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第2 章 有理数的运算（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各数中，比 小的数是（ ）
A．2 B．0 C． D．
2．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，神舟十八号的飞行速度
约为 米/分，把“ ”用科学记数法表示应是（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，
则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作 步，那么向南走7步记作（ ）
A． 步 B． 步 C． 步 D． 步
4． 的绝对值的相反数是（ ）
A． B． C． D．
5．A为数轴上表示 的点，将点A在数轴上平移3个单位长度到点B，则点B所表示的实数为（ ）
A．3 B．2 C．2或3 D．2或
6．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6
的真因数是1、2、3，且 ，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
7．数轴上，若 ， 表示互为相反数的两个点， 在 的左边，并且这两点的距离为 ，则点 所表示
的数是（ ）
A． B． C． D．
8．将 ， ， ，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，
使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于 ，则 的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．119．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最
终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面
5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（
）
A． B． C． D．
10．从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合
数，用符号 表示．已知“！”是一种数学运算符号，且 ，
，若公式 为正整数），则 为（ ）
A．28 B．64 C．70 D．84
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若 ，那么 ．
12．已知 ， 是最大的负整数，则 的值为 ．
13．点A为数轴上一点，把点A先向左移3个单位，再向右移5个单位后对应的数是 ．则点A到原点
的距离是 ．
14．如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负
方向运动，在运动过程中，当线段 和 的大小关系满足 时，点P表示的数是 ．
15．数轴上的点 与原点的距离是 个单位长度，若一个点从点 出发，沿数轴向右移动 个单位长度，
再向左移动 个单位长度，此时终点表示的数是 ．
16．若 ， ，且 ，则 ．
17．数 乘 ，积是一个完全平方数，则 的最小值为 ．
18．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取
它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1) ． (2)
20．（8分）计算
(1) ； (2) ．
21．（10分）如图，在数轴上有A、B、C这三个点．
回答：
(1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？
A： ；B： ；C： ．
(2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
(3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？
22．（10分）阅读材料，回答问题：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反
数，所以，当 时 ，如 ， ；当 时， ，如 ，
．根据以上信息完成下列问题：
(1) __________； __________；
(2)计算： ．23．（10分）阅读材料：求 的值．
解：设 ，将等式两边同时乘2得：
将下式减去上式得 即
即
请你仿照此法计算：
(1)
(2) （其中 为正整数）．
24．（12分）【教材呈现】华师版七年级上册数学教材38页的一道题目：
求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离：
（1） ；（2）4.75与2.25；（3） 与 ；（4） 与
．
你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？
【归纳概括】
(1)用文字语言叙述你的发现；
(2) 的几何意义是数轴上表示数x与数_____的两点之间的距离；
【解决问题】
(3)请你画出数轴探究：当表示数x的点在整条数轴上移动时，直接写出能使 成立的x的
值；
【拓展延伸】(4)如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中 ， ，且点B到原点的距离
为28，设点A，B，C所对应数a，b，c的和是p，求p的值．参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，熟练掌握有理数比较大小的法则是解题的关键．
根据0比所有的负数大，比所有的正数小以及负数绝对值大的反而小即可解答．
【详解】解：∵负数 正数，
∴ ，
∴比 小的数是 ．
故选D．
2．A
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，正
确确定a、n的值是解题的关键．
将 写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解： ．
故选A．
3．A
【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有
相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解： 向北走5步记作 步，
向南走7步记作 步．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值的意义，根据意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个
数 的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个
负数的绝对值等于它的相反数，熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相
反数是负数， 的相反数是 ，负数的相反数是正数．
【详解】根据绝对值的定义可得： 的绝对值是 ，
根据相反数的定义可得： 的相反数是 ，
故选： ．
5．D【分析】分点A在数轴上向左移动和向右移动两种情况，分别分解平移规律即可解答．
【详解】解：点A为数轴上表示 的点，
当将点A在数轴上向右平移3个单位长度到点B，则点B所表示的实数为2；
当将点A在数轴上向左平移3个单位长度到点B，则点B所表示的实数为 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了实数与数轴，掌握利用点的坐标左移减右移加的平移规律是解题关键．
6．C
【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解∶∵ ， ，
∴8不是完美数，故选项A不符合题意；
∵ ， ，
∴18不是完美数，故选项B不符合题意；
∵ ， ，
∴28是完美数，故选项C符合题意；
∵ ， ，
∴32不是完美数，故选项D不符合题意；
故选：C
7．A
【分析】本题考查了数轴上的点及互为相反数、两点之间的距离的概念，由相反数的含义及两点之间距离
的表示方法，点 与点 到原点的距离相等即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 表示互为相反数的两个点，两点的距离为 ，
∴点 和点 到原点的距离为 ，
∵ 在 的左边，
∴点 表示的数为 ，
故选： ．
8．A
【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被
重复计算了．先求出所有数字之和，得出 ，且n为整数，则 ，进而推出当
时，n有最大值，即可解答．【详解】解： ，
∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于 ，
∴ ，且n为整数，
整理得： ，
∴当 最大时，n有最大值，
∵n为整数，
∴当 时，n有最大值，
此时 ，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据题意分类讨论是解题的关键．
由题意知，第3步的运算结果为 ，当 为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，
；当 为偶数，第2步的运算结果为奇数5时， ；当 为奇数，且第1步到第
3步运算结果均为偶数时， ；当 为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时， ，
然后求和即可．
【详解】解：由题意知，第3步的运算结果为 ，
当 为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时， ，
当 为偶数，第2步的运算结果为奇数5时， ，
当 为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时， ，
当 为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时， ，∴所有符合条件的数的和是 ，
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，理解 的含义及“ ”的运算方法是解决本题的关
键．
先表示出 ，再利用新定义的运算符号“ ”计算得结论．
【详解】解：
．
故选：D．
11． 或
【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的含义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
12．
【分析】首先根据偶次方及绝对值的非负性，列方程即可求得 、 的值，又根据 是最大的负整数知道
的值是 ，再代入即可求得代数式的值．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∵ 是最大的负整数，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】此题考查了偶次方及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用偶次方及绝对值的非负
性是解题的关键．
13．4
【分析】本题考查了数轴，确定出点A表示的数是解题关键．根据点A的移动方向，得出点A表示的数为
，即可得到答案．
【详解】解：因为，点A先向左移3个单位，再向右移5个单位后对应的数是 ，
所以，点A表示的数为 ，
所以，点A到原点的距离是4，
故答案为：4．
14．26或 / 或 26
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即
可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键．
【详解】解：在点P运动过程中， ，即 ，
分两种情况：
①当点P运动到点A右侧时， ，
此时点P表示的数是 ；
②当点P运动到点A左侧时，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
则 ， ，
∴点P表示的数是 ，
综上所述，点P表示的数是26或 ，
故答案为：26或 ．
15． 或
【分析】本题考查数轴上的点所表示的数，有理数的加减运算，根据数轴上的点距离原点 个单位长度，
可得点 表示的数，再根据向右移动几个单位加几，向左移动几个单位减几，据此可解．明确向右移动用
加法，向左移动用减法及距离原点几个单位如何表示是解题的关键．
【详解】解：∵数轴上的点 与原点的距离是 个单位长度，
∴点 表示的数为 或 ，
当点 表示的数为 时，由题意得：，
当点 表示的数为 时，由题意得：
，
∴此时终点所表示的数是 或 ．
故答案为： 或 ．
16． 或1/1或
【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，解决此类问题的关键是由 ，得出 ；
，得出 ．再利用 这一条件确定x和y的具体取值，然后代入 ，从而得出结果．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ； ， ，
∴ 或 ，
故答案为： 或1．
17．
【分析】本题主要了考查完全平方数，根据题意先把 分解因数 ，结合最小即可求得 的
值，解题的关键是正确理解完全平方数可以分解为两个相同数的乘积．
【详解】解：由 ，
∵数 乘 ，积是一个完全平方数，
∴ 是一个完全平方数，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数式规律，是解答本题的关键．
根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
第一天截取后木棍剩余长度为： ，第二天截取后木棍剩余长度为： ，
第三天截取后木棍剩余长度为： ，
第 天截取后木棍剩余长度为： ，
第6天截取后木棍剩余长度为： ．
故答案为： ．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
原式
（2）
原式20．(1)
(2)
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先算乘方和括号内的数，再算乘法，最后算加减即可；
（2）根据乘方分配律计算即可．
【详解】（1）解： ，
原式
（2）
21．(1) 、1、4
(2)7；10
(3)点B向左移动2个单位
【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键．
（1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数；
（2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答；
（3）由于 ，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可．
【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是 、1、4，
故答案为： ；1；4．（2）解：根据图示知： 的距离是 ； 的距离是 ，
故答案为：7；10；
（3）解：∵A、C的距离是10，
∴点B到点A和点C的距离都是5，
∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为 ， ．
22．(1)2；
(2)
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减混合计算：
（1）根据绝对值的意义求解即可；
（2）先根据绝对值的意义去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为：2； ；
（2）解：
．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键．
（1）设 ，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求
式子的值；（2）设 ，两边乘以3后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式
子的值．
【详解】（1）解：设 ，
将等式两边同时乘2得： ，
将下式减去上式得： ，即 ，
则 ；
（2）解：设 ①，
两边同时乘3得： ②，
②-①得： ，即 ，则
则 ．
24．(1)数轴上两点之间的距离等于这两个数差的绝对值
(2)-2
(3)图见解析，x的值是-3或4
(4) 或83
【分析】（1）用文字语言叙述即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离的定义即可求解；
（3）利用分类讨论的方法可以求得x的值；
（4）由点B到原点的距离为28，求得b，再由两点距离求得a、c，进而根据有理数加法法则计算p．
【详解】（1）解：请将你的发现用文字语言叙述如下：
数轴上两点之间的距离等于这两个数差的绝对值；
（2） 的含义是数轴上表示数x与-2的两点之间的距离．
故答案为：-2；
（3）如下图，当 时， ；
当 时，
，
令 ，解得 ；
当 时， ，
令 ，解得 ．
综上所述，使 成立的x的值是-3或4；
（4）∵点B到原点的距离为28，
∴ 或28，
∵数轴上从左到右有点A，B，C，其中 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ．
综上所述， 或83．
【点拨】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关
键．
