0,3)，故此结论错误．故选：D．
【点睛】本题考查了由二次函数的图象获取开口方向、与坐标轴交点坐标和对称轴问题，
正确获取信息，理解二次函数与坐标轴的交点坐标，与对应方程之间的关系，会求对称轴
是解题的关键．
5．函数y=ax2+bx+3．当x=1与x=2018时，函数值相等，则当x=2019时，函数值等
于（ ）
3 3
A．－3 B．- C． D．3
2 2
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性可得x=2019与x=0的函数值相等，由此可得结果．
【详解】解：∵当x=1与x=2018时，函数值相等，故该函数为二次函数，
1+2018 2019
∴对称轴为：x= - =-
2 2
∴x=2019与x=0的函数值相等，
∵当x=0时，y=3，
∴当x=2019时，y=3，
故选：D．
【点睛】题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，理解二次函数的对称性是解答此题
的关键．
6．如图，若抛物线y=x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，则抛物线与x轴的另一
个交点坐标为（ ）
A．(1,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
【答案】C
【分析】根据图象的对称性求解即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题，会利用抛物线的对
称性求解是解答的关键．
7．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+1) 2，则这个平移过程是（ ）
A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
【答案】C
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．
【详解】解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+1）2，则这个平移过程正确的是向左平
移了1个单位，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下
减．
8．已知关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（
）
3 3 3 3
A． B． 或2 C． 或6 D． 或2或6
2 2 2 2
【答案】C
【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h＜1、h＞3三种情况，由函数的最小值列出关
于h的方程，解之可得．
【详解】∵y=(x-h) 2+3中a=1＞0，
∴当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；
①若1≤h≤3，
则当x=h时，函数取得最小值2h，即3=2h，
3
解得：h= ；
2
②若h＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，
即(1-h) 2+3=2h，
解得：h=2＞1（舍去）；③若h＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，
即(3-h) 2+3=2h，
解得：h=2（舍）或h=6，
3
综上，h的值为 或6，
2
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解
题的关键．
9．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≤1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义得到k≠0；根据一元二次方程kx2-2x-1=0的根的判别式
的符号列出不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y＝kx2-2x-1与x轴有交点，
方程kx2-2x-1=0有根的判别式为：
∴△=(-2) 2-4k×(-1)≥0且k≠0，
解得k≥-1且k≠0，
故选：D．
【点睛】题目二次函数与一元二次方程的关系，理解二者交点与根的关系是解题关键．
10．已知点A(-1,y ),B(2,y )在抛物线y=3x2上，则y ,y 的大小关系正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】分别把A(-1,y ),B(2,y )代入解析式求解．
1 2
【详解】把A(-1,y )代入y=3x2得y =3，
1 1
把B(2,y )代入y=3x2得y =12，
2 2
∵3<12，
∴y -8a，
②若实数m≠-1，则a-b0，
④当y>-2时，x ⋅x >0，
1 2
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
【答案】A
【分析】先根据抛物线对称轴求出b=2a，再由抛物线开口向上，得到a>0，则
b2+8a=4a2+8a>0由此即可判断①；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判
断②；根据当x=1时，y=a+b-2<0，即可判断③；根据y>-2时，直线l与抛物线的两
个交点分别在y轴的两侧，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是x=-1，
b
∴- =-1，
2a
∴b=2a，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴b2+8a=4a2+8a>0，∴b2>-8a，故①正确；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，y =a-b-2，
最小值
∴当实数m≠-1，则a-b-2-2，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴x ⋅x <0，故④错误；
1 2
综上可知，正确的有①②
故选A．
【点睛】本题主要考查根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间
的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
12．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac>0）的函数叫做“鹊
桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y=|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列
结论正确的是（ ）
A．bc<0
B．c=3
C．当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，则m=1
D．关于x的方程|x2+bx+c|=3的所有实数根的和为4
【答案】D【分析】由(-1，0)，(3，0)是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得b、c的值
可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3，利
用根与系数的关系可判断D正确．
【详解】解：∵(-1，0)，(3，0)是函数图象和x轴的交点，
∴¿，
解得：¿，
∴bc=(-2)×(-3)=6>0，
故A、B错误；
如图，当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，
故C错误；
关于x的方程|x2+bx+c|=3，即x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3，
-2
当x2-2x-3=3时，x +x =- =2，
1 2 1
-2
当x2-2x-3=-3时，x +x =- =2，
3 4 1
∴关于x的方程|x2+bx+c|=3的所有实数根的和为2+2=4，
故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答
是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．经过A(1,4),B(-2,1)两点，对称轴为直线x=-1的抛物线的解析式为 ．【答案】y=x2+2x+1
【分析】根据已知条件得到¿解出a，b，c即可；
【详解】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意，得¿
解得¿
则抛物线的解析式为y=x2+2x+1．
故答案为：y=x2+2x+1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解，准确计算是解题的关键．
14．已知函数y＝（2﹣k）x2+kx+1是二次函数，则k满足 ．
【答案】k≠2
【分析】利用二次函数定义可得2﹣k≠0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：2﹣k≠0，
解得：k≠2，
故答案为：k≠2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
15．已知抛物线y＝x2，把该抛物线沿x轴方向向右平移，使平移后的抛物线经过点A（1，
4），那么平移后的抛物线的表达式是 ．
【答案】y=(x-3) 2
【分析】可设所求的函数解析式为y=(x-k) 2 ，把A坐标代入可得平移后的抛物线．
【详解】解：设抛物线沿x轴方向向右平移k个单位，则k>0
设所求的函数解析式为y=(x-k) 2，
∵点A（1，4）在抛物线上，
∴4=(1-k) 2
解得：k=-1（舍去），k=3
∴平移后的抛物线的表达式是 y=(x-3) 2．
故答案为：y=(x-3) 2．
【点睛】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：左右平移不改变二次项系数及顶点的纵坐标，只改变顶点的横坐标，左加右减．
16．已知二次函数y=x2-(2m+1)x-3m，在-2≤x≤3上有最大值6，则m的值为
．
【答案】0
【分析】分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到关于m的方程，解方程求得m的值，
看是否符合题意即可．
【详解】解：∵y=x2-(2m+1)x-3m，a=1>0，
2m+1
∴对称轴为：x= ，抛物线开口向上，
2
2m+1 5
①当 >3，即m> 时，
2 2
可得x=-2时，y取最大值6，
∴4+2×(2m+1)-3m=6
∴m=0（舍去）；
2m+1 5 5
②当-2≤ ≤3，即- ≤m≤ ，
2 2 2
若x=-2，y取最大值6，
∴4+2×(2m+1)-3m=6，
解得m=0；
若x=3时，y取最大值6，
∴9-3×(2m+1)-3m=6，
解得：m=0；
2m+1 5
③当 <-2，即m<- 时，
2 2
可得x=3时，y取最大值6，
∴9-3×(2m+1)-3m=6，
解得：m=0（舍去），
综上：m的值为0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
17．将抛物线y=-2x2+4x-2向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，得到新的抛物
线的顶点坐标为 ．
【答案】(3,3)【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】解：抛物线y=-2x2+4x-2=-2(x-1) 2，则它的顶点坐标为(1,0)，
将抛物线y=-2x2+4x-2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线
y=-2(x-3) 2+3．
此时抛物线顶点坐标是(3,3)．
故答案为：(3,3)．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上
加下减．并用规律求函数解析式．
18．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水
面下降3米时，水面宽度增加了 米．（结果保留根号）
【答案】(6❑√2-6)
【分析】本题考查的是二次函数的应用．建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析
式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．
【详解】建立平面直角坐标系如图：
则抛物线顶点C坐标为(0，3)，
设抛物线解析式y=ax2+3，
将A点坐标(-3，0)代入，可得：0=9a+3，
1
解得：a=- ，
31
故抛物线解析式为y=- x2+3，
3
当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-3时，对应的抛物线上两点之间的距离，
也就是直线y=-3与抛物线相交的两点之间的距离，
1
将y=-3代入抛物线解析式得出：-3=- x2+3，
3
解得：x=±3❑√2，
所以水面宽度为6❑√2米，
∴水面宽度增加了(6❑√2-6)米．
故答案为：(6❑√2-6)．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知二次函数y=x2-4x+3．
(1)求它的顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；
(3)当0≤x≤3时，y的取值范围是 ___________．
【答案】(1)(2,-1)
(2)见解析
(3)-1≤ y≤3
【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到二次函数的顶点坐标；
（2）求出二次函数与x轴的交点坐标，再确定二次函数与y轴的交点坐标，然后利用描点
法画出二次函数的图象即可；（3）结合二次函数的图象，写出当0≤x≤3时对应的y的取值范围即可．
【详解】（1）∵y=x2-4x+3=(x-2) 2-1，
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1)；
（2）当y=0时，x2-4x+3=0，解得x =1，x =3，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；
当x=0时，y=x2-4x+3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)，
如图，
（3）由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是-1≤ y≤3．
故答案为：-1≤ y≤3．
【点睛】本题考查了二次函数的形式转化及二次函数的性质，熟记配方法和利用顶点式解
析式求对称轴及顶点坐标是解答本题的关键．
20．（8分）已知二次函数y=x2+mx+m-2．
(1)求证：无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
(2)若此函数图象与x轴的一个交点为（-3，0），求此函数图象与x轴的另一个交点坐标．
1
【答案】（1）见解析；（2）与x轴的另一个交点坐标为（- ，0）
2
【分析】（1）求出∆的值，根据∆的取值范围即可证明函数图象与x轴总有两个交点；
7 3
（2）把代入求出m的值，然后解方程x2+ x+ =0即可求出与x轴的另一个交点坐标．
2 2
【详解】（1）证明：由题意可得：
=m2﹣4（m-2）m
△=（m-2）2+4＞0，
故无论m为任何非零实数，此函数图象与x轴总有两个交点．
（2）解：∵二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴的一个交点为（-3，0），7
求得：m= ．
2
7 3
∵二次函数的解析式为：y=x2+ x+ ，
2 2
7 3 1
∴当y=0时，x2+ x+ =0，解得：x=-3，x= - ，
2 2 1 2 2
1
∴与x轴的另一个交点坐标为（- ，0）．
2
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题．当 =0时，二次函数与x轴有一个
交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当 >0时，二△次函数与x轴有两个交点，一元
二次方程有两个不相等的实数根；当 <0时，△二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没
有实数根． △
21．（8分）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：
1
h=v t- gt2 （h是物体离起点的高度，v 是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛
o 2 0
出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．
(1)1.2秒时球离起点的高度是多少？
(2)几秒后球离起点的高度达到2.55m？
【答案】(1)1.2秒时球离起点的高度是4.8m；
(2)0.3秒或1.7秒后球离起点的高度达到2.55m．
【分析】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数
关系式中求解即可．
（1）把t=1.2代入即可求解；
（2）把h=2.55代入求t即可．
1
【详解】（1）解：由题意，将g=10，v =10分别代入函数关系式h=ν t- gt2 ，
0 0 2
得h=-5t2+10t，
当t=1.2时，代入解得h=-5×1.22+10×1.2=4.8，
∴1.2秒时球离起点的高度是4.8m；
（2）解：当h=2.55时，2.55=-5t2+10t，
解得t =1.7，t =0.3．
1 2
故0.3秒或1.7秒后球离起点的高度达到2.55m．22．（8分）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15 m）的空地上修建一个矩形花园
ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长40 m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的AB
边长为x m，花园的面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到50m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
(3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
【答案】(1)y=-2x2+40x，12.5≤x<20
(2)x=15时，花园的面积能达到150 m2
(3)x=12.5时，y的最大值为187.5 m2
【分析】对于（1），先表示BC，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取
值范围；
对于（2），令y=150，求出解即可；
对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知AB为x米，则BC=(40-2x)m
∴y=x(40-2x)=-2x2+40x
因为墙长15 m.
∴¿，
自变量的取值范围是12.5≤x<20；
（2）此花园面积能达到150 m2，理由如下：-2x2+40x=150，
解得x=5（舍），x=15，
x=15时，花园的面积能达到150 m2 ；
（3）y=-2x2+40x，
40
∵-2<0，x=- =10，
2×(-2)
当12.5≤x<20,y随x的增大而减小，
∴x=12.5时，y的最大值为187.5 m2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键．
23．（10分）某酒店有A、B两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营
业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增
加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额
W最大，最大营业额为多少元？
【答案】(1)A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为为120元；
(2)当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．
【分析】（1）设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元，根据题意，列出
方程组即可求解；
（2）设A种客房每间定价为a元，根据题意，列出W与a的二次函数解析式，根据二次函
数的性质即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程
组和二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元，
由题意可得，¿，
解得¿，
答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为为120元；
（2）解：设A种客房每间定价为a元，
则W = ( 24- a-200) a=- 1 a2+44a=- 1 (a-220) 2+4840，
10 10 10
1
∵- <0，
10
∴当a=220时，W取最大值，W =4840元，
最大值
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840
元．
24．（10分）已知：如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的各边上，且
AE=AH=CF=CG．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB=6，∠A=60°．
①设BE=x，四边形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式；
②x为何值时，四边形EFGH的面积S最大？并求S的最大值．
【答案】（1）证明见解析（2）①S=-❑√3x+6❑√3x②当x=3时，四边形的面积最大为
9❑√3
【详解】分析：(1)、首先利用菱形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA，然后根
据AE=AH=CF=CG，得到BE=BF=DH=DG，从而证得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，证得四边
形EFGH是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形EFGH是
矩形；(2)、①过点B作BN⊥EF于点N，根据题意得出NE和EF的长度，然后根据∠A=60°，
AE=AH得出△AEH为等边三角形，从而得出函数关系式；②根据二次函数的性质求出面积
的最大值．
详解：(1)、∵四边形ABCD是菱形， ∴
AB=BC=CD=DA,∠A=∠C,∠A+∠B=180∘.
∵AE=AH=CF=CG， ∴ΔAEH≅ΔCFG. ∴EH=FG. 同理：EF=HG.
所以四边形EFGH是平行四边形. 又∵AB=BC,AE=CF， ∴BE=BF .
∴∠BEF=∠BFE. ∵AE=AH， ∴∠AEH=∠AHE.
∵∠A+∠AEH+∠AHE+∠B+∠BEF+∠BFE=360∘，
∴∠AEH+∠AHE+∠BEF+∠BFE=180∘. ∴∠AEH+∠BEF=90∘. ∴∠FEH=90∘.
∴四边形EFGH是矩形.
❑√3x
(2)、①过点B作BN⊥EF于点N，根据题意可得：NE= . ∴EF=❑√3x，∵
2
∠A=60∘,AE=AH，
∴ΔAEH是等边三角形. ∴EH=AE=6-x， ∴S=❑√3x(6-x)=-❑√3x+6❑√3x.
②S=-❑√3(x-3) 2+9❑√3. 当x=3时，S =9❑√3.
最大所以当x=3时，四边形的面积最大为9❑√3.
点睛：本题主要考查的是菱形的性质、矩形的判定定理以及二次函数的性质，属于中等难
度题型．解决这个问题的关键就是得出△AEH为等边三角形．
25．（10分）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航
抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两
条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两
条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点H距离地面22米，喷
水口A，B点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
(1)请写出经过A，B，H三点的抛物线的函数表达式．
(2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱
的相遇点距离地面多少米？
(3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？
1
【答案】(1)y=- x2+20
50
(2)消防车后退10米后两条水柱相遇点H'距地面20米
(3)消防车后退10米后两条水柱相遇点H'距地面10米
【分析】本题考查二次函数的实际应用；
（1）根据题干的平面直角坐标系，给出点H、B的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的
解析式为y=ax2+c，将点H、B的坐标代入解析式求出解析式；
（2）根据题意利用平移的规律给出经过点B'，H'的抛物线解析式，得出H'的纵坐标即可解题；
（3）根据题意设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退m (m>0)米，则经过点B'，H'
1
的抛物线的解析式为y=- (x-10-m) 2+22，将(0,14)代入解析式，解方程，即可求解．
50
【详解】（1）解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为y=ax2+c，
1
根据题意得H(0,22)，B(30,4)，将其代入y=ax2+c得：c=22，解得a=- ，
50
1
∴y=- x2+22，
50
1
（2）∵经过点B'，H'的抛物线是由抛物线y=- x2+20向右平移得到的，
50
∴经过点B'，H'的抛物线的顶点为(10,22)，
1
∴经过点B'，H'的抛物线的解析式为y=- (x-10) 2+22，
50
1 1
将x=0代入，y=- (x-10) 2+22得，y=- (0-10) 2+22=20，
50 50
∴消防车后退10米后两条水柱相遇点H'距地面20米．
（3）解：设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退m (m>0)米，则经过点B'，H'的抛物
1
线的解析式为y=- (x-10-m) 2+22，
50
1
将(0,14)代入，y=- (x-10-m) 2+22
50
1
即14=- (-10-m) 2+22，
50
解得：m=-30（舍去）或m=10
∴消防车再分别后退10米后两条水柱相遇点H'距地面14米．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于
A、B两点，与y轴交于C(0,3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)．点P是抛物线上
一个动点，且在直线BC的上方．(1)求这个二次函数及直线BC的表达式．
(2)过点Р作PE垂直于BC交直线BC于点E，求PE的最大值．
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角
形，且∠NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标，并选取一种情况证明；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，y=-x+3
9
(2) ❑√2
8
3-❑√13 1+❑√13 1+❑√21 ❑√21-3 1-❑√21 -❑√21-3
(3)（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（
2 2 2 2 2 2
3+❑√13 1-❑√13
， ）
2 2
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；
（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，则△PED是等腰直角三角形，即当PD最大时，
PE最大，设动点P的坐标为（x，-x2+2x+3），则点D的坐标为（x，-x+3），PD＝
-x2+3x，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴
交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，证明 MEN≌ OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，设
点M坐标为（1，a），可得NE＝MF＝a，△则N（1△-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解
析式求出a的值，可得此时点N的坐标；②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，③
当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，
同理可求点N的坐标．
【详解】（1）解：把点B，点C的坐标代入解析式y=-x2+bx+c中，
得：¿，解得：¿，
∴二次函数得表达式为y=-x2+2x+3；
设BC的函数表达式为y=kx+b ，
1
把点B，点C的坐标代入可得：¿，
解得：¿，
∴直线BC的函数表达式为：y=-x+3；
（2）如图，过点P作PD∥y轴交BC于点D，
则△PED是等腰直角三角形，即当PD最大时，PE最大，
∵PD∥y轴，
∴点P和点D的横坐标相同，
设动点P的坐标为（x，-x2+2x+3），则点D的坐标为（x，-x+3），
PD= -x2+2x+3-(-x+3)= -x2+3x=- ( x2-3x+ 9) + 9 =- ( x- 3) 2 + 9 ，
4 4 2 4
3 9
当x= 时，PD有最大值 ，
2 4
❑√2 ❑√2 9 9
这时，PE= PD= × = ❑√2，
2 2 4 8
（3）分情况讨论：
①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N
作NE⊥MF于点E，
∵△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO为直角，
∴NM=MO，∠NMO=90°，
∴∠NME＋∠OMF=90°，
∵∠NME＋∠MNE=90°，
∴∠MNE=∠OMF，
又∵∠MEN=∠OFM=90°，∴△MEN≌△OFM(AAS)，
∴OF=EM，MF=NE，
2
∵二次函数y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=- =1，
-2
∴OF=EM=1，
设点M坐标为(1，a)，则NE=MF=a，
∴N(1-a，1+a)，
∵点N在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴1+a=-(1-a) 2+2(1-a)+3，
整理得：a2+a-3=0，
-1+❑√13
解得：a= ，负值舍去，
2
3-❑√13 1+❑√13
∴N（ ， ），
2 2
②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，
1+❑√21 ❑√21-3
同理可得：点N坐标为（ ， ）；
2 2
③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，
1-❑√21 -❑√21-3
同理可得：点N坐标为（ ， ）；
2 2
④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，
3+❑√13 1-❑√13
同理可得：点N坐标为（ ， ）；
2 2
3-❑√13 1+❑√13 1+❑√21 ❑√21-3 1-❑√21
综上，点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ，
2 2 2 2 2
-❑√21-3 3+❑√13 1-❑√13
）或（ ， ）．
2 2 2【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图
象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐
标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键．
