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第5 章 相交线与平行线（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点1】对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
2
1 ∠1的两边与∠2的两 对顶角相等
对顶角 有公共顶点
边互为反向延长线 即∠1=∠2
∠1与∠2
∠3与∠4有一条边公
邻补角互补即
邻补角 有公共顶点 共，另一边互为反向
∠3+∠4=180°
延长线.
【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中
的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最
短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到
直线AB的距离是垂线段PO的长.
【知识点3】同位角、内错角与同旁内角
角的名称 位置特征 图形结构特征
同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋
转）
内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧， 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋
即被截线“错开” 转）同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之 形如字母“U”（或倒置、反转、旋
间. 转）
【知识点4】平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.
【知识点5】平行公理
1.平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行.
2.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【知识点6】平行线的判定
判定方法1 判定方法2 判定方法3
两 条 直 两条直线被第三条直线 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直
线 平 行 所截，如果同位角相 截，如果同位内角相等， 线所截，如果同旁内
的判定 等，那么这两条直线平 那么这两条直线平行，即 角互补，那么这两条
行，即同位角相等，两 内错角相等，两直线平行 直线平行，即同旁内
直线平行 角互补，两直线平行
符 号 语 那么∠1=∠2 那么∠1=∠2 那 么
言 ∠1+∠2=180°
那么AB//CD 那么AB//CD
那么AB//CD
【知识点7】平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.
【知识点8】命题、定理、证明
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另
一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过
程叫做证明.
【知识点9】平移
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
2. 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角
的大小，具体来说：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四组图形中，不能视为由一个基本图形通过平移得到的是（ ）A． B． C． D．
2．下列各图中， 与 互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．5°
4．如图，直线 ， 被直线 所截，则 与 是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
5．如图,由下列条件不能得到直线a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1+∠4=180°D．∠2+∠4=180°
6．如图，一条街道有两个拐角 和 ，已知 ，若 ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，是假命题的是（ ）A．对顶角相等 B．过一点可作无数条直线与已知直线平行
C．垂线段最短 D．内错角相等，两直线平行
8．已知， 是 的角平分线，直线 ，若 ， ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
9．一副直角三角板如图摆放，点F在BC的延长线上，∠B=∠DFE=90°，若DE∥BF，则∠CDF的度
数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
10．如图， ， 于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
① ：② 与 互相垂直；③点C到 的垂线段是线段 ；④点A到 的距离是线段
的长度；⑤线段 的长度是点C到 的距离：⑥线段 的长度是点D到 的距离．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．命题“同角的补角相等”可以改写成“如果 ，那么
”．
12．如图，三角形 经过平移得到三角形 ，连接 、 ，若 ，则
cm．13．如图，已知 ， ， 的平分线交 于点E，在直线 上取点F，使
，则 的度数是 ．
14．如图，射线 的方向是北偏东 ，若 ，则射线 的方向是 ．
15．如图，点 在直线 上， 平分 ，且 ，则 ．
16．如图，三角形 的面积为15， 的长为5，P为直线 上一动点，连接 ，则线段 的
最小值是 ．
17．如图，将一条长方形彩带 进行两次折叠，先沿折痕 向上折叠，再沿折痕 向背面折
叠，若要使两次折叠后彩带的夹角 ，则第一次折叠时 应等于 ．18．如图， ，点 是直线 、 外一点， ，且 ，
， 与 的延长线交于点 ．若 ，则 的度数为
（用含 的式子表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，直线 ， 交于点O，已知 ， ．
（1）若 ，分别写出 的补角、余角，并求出相应的度数；
（2）若 ，试证明 ．
20．（8分）如图 ， ， ，点 ， ， 在同一直线上．
（1） 等于多少度？
（2）若 ， 与 平行吗？证明你的结论．21．（10分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2
（1）求证：AB∥CD
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，求∠C的度数．
22．（10分）如图， ， 的两边分别平行，即 ， ．
（1）在图1中， 与 的数量关系为_____
（2）在图2中， 与 的数量关系为_____，试说明理由．
（3）结合以上两个结论，用一个真命题表示：如果两个角的两边分别平行，那么_____23．（10分）（1）如图，已知 ， ，试探究 与 的关系，并写出理由．
（2）在（1）的条件下，下图 小于 ， 与 又有怎样的关系，并写出理由．
24．（12分）取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC（∠ACD＝30°），将三角板ABC
（∠ACB＝45°）绕点A依顺时针方向旋转一定的角度得到三角形ABC′，请问：
（1）如图2，当∠CAC′＝15°时，请你判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图3，当∠CAC′为多少度时，能使CD BC′？
参考答案：
1．C
【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫
做平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断．
解：A、可以通过平移得到，不符合题意；
B、可以通过平移得到，不符合题意；
C、不能通过平移得到，符合题意；
D、可以通过平移得到，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查平移的性质，属于基础题，要掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的
形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
2．B
【分析】本题考查的是对顶角，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延
长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
根据对顶角的概念判断即可．
解：A、图中， 与 不是对顶角，不符合题意；
B、图中， 与 是对顶角，符合题意；
C、图中， 与 不是对顶角，不符合题意；D、图中， 与 不是对顶角，不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，
本题得以解决．
解：作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
4．C
【分析】利用同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，
并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，得出即可．
解：直线 ， 被直线 所截，则 和 是同旁内角．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了同旁内角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对
平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表
达要注意理解它们所包含的意义．
5．C
【分析】根据平行线的判定方法逐个进行判断．
解：A、∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
C、∠1+∠4=180°与a，b的位置无关；D、∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键．
6．D
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由 ，根据两直线平行，内错
角相等，可得 的度数，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解．
解：∵
∴ （两直线平行，内错角相等）．
故选：D．
7．B
【分析】根据对顶角相等，平行线，垂线段最短，平行线的判定逐项分析判断即可．
解：A、对顶角相等，故该选项是真命题，不符合题意；
B、过一点可作一条直线与已知直线平行，故该选项是假命题，符合题意；
C、垂线段最短，故该选项是真命题，不符合题意；
D、内错角相等，两直线平行，故该选项是真命题，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了真假命题的判断，掌握相关定理法则是解题的关键．
8．C
【分析】由两直线平行，内错角相等可得 ，由角平分线的定义可得
，根据 ，计算求解即可．
解： ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于
明确角度之间的数量关系．
9．B【分析】利用直角三角形的性质，三角形外角性质计算即可．
解：如图，
∵DE∥BF，∠B=∠DFE=90°，
∴∠EDF=∠2=45°，∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠2+∠CDF，
∴∠CDF=15°，
故选B．
【点拨】特别看出来平行线的性质，三角板的性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质，三角
形外角性质是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离，熟练掌握垂线段的长度是点到线段的距离是解题
的关键．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②不正确；根据点到直线的距离可判断
③④⑤⑥．
解：①∵ ，
∴ ；故①正确；
② ，由垂线的性质知 与 不垂直；故②错误；
③点C到 的垂线段是线段 的长度；故③错误；
④点A到 的距离是线段 的长度；故④正确；
⑤线段 的长度是点C到 的距离；故⑤正确；
⑥线段 的长度是点C到 的距离；故⑥错误；
综上：正确的是： ，共3个；
故选A．
11． 两个角是同一个角的补角 这两个角相等
【分析】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式
的关键．据此解答即可．
解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么
这两个角相等．
故答案为：两个角是同一个角的补角，这两个角相等．
12．2
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
解：∵三角形 经过平移得到三角形 ，连接 、 ， ，
∴ ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
13． 或 / 或
【分析】先由 、 平分 可推得 ，因 ，故可求得
，然后分两种情况计算 的度数即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴ ．
下面分二种情况讨论：
如图1，点F位于点A的右侧．
∵ ，∴
如图2，点F位于点A的左侧，
∵ ，
∴
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理的应用等知识点，解题的关键是注意分两种情
况讨论．
14．北偏西
【分析】根据 即可求解．
解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴射线 的方向是北偏西
故答案为：北偏西 ．
【点拨】本题考查了方位角的计算与表示，数形结合是解题的关键．
15．
【分析】本题考查邻补角，角平分线，根据邻补角的定义以及角平分线的定义进行计算即可．掌握邻
补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．
解： ，
，
平分 ，
，
．
故答案为： ．
16．6【分析】根据垂线段最短即可求解．
解：作
解得：
由垂线段最短可知：线段 的最小值是6
故答案为：6
【点拨】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可．
17．77
【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．
解：如图：
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵彩带两边平行，
∴ ，
∵折叠，彩带两边平行，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：77．
【点拨】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
18．
【分析】根据平行线的性质可求得 ，进而可求得 ．
解：∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，牢记平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同位角相等，
同旁内角互补）是解题的关键．
19．（1） 的余角为 ， 的补角为 ， ， ；（2）证
明见分析
【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，垂直的定义，对顶角相等：
（1）根据垂直的定义得到 ，则 ，根据平角的定义得到
，再由度数之和为90度的两角互余，度数之和为180度的两角互补即可得到
答案；
（2）先由垂直的定义得到 ，则 ，由对顶角相等得到
，则 ，即可推出 ，即 ．（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的余角为 ， 的补角为 ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．（1） ；（2）平行，理由见分析
【分析】（1）由 得 ，已知 ， ，根据
计算即可；
（2）由（1）得： ，结合 ，得 ，根据“同旁内角互补，
两直线平行”，即可证明 与 平行．
解：（1） ，
，
又 ， ，
，
故 等于 度．
（2） ，
由（1）得： ，
，
与 平行．（同旁内角互补，两直线平行）
【点拨】本题考查了角度计算、平行线的判定，熟练计算、掌握平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．
21．（1）证明见分析；（2）30°
【分析】（1）根据平行线的判定求出AE∥FG，根据平行线的性质得出∠A＝∠2，求出∠A＝∠1，根
据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3＝180°，根据∠D＝∠3+50°和∠CBD＝70°求出∠3＝30°，
根据平行线的性质得出∠C＝∠3即可．
解：（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB＝∠GNB＝90°，
∴AE∥FG，
∴∠A＝∠2；
又∵∠2＝∠1，
∴∠A＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝30°．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解题的关
键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，
同旁内角互补．
22．（1） ；（2） ，理由见分析；（3）这两个角相等或互补．【分析】（1）如图，先证明 ， ，可得 ；
（2）如图，先证明 ， ，可得 ；
（3）用语言概况归纳（1）（2）的结论即可．
（1）解：如图，∵ ， ．
∴ ， ，
∴ ；
（2）如图，∵ ， ．
∴ ， ，
∴ ；
（3）总结为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补是
解本题的关键．
23．（1） ，理由见分析；（2） ，理由见分析．
【分析】（1）利用平行线的性质求解，即可得到答案；
（2）利用平行线的性质求解，即可得到答案．
解：（1） ，理由如下：
，
，，
，
；
（2） ，理由如下：
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内
角互补．
24．（1） ；理由见分析；（2）当 时，能使 ．
【分析】（1）求出 ，得出∠BAC=∠C=30，利用内错角相等两直线平行求解；
（2）连接 ，在 中利用三角形内角和定理进行解答即可．
（1）解：如图1，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 时，能使 ．
理由如下：
延长BA交CD于点E，如图2．∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的判定和三角形内角
和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
