文档内容
全等变化模型七 对角互补的四边形模型
【模型展示】
【模型条件】
四方形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°
OP平分∠AOB
【模型结论】
证明：
①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB
【模型总结】
以三个条件，知二推一。
【模型应用】如图3所示，当点A在AO延长线上时：证明：
【模型巩固】
【例7-1】如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说
明：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE＝CF
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°
∴∠EBC＝∠D
在△CBE与△CDF中，
∴△CBE≌△CDF；
（2）在Rt△ACE与Rt△ACF中，
∴△ACE≌△ACF
∴AE＝AF
∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF．
【例7-2】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．
（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，
∴∠PEB+∠PCB＝180°，
∴∠ABC+∠EPC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EPC＝90°；
【例7-3】综合与探究
如图，在 和 中， ， ， ， 的延长线交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，请直接写出 的度数．
（3）过点 作 于点 ，求证： ．
【解答】（1）证明： ．
．
在 和 中，，
；
（2）解： ，
，
．
，
，
；
（3）证明：如图，连接 ，过点 作 于点 ．
，
， ，
， ．
，
．
在 和 中，
，
，
．
在 和 中，
，
，
，
．
【例7-4】如图， ， ， ， ，垂足为 ．（1）求证： ；
（2）求 的度数；
（3）求证： ．
【解答】证明：（1） ，
， ，
，
在 和 中，
，
；
（2） ， ，
，
由（1）知 ，
，
，
，
，
；
（3）延长 到 ，使得 ，
，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
， ， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【例7-5】在 中， ， ，将一块三角板的直角顶点放在斜边 的中点
处，将此三角板绕点 旋转，三角板的两直角边分别交射线 、 于点 、点 ，图①，②，③
是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段 和 之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段 、 和 之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
【解答】解：（1） ，理由如下：
如图②，连接 ，
是等腰直角三角形， 为斜边 的中点，， ， ，
，
又 ， ，
，
在 和 中， ，
，
；
（2） ，理由如下：
连接 ，如图③所示：
同（1）得： ，
，
， ；
