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第 27 章 相似（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【知识清单】
一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【例1】（2023·云南昆明·九年级昆明市第三中学校考阶段练习）下面几对图形中，相似的是（）
A． B． C． D．
【变式】（2023·上海青浦·九年级校考期中）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个梯形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠
倒。
2）四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也
可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和
第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若 ，则 ；反之，也成立。 和比性质：若 ，则 ；
更比性质：若 ，则 ； 反比性质：若 ，则 ；
等比性质：若 ，则 。
5）拓展：比例式中， 或 中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， 、
叫后项，如果 ，那么 叫做 、 的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
【例2】（2023·江苏无锡·九年级统考期中）在比例尺为 的地图上，一条长为6cm的线段实际长为
m．【变式1】（2023·浙江湖州·九年级长兴县古城中学校联考阶段练习）已知线段 ， ，则 的比例
中项线段等于 ．
【变式2】（2023·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）若 ，且 是 、 的比例中项
，则 ．
【变式3】（2023·江苏南京·九年级期末）如果 ， ，那么 ．
三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
【例3】（2023·广西桂林·九年级桂林十八中校考期中）如图， ，若 ， ，
，则 的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 是 的边 的中点，过点 作 的平
行线交 于点 ，连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，若 ，则 长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2023·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，己知直线 ，分别交直线 于点
A，B，C和点D，E，F，若 ，则 （ ）A．6 B．9 C．12 D．15
四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【例4】（2023·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， 分別是边 ， ， 上
的点， ， ，且 ，那么 等于（ ）．
A． B． C． D．
【变式】（2023·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，若
， ， ，则 的长为 ．
五、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证
明）。
【例5】（2023·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）如图，下列条件不能判定 的是（
）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·江苏南京·九年级南京民办实验学校校考阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，则下
列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·四川宜宾·九年级校考期中）如图所示，网格中相似的两个三角形是．（填序号）
（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【变式3】如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，不能判定 的是（ ）A． B． C． D．
【变式4】（2023·上海青浦·九年级校考期中）如图，在正方形 中， 为 中点， ，连
接 ，那么下列结论中： 与 相似； 与 相似； 与
相似： 与 相似； ；其中错误的有（ ）个．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
六、相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相
似多边形的面积比等于相似比的平方。）
【例6】（2023·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如果两个相似三角形的周长之比为 ，那么这
两个三角形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式】如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是（ ）
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．8∶27
七、利用相似三角形测高
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必
须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
【例7】（2023·广西南宁·九年级南宁二中校考期中）为了测量树木的高度，小壮把老师教学用的直角三角板直立于地面进行测量．如图，点A，B，Q在同一水平线上， 和 均为直角， 与 相交
于点D．测得 ，则树高 m．
【变式】（2024·江苏南京·九年级南京民办实验学校校考阶段练习）如图，某学生身高 ，在灯光
下，他从灯杆底部点 处，沿直线前进到达点 处，在 处他的影长为 ，经测量此时恰有 ，
则灯杆 高度为 ．
八、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位
似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
【例8】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中
不是位似图形的是（ ）A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【变式】（2023·河南洛阳·九年级统考期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位
似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线
所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于
相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
九、利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小
于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延
长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
十、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横
坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵
坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图
形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为
m,n km,kn km,kn
，则其位似图形对应点的坐标为 或 。【例9】（2023·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图， 三个顶点坐标分别为
， ， ．
(1)请画出 关于 轴对称的 ；
(2)以原点 为位似中心，将 放大为原来的2倍，得到 ，请在第三象限内画出 ，并
求出 的值．
【变式】（2023·广东深圳·九年级校联考期中）如图，在正方形网格中，点 、B、C都在格点上，利用格
点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）(1)在图（1）中，以C为位似中心，位似比为 ，在格点上将放大得到 ；请画出 ；
(2)在图（2）中，线段 上作点M，利用格点作图使得 ；
(3)在图（3）中，利用格点在 边上作一个点D，使得 ．
1. 转化思想
1．（2023·山东青岛·九年级胶州市初级实验中学校考阶段练习）在平行四边形 中，对角线
交于点 ， ， ， ，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；
同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.
连接 ，过点 作 ，设运动时间为 ，解答下列问题：
(1)当 为何值时， 是等腰三角形？
(2)设五边形 面积为 ，试确定 与 的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由；2. 数形结合思想
2．（2023·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图1，在矩形
中， ，点E为射线 上的一个动点，过点E作 ，连接 ，使 ，
连接 ．
(1)求证：① ；
② ；
(2)如图2，若 ， ，连接 ．
①若 ，求 ；
②当E点在射线 上运动时，则 的最小值为______．3.方程思想
3．（2023·甘肃张掖·九年级校考期中）如右图，在 中， ，点 从 点开始沿 边向点 以
1厘米/秒的速度移动，点 从 点开始沿 边向点 以2厘米/秒的速度移动．
(1)如果 分别从 两点同时出发，经过几秒钟， 与 相似？
(2)如果 两分别从 两点同时出发，并且 到 又继续在 边上前进， 到 后又继续在 边上
前进，经过几秒钟， 的面积等于 厘米 ？
4. 建模思想
4．如图，点O为矩形ABCD对角线交点， ， ，点E、F、G分别从D，C，B三点同时
出发，沿矩形的边DC、CB、BA匀速运动，点E的运动速度为 ，点F的运动速度为 ，点G的
运动速度为 ，当点F到达点 点F与点B重合 时，三个点随之停止运动 在运动过程中， 关
于直线EF的对称图形是 设点E、F、G运动的时间为 单位：
当 ______s时，四边形 为正方形；
若以点E、C、F为顶点的三角形与以点F、B、G为顶点的三角形相似，求t的值；
是否存在实数t，使得点 与点O重合？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．中考热点聚焦
热点1.相似三角形的判定与性质综合应用
1．（2023·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形 中， ，点 在对角线 上，过 点分别作 和 的垂线，垂足
为 ， ，则四边形 为矩形．请问线段 与 的数量关系为______；
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形 绕点 逆时针旋转，记旋转角为 ，当 时，连接 ， ，在旋
转的过程中， 与 的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．
【解决问题】如图3，当矩形 的边 时，点 为直线 上异于 ， 的一点，以 为边作正方形 ，
点H为正方形 的中心，连接 ，若 ， ，直接写出 的长．
热点2.平行线分线段成比例定理及推论
2．（2023·江苏·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交
于点 和点 两点，且与 轴交于点 ．连接 ， ， 为抛物线在第二象限内一点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，连接 ， ，抛物线上是否存在点 ，使得 ．若存在，请求出点 坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)如图 ，连接 ， ，过点 作 交 于点 ，连接 ．若 ，求点 坐标．
热点3.相似三角形的应用
3．（2023·河北邢台·九年级邢台市第七中学校联考阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，
图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到 ，， ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．
发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由；
探究：若 ，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?
热点4.位似图形
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知 ， ， ．
(1)求线段 的长；
(2)把A、 、 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到 ， ， 的坐标，画出 ，并求 的长；
