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全等三角形综合训练（三）
1．在 中，已知 ， ，点 是 边延长线上一点，如图所示，将
线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 交直线 于点 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点F作FD⊥AG，交AG的延长线于点D
∵
设BC=5x，则CE=3x
∴BE=BC＋CE=8x
∵ ， ，
∴∠BAC=∠BCA=45°
∴∠BCA=∠CAE＋∠E=45°
由旋转可知∠EAF=90°，AF=EA
∴∠CAE＋∠FAD=∠EAF－∠BAC=45°
∴∠FAD=∠E
在△FAD和△AEB中∴△FAD≌△AEB
∴AD=EB=8x，FD=AB
∴BD=AD－AB=3x，FD=CB
在△FDG和△CBG中
∴△FDG≌△CBG
∴DG=BG= BD=
∴AG=AB＋BG=
∴
故选D．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角
形的判定及性质是解决此题的关键．
2．如图，在 的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 ， ， ， 都在格点上，
连接 ， 相交于 ，那么 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：取格点 ，连接 ，
由已知条件可知： ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
即 ，
故选： ．
3．如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动
点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，
且始终保持ED=CB，当点E经过 ( ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重
合）（ ）
A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16
【答案】D
【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝12cm，
∴BE＝12cm，
∴AE＝24﹣12＝12cm，
∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝12cm，
∴BE＝12cm，∴AE＝24+12＝36cm，
∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）；
③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝24cm，
∴BE＝24cm，
∴AE＝24+24＝48cm，
∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒），
综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况．
故选D．
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC
边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；
④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：过M作ME⊥AD于E，如图所示：
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE= ∠CDA，∠MAD= ∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD= （∠CDA+∠BAD）= ×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵AB∥CD，∠B=90°，
∴MC⊥DC，
∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME，
∴点M为BC的中点，故②正确；
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），
∴AB=AE，
∴AB+CD=AE+DE=AD，故③正确；
∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，
∴S DEM=S DCM，S AEM=S ABM，
△ △ △ △
∴S ADM= S ABCD，故④正确；
梯形
△
故选：D．
5．如图，在 中，点D是BC边上一点，已知 ， ，CE平
分 交AB于点E，连接DE，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点E作 于M， 于N， 于H，如图，∵ ， ，∴ ，
∴ 平分 ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∴ ，
∴ 平分 ，∴ ，
∵由三角形外角可得： ， ，∴ ，
而 ，∴ ．
故选：B．
6．如图所示， 平分 ， ， 于点 ， ，
，那么 的长度为________ ．
【答案】
【详解】证明：如图，
过C作 的延长线于点F，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ cm， cm，
∴ ，
∴ cm，
∴ cm．
故答案为：3
7．如图，四边形 中，对角线 平分 ， ， ，并且
，则 的度数为__________．
【答案】
【详解】解：过点D作 于点E， 于点F， 于点G，
对角线 平分 ， ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，= ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
8．如图在 ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交AC于
F，AC＝8，BC＝12，则BF的长为________．
△
【答案】10
【详解】解：连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，如图所示：
∵D为AB中点，DE⊥AB，∴EA＝EB，
∵∠ACE＋∠BCE＝180°，∠ACE＋∠ECG＝180°，∴∠ECG＝∠BCE，
∵EF⊥BC，EG⊥AC，∴EG＝EF，
在Rt△EFC和Rt EGC中， ，
△
∴Rt EFC≌Rt EGC（HL），∴CF＝CG，
△ △∴12﹣CF＝8＋CF，解得：CF＝2，∴BF＝12﹣2＝10，
故答案为：10．
9．如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于
点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长为
_______________．
【答案】1
【详解】解：在AE上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CE垂直平分BF，
∴BC=FC，
∴∠B=∠BFC，
∵∠B=2∠BAC，
∴∠BFC=2∠BAC，
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，
∴∠ACF=∠BAC，
∴AF=CF，
过点F作FM⊥AC，交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，
∵∠CAD=30°，∠N=90°，
∴AC=2CN，
∴AM=CN，
∵∠ACD+∠BAC=60°，
∴∠ACD=60°-∠BAC，
∴∠CDN=∠ACD+∠CAD=60°-∠BAC+30°=90°-∠BAC，
∴∠NCD=90°-∠CDN=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，
∴∠MAF=∠NCD，
在 AFM和 CDN中， ，
△ △
∴△AFM≌△CDN（ASA），
∴AF=CD，
∵AB的长度比CD的长度多2，
∴AB-CD=AB-AF=2BE=2，∴BE=1，
故答案为：1．
10．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在
AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、
EG、BG之间的数量关系是_____．
【答案】DE+BG＝EG
【分析】连接 ，利用全等三角形的判定和性质，求解即可．
【详解】解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG．理由如下：
连接AC，如图所示，在△ABC和△ADC中， ，∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴
又∵∠ECG＝60°，∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
又∵∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，
在△CDE和△CBF中， ，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，
∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°，
∴∠ECG＝∠FCG，
在△CEG和△CFG中，
，
∴△CEG≌△CFG（SAS），
∴EG＝FG，
又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，
∴DE+BG＝EG，故答案为：DE+BG＝EG
11．如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE
＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝___．【答案】2.5
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5，
故答案为：2.5．
12．（1）如图1，在 ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E
使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在 ACE中，利用三角形三边关系可得AD
的取值范围是 ；
（2）如图2，在 ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且
DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝
DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝ ∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，
CE之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析
【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，
∴ (SAS)，∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，
∴ (SAS)，∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，
∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，∴ (SAS)，
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF= ∠ADC，∴∠EDF= ∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，∴ (SAS)，∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．
13．
(1)如图1，在 中， ， ，分别过B、C两点作过点A的直线l
的垂线，垂足为D、E；当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想， 、 、 三条线
段有怎样的数量关系？并说明理由．
(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在 中， ，D、A、E三点都在直线m
上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论
是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3， ， ， ．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C
运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位
的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，
分别过P和Q作 于F， 于G．问：点P运动多少秒时， 与 全
等？（直接写出结果即可）
【答案】(1) ；(2)成立，证明见解析；(3)6或10．
【详解】（1）解：证明： ， ，
，
又 ，
，
，，
在 和 中，
，
（ ），
，
；
（2）解：成立．
证明： ，
，
，
在 和 中，
（ ），
，
；
（3）解：①当 时，点P在 上，点Q在 上，
则
当 即 ，解得 时，
于F， 于G， ，
，
，
在 和 中，
，
；
②当 时，点P在 上，点Q也在 上，
此时相当于两点相遇，则有 ，解得 ，③当 时，点Q在 上，点P在 上，
当 即 ，解得 时（舍去）；
综上所述：当t等于6秒或10秒时， 与 全等；
故答案为：6或10．
14．如图1， 是 的平分线，请你利用该图形画一对以 所在直线为对称轴的全
等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在 中， 是直角， ， 、 分别是 和 的平分
线， 、 相交于点F，求 的度数；
②在①的条件下，请判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
③如图3，在 中，如果 不是直角，而①中的其他条件不变，试问在②中所得结
论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】见解析；① ；② ，理由见解析；③成立，证明见解析
【详解】解：在 的两边上以O为端点截取 ，在 上任意取一点D，连接
、 ，则 与 即为所求作的三角形，如图1所示：
①如图2，∵ ， °，∴ ，
∵ 、 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴ ；
② ．理由如下：在 上截取 ，连接 ，如图2所示：∵ 是 的平分线，∴ ，
在 和 中，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 和 中
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
③在②中的结论 仍然成立．
在 上截取 ，连接 ，如图所示：
同②可得： ，∴ ， ，
又由①知 ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
同②可得 ，∴ ，∴ ．
15．（1）如图1，在四边形 中， ， 分别是边
上的点，且 ．求证： ；
（2）如图2，在四边形 中， ， 分别是边 上的点，且 ；求证： ，
（3）如图3，在四边形 中， ， 分别是边
延长线上的点，且 ，写出 之间的数量关系，
并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ；理由见解析
【详解】（1）证明：如图1中，延长 到G，使 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）证明：如图2，延长 至M，使 ，连接 ．
∵ ，∴ ，在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（3）解： ．证明：如图3，在 上截取 ，使 ，连接 ．
∵ ，∴ ．
在 与 中， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ，
∵ ，∴ ．
