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第22 章 二次函数（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或 B．0或1 C． D．1
2．已知二次函数 在 时有最小值 ，则 （ ）
A． 或 B．4或 C． 或 D．4或
3．在同一坐标系中，一次函数 与二次函数， 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，抛物线 经变换后得到拋物线 ，则这个变换可以
是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向上平移2个单位
C．向右平移2个单位 D．向下平移2个单位
5．已知点 ， ， 都在函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线 与 轴的一个交点为 ，则它与 轴的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．不能确定，与 的值有关
7．当 时，二次函数 的最小值为8，则a的值为（ ）A． 或5 B．0或6 C． 或6 D．0或5
8．抛物线 与x轴交于 ， 两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与
x轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．抛物线 与 轴交于A， 两点，点A在点 左侧，且 ， 为 轴正半
轴上一点，抛物线与 轴交于点 ，点C和点 关于 轴对称．当抛物线 在直线 的上
方时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
10．如图，分别过点 作 轴的垂线，交 的图象于点 ，交直线 于点
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．抛物线 的顶点坐标是 ．
12．点 在函数 的图象上，则代数式 的值等于 ．13．已知抛物线 ，对任意的自变量 都有 ，若该抛物线过点
， ，且 ，则 的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系中，二次函数 过点 ， ，直线 与抛物线
交于 ， 两点，取 中点 ，则 的横坐标为 ．
15．已知关于 的方程 的两个根分别是 ，若点 是二次函数
的图象与 轴的交点，过 作 轴交抛物线于另一交点 ，则 的长为 ．
16．如图，已知抛物线 的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点 和点B，与y
轴的负半轴交于点C，且 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的有 ．
17．已知抛物线 与直线 分别交于A，C两点，直线 与直线 关于抛物线的
对称轴对称，且直线 与抛物线分别交于B，D两点，其中A，D两点在x轴上方，B，C两点在x轴下
方．若 ，则m的值为 ．
18．如图抛物线 与直线 相交于点A，B，与y轴交于点 ，若 为直角，则
当 时自变量x的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知，如图：直线 过x轴上的点 ，且与抛物线 相交于B，C两点，点B
的坐标为 ．
（1）求直线 和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点D，使得 ，求点D的坐标．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，直线 经过 、 两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求点 的坐标及直线 的表达式．
（3）在直线 上方的抛物线上存在一动点 ，过 点作 轴，交 于 点，请求出线段
的最大值．21．（10分）如图，已知抛物线 ，点P是第一象限内抛物线上一个动点，作 轴于点
A，点B是第一象限内抛物线上的另一个点（点B在 的右侧），且 ，作 轴于点C．
（1）若点P的横坐标为2，求点B的坐标；
（2）若点B关于 的对称点恰好落在y轴上时，求 的长．
22．（10分）某种科技产品生产数量越大，单件所需成本越低，其中单件成本 （百元/件）与生产
批次 （ 为整数）的数量关系如图所示：
（1）求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若该科技产品生产数量 （件）与批次 的关系为 ，问在前期的 个批次中
，哪一批次的生产投入最大？23．（10分）已知抛物线n： 与x轴从左到右交于A、B两点，顶点为C．
（1） 的形状是___________．
（2）若 ，求m的值．
（3）直线 与抛物线n从左到右交于D、E两点，P是线段 的中点， 轴与抛物线n相
交于点F．
①若 ，求m的值；
②求 的的面积（用含m的代数式表示）．
24．（12分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称
为“月牙线”．如图①，抛物线 与抛物线 组成一个开口向下的“月
牙线”，抛物线 与抛物线 与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点， ．
（1）求出点M，N的坐标和抛物线 的解析式；
（2）点P是x轴上方抛物线 上的点，过点P作 轴于点E，交抛物线 于点Q，试证明：
的值为定值，并求出该定值；
（3）如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接 ，在x轴上是否存在点F，使得
是以 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案
1．C
【分析】利用二次函数定义可得 ，且 ，再解即可．
解：由题意得： ，且 ，
解得： 或 且 ，
故 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如 （其中a，b，c是常数，
）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
2．B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线 ，再分 和 两种情况，利用二次函数的性质进行
求解即可．
解：∵二次函数 ，
∴对称轴为直线 ，
①当 ，抛物线开口向上， 时，有最小值 ，解得： ；
②当 ，抛物线开口向下，∵对称轴为直线 ，在 时有最小值 ，
∴ 时，有最小值 ，解得： ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
3．D
【分析】根据一次函数的 和二次函数的 即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过 轴
正半轴，从而排除A和C，分情况探讨 的情况，即可求出答案.
解： 二次函数为 ，
，
二次函数的开口方向向上，
排除C选项.
一次函数 ，
，
一次函数经过 轴正半轴，排除A选项.
当 时，则 ，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数 经过 轴正半轴，
排除B选项.
当 时，则
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数 经过 轴负半轴，
D选项符合题意.
故选：D.
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小
与图像的关系.
4．D
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
解：抛物线 的顶点坐标为 ，
拋物线 的顶点坐标为 ，
∴抛物线 向下平移2单位得到拋物线 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的平移，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛
物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析
式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解决
问题的关键．
5．D
【分析】由 ，可知二次函数的对称轴为直线 ，则 关于直线 的对称点为
，由 ，可知当 时， 随着 的增大而减小，然后比较大小即可．解：∵ ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∴ 关于直线 的对称点为 ，
∵ ，
∴当 时， 随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
6．B
【分析】首先利用配方法，把抛物线的一般式转化为顶点式，进而得出抛物线对称轴为直线 ，再
根据抛物线的对称性，计算即可得出另一个交点的坐标．
解：∵
，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线与 轴一个交点为 ，
∴另一个交点的横坐标为： ，
∴另一个交点为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了把抛物线 转化为顶点式、利用抛物线的对称性求函数值，解本题
的关键在得出抛物线对称轴．
7．C【分析】由 ，可知二次函数对称轴为直线 ，且图象开口向上，当
时， ，计算求出满足要求的 值即可；当 ，即 时， ，计算求出
满足要求的 值即可．
解： ，
∴二次函数对称轴为直线 ，且图象开口向上，
∴当 时， ，解得， 或 （舍去），
当 ，即 时， ，解得， 或 （舍去），
综上，a的值为 或6，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与
灵活运用．
8．C
【分析】根据抛物线上下平移，对称轴不变，结合一元二次方程根与系数的关系可得结论．
解：∵抛物线 与x轴交于 ， 两点，
∴当 时， ，此时， ，
将抛物线 向上平移，对称轴不变，即为 ，
故有， ，
∴
故选：C
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，正确掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
9．A
【分析】先求解抛物线为： ，直线 为 ，再求解两个函数图象的交
点坐标，再结合函数图象可得答案．解：∵ ，
∴ ，
∵ 为 轴正半轴上一点，抛物线与 轴交于点 ，点C和点 关于 轴对称．
∴D在负半轴，
∴ ， ，
∴抛物线为： ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 为 ，
∴ ，解得 或 ，
∴直线与抛物线的另一个交点 ，
当抛物线 在直线 的上方时， 的取值范围是 或 ；
故选A．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
10．B
【分析】根据 的纵坐标与 的纵坐标的绝对值之和为 的长，分别表示出所求式子的各项，拆项
后抵消即可解答．
解：∵点 作 轴的垂线，交 的图象于点 ，交直线 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，根据题意找出题中规律是解题的关键．
11．
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标；
解： 是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为
故答案为
【点拨】考查二次函数的性质，在顶点式 中，顶点坐标是 ．
12．3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 ，将其代入 中即可
求出结论．
解： 点 在函数 的图象上，
，
，则代数式 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是
解题的关键．
13．
【分析】根据题意可判断出抛物线的对称轴，开口方向，再由 ，可得 ，化
简即可解答．
解： ，
可知当 时， ，
，
当 时，抛物线函数值最小，
是对称轴， ，开口向上，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是判断出抛物线的对称轴及开口方向．
14．
【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，可得一次项系数，联立两个函数解析式得到一个一元二
次方程，根据中点公式与根与系数的关系直接求解即可．
解：∵二次函数 过点 ， ，
∴对称轴 ，
解得 ，则 ，
∵直线 与抛物线交于 ， 两点，
∴ ，得 ，
∵取 中点 ，
∴ 的横坐标为 ．
故答案为：
【点拨】此题考查二次函数的性质和中点坐标公式以及一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是
先通过对称性求出对称轴，然后通过联立两函数解析式求交点坐标，最终通过中点公式求出中点横坐标．
15．
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出 ， ，进而得
出 ，B点的纵坐标为 ，将点 的坐标代入二次函数解析式，解方程求得
，进而即可求解．
解：∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴B点的纵坐标为 ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数
（ 是常数， ） 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题
的关键．
16．②③④
【分析】由图， ， ， ，得 ，推知 ；由 知 ，代入
，得 ，化简得 ；将 代入 得，
，由对称轴得 ，解得 ；将 代入 得 ．
解：由图， ， ， ，
∴∴ ， ，故①错误；
，由 知 ，代入 ，
得 ， ，
化简得， ，故②正确；
将 代入 得， ，
对称轴 ，得 ，代入上式得，
，解得 ，故③正确；
将 代入 得 ，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④.
故答案为：②③④.
【点拨】本题考查二次函数图象性质，运用数形结合思想，理解图象与方程的联系是解题的关键．
17．
【分析】由题意可得： ，即可得出 ，设 ， ，则 ，
，得出 ，由解析式联立可得： ，整理可得 ，
由根与系数的关系可得 ， ，由勾股定理得到 ，即
，即可求解．
解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为： ，
∵直线 与直线 关于抛物线的对称轴对称，
∴ 两点关于直线 对称， 两点关于直线 对称，
∴ ，∵ ，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
由解析式联立可得： ，
∴ ，
由根与系数的关系可得 ， ，
∴ ，即
∴
解得：
故答案为：
【点拨】此题考查了抛物线的性质，一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，根与系数的关系，
函数与方程的关系，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活利用相关性质得到关于 的方程．
18．
【分析】先根据待定系数法即可求得抛物线解析式，再令 ，解得 的值，再结合函数图象即可求
解．
解：设 与y轴交于点D，如图，则
∵ ，
∴ ，
∵抛物线 对称轴为y轴 ，∴ 为等腰直角三角形，点D为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴抛物线解析式为 ，
令 得： ，
解得： ，
∴当 时， ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、抛物线与x轴的交点、用待定系数法求二次函数解析
式，根据待定系数法求出抛物线解析式，再正确求出抛物线与x轴的交点是解题关键．
19．（1） ， ；（2）
【分析】（1）设直线 的解析式为 ，根据 的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析
式即可，将点 的坐标代入 即可求得 的值，进而求得抛物线的函数解析式；
（2）联立直线和抛物线解析式，求得 的坐标，进而求得 ，根据题意 ，进而求得
的坐标，
解：（1）设直线 的解析式为
，
解得直线 的解析式为 ，
抛物线 过点
抛物线的函数解析式为 ；
（2） 直线 与抛物线 相交于B，C两点， ，
即
解得
当 时，
直线
令 ，得
所以
当 时，
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点问题，数
形结合是解题的关键．
20．（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】（1）将A代入二次函数表达式，求出c值即可得解；（2）根据二次函数表达式可得点C坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式；
（3）设 ， ，求出 ，再利用二次函数的最值求解．
（1）解：将 代入 中，得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）在 中，令 ，则 ，
∴ ，
将 ， 代入中，得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为： ；
（3）设 ，其中 ，
则 ，
∴ ，
∴当 时，线段 的最大值为 ．
【点拨】本题考查了二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是正确求
出函数解析式，表示出 的长．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）作 于点M，由解析式，可求 ，由等腰三角形三线合一，得
，于是 ，解得 ，故B的坐标为 ；（2）由解析式，设 ，由轴对称知 ，于是
，得 ， ，B在 的右侧，故 ，得 ．
（1）解：作 于点M
当 时，
∵ 轴，P的横坐标为2
∴
∵
∴ ．
把 代入 得：
解得：
∵点B在AP的右侧
∴点B的坐标为 ．
（2）解：设 ，由题意得：
∵点P在抛物线上
∴
化简得： 解得： ，∵点B在 的右侧
∴
∵ 轴
∴ ．
【点拨】本题考查函数解析式与方程的联系，一元二次方程求解，等腰三角形的性质，轴对称；理解
函数与方程的联系是解题的关键．
22．（1） ；（2）第 个批次的生产投入最大
【分析】（1）根据图像发现该函数分为两段，当 时，设 的解析式为 ，然
后把 和 代入得到关于 ， 的二元一次方程组，解方程组可得 ， 的值，从而确定 的解
析式，当 时， ，即可得出答案；
（2）根据题意可得 ，再根据二次函数的最值即可得出答案．
（1）解：当 时，设 的解析式为 ，
把 和 代入，
可得： ，
解得： ，
∴ 的解析式为 ，
，当 时， ，
∴ 与 （ 为整数）的函数关系式为 ；
（2）设某一批次生产投入为 （百元），当 时， ，
∴当 时， 取得最大值．
∴第 个批次的生产投入最大．
【点拨】本题考查列函数关系式，待定系数法确定一次函数的解析式，二次函数的应用．根据题意列
出函数关系式是解题的关键．
23．（1）等腰直角三角形；（2） ；（3）① 或 ，②
【分析】（1）分别求出点A、B、C的坐标，进行判断即可；
（2）根据两点间的距离公式，列式计算即可；
（3）①联立一次函数和二次函数的解析式，求出 的坐标，根据两点间的距离公式，列式求解即
可；②利用 ，进行求解即可．
（1）解：∵ ，
∴顶点 的坐标为： ，
当 时， ，解得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）由（1）知 ，
∴ ，
∴ ；（3）联立 ，得： ，
设方程的两个根为： ，
则： ， ，
∵P是线段 的中点，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
①∵ ，
∴ ，解得： 或 ；
经检验 或 都是原方程的根，
∴ 或 ；
②∵
，
∴ ．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
24．（1） ， ； ；（2）证明见分析，该定值为2；（3）在x轴上存在
点F，使得 是以 为腰的等腰三角形，点F的坐标为 或
【分析】（1）先由 求得 ， ，可得点M，N的坐标，将点 ，
代入抛物线 ，利用待定系数法即可求抛物线 的解析式；
（2）设 ，则 ，可得 ， ，
进而可得 ，即可证得结论；
（3）由抛物线 ： 可得点 ，两条抛物线的对称轴均为直线 ，进而求
得 ，连接 ，由于等腰直角三角形可知 ，分两种情况讨论：当 时，
，当 时， ，分别进行讨论即可求解．
（1）解：∵抛物线 与x轴交于点M、N，且当 时，
解得 ， ，
∴ ， ；
将点 ， 代入抛物线 ，
得 ，解得
∴抛物线 的解析式为 ； 3分（2）证明：设 ，则 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ 的值为定值，该定值为2；
（3）存在．
由抛物线 ： 可得点 ，两条抛物线的对称轴均为直线 ，
∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点， ，
∴ ，
如解图，连接 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
假设存在，设点 ，分两种情况讨论：
①当 时， ，如解图①，过点D作 轴于点C，连接 ， ，
则 ， ，由勾股定理可知 ，
∴ ，解得： ， ，
∴ ， ；②当 时， ，如解图②，由勾股定理可得 ，
∴ ，此方程无解
，∴此种情况不存在．
综上所述，在x轴上存在点F，使得 是以 为腰的等腰三角形，点F的坐标为
或 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是用含字母
的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
