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第7 章 平面直角坐标系（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，下列描
述能够准确表示钓鱼岛位置的是（ ）
A．海上的一个岛 B．福建省的正东方向
C．距离温州市约356千米 D．北纬 ，东经
2．如图，在坐标系中用手盖住点P，则点P的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直接坐标系中，点 ， ， ， 轴，点 的纵坐标为 ．
则以下说法错误的是（ ）
A．当 ，点 是线段 的中点 B．当 ，点 一定在线段 上
C．存在唯一一个 的值，使得 D．存在唯一一个 的值，使得
4．已知点 与点 在同一条平行于 x 轴的直线上，且 N 到 y 轴的距离等于 4，则点
N 的坐标是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
5．如图所示，在平面直角 坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将 沿x轴正方向平移
个单位长度得到 ，若 ， ，则四边形 的面积是（ ）A． B． C． D．
6．平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当线段AC最
短时，△ABC的面积是（ ）
A．30 B．15 C．10 D．
7．如图， 中的 与x轴重合， 将 绕原点O顺时针旋转
后得到 ，将 绕原点O顺时针旋转 得到 ，…，如此继续下去，连续旋转
2023次得到 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平面直角坐标系 中，点A坐标为 ，过点A作 轴于点B，过点A作
轴于点C．点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，同时，点D
从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为 ，当
时，则t应满足（ ）A． B． C． 或 D． 或
9．如图，已知点A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），CD//AB交y轴于点D．点P（m，n）为
线段CD上（端点除外）一点，则m与n满足的等量关系式是（ ）
A．m+2n＝﹣5 B．2m+n＝﹣10 C．m﹣n＝﹣5 D．2m﹣n＝﹣6
10．已知平面直角坐标系中质点从点 出发，第1次向上移动1个单位后往逆时针转 方向
作第2次移动，第n（n为正整数）次移动n个单位后往逆时针转 方向作第 次移动．设质点
第n次移动后到达点 ，则点 为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．教室5排2号可用有序数对 表示，则2排5号用数对可表示为 ．
12．已知线段 的中点为 ，若 经过平移到达 ，则点 的对应点 为
．
13．正方形 四个顶点的坐标分别是 ， ， ， ，将线段 平移
之后得到线段 ，点A的对应点为 ，若点E到 的距离等于点F到 的距离，则m，n
的数量关系为 ．
14．在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”．例如，点 ， ，横坐标差的绝对值为 ，
纵坐标差的绝对值为 ，所以 ， 的切比雪夫距离为 .若点 （ ， ），
的切比雪夫距离为 ，则 ．
15．已知 ， ，…， ，…，(k为正整数)，且满足 ， ，则
A 的坐标为 .
2022
16．定义：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，任意两点P（x，y）、Q（x，y），称|x
1 1 2 2 1
﹣x|+|y﹣y|的值为P、Q两点的“直角距离”．若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“直角
2 1 2
距离”为 ；若P（2，﹣3），Q为直线y＝x+5上任意一点，则P，Q的“直角距离”的最小
值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A，C的坐标分别为 ， ．
已知线段 的端点M，N的坐标分别为 ， ，平移线段 ，使得平移后的线段的
两个端点均落在正方形 的边上，此时正方形 被该线段分为两部分，其中三角形部分的
面积为 ；已知线段 的端点坐标分别为 ， ，且 ， ，
．平移线段 ，使得平移后的线段 的两个端点均落在正方形 的边上，且线段
将正方形的 面积分为 两部分，取 的中点H，连接 ，则 的长为
．
18．定义：动点先向右平移，再向上平移相同单位长度为完成一次移动，平移的相同单位长度称为
移动的距离．如图，在平面直角坐标系中，若点 从原点 出发，第一次移动的距离为4个单位长
度到达点 ，以后每一次移动的距离都是前一次移动距离的一半，则经过无数次移动后，点 最终
接近的那个点的坐标为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．如图，将直角三角形 放在平面直角坐标系中， 轴，
轴，点 ． 若 ，求点 的坐标．
20．（8分）在平面直角坐标系内，有点 ．
（1）若点 在 轴上，则 的值为______；若点 位于第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则
的值为______；
（2）若点 与点 的连线平行于 轴，求点 与点 之间的距离．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中， ， ，点 在线段 上，且 ：
： 已知 ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）已知点 且 ，平移线段 到 ，点 对应点 ， ，求点 的坐标；（3）已知点 且 ， ，则 的取值范围是______．
22．（10分）如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，且
，
（1）求 、 的值并写出 、 两点的坐标；
（2）点 在 轴上，三角形 的面积是三角形 面积的一半，求点 的坐标；
（3）如图2，点 在 轴负半轴， ，交 轴于点 ，直接写出点 的坐标．
23．（10分）如图，已知平面直角坐标系中，点A坐标 ，点C坐标 ，点D坐标 ，
过点A作x轴平行线l，过点C、D分别作x轴，y轴平行线交于点B．
（1）直接写出B点坐标为（______，______）；（2）点P是x正半轴上一点，作射线 交直线l于点H，连接 ，设点P横坐标为t，用含t的
代数式表示三角形 的面积 ；
（3）在（2）问条件下，连接 ， ，在点P运动的过程中，当 时，求此时的点
P坐标．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为边长为8的正方形，点D为 的中点，
点E在 上，且 ．点 是线段 和 上的动点，点 是线段 上的动
点，连接PQ．
（1）求三角形 和三角形 的面积；
（2）用等式表示m与x之间的数量关系；
（3）直接写出线段 的长等于3时，点Q的坐标．参考答案：
1．D
【分析】直接利用坐标确定位置的方法分析得出答案．
【详解】解：A、海上的一个岛，没有距离，也没有方向，不能够准确表示钓鱼岛的位置，故该选项不符
合题意；
B、福建的正东方向，只有方向，没有距离，不能够准确表示钓鱼岛的位置，故该选项不符合题意；
C、距离温州市约356千米，只有距离，没有方向，不能够准确表示钓鱼岛的位置，故该选项不符合题意；
D、北纬 ，东经 能够准确表示钓鱼岛的位置，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了坐标确定位置，正确掌握位置确定方法是解题关键．
2．C
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点解答即可．
【详解】解：由图可知，被墨水污染部分位于坐标系中第四象限，
∴被墨水污染部分遮住的点的坐标位于第四象限，则可能为： ，
故选：C．
【点拨】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标特征是解题的关键．
3．D
【分析】根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据 的坐标分别求得 ，进而判断C，D
选项．
【详解】解：∵点 ， ， ，
当 ，则 ， ， ，
∵ ，即点 是线段 的中点，故A选项正确；
∵点 ， ， ，
当 ，则 ，则点 在 点的右侧，
又 ，即点 在店 的左侧，
∴当 ，点 一定在线段 上，故B选项正确；
∵ 轴，点 的纵坐标为 ，∴ ，
∵ ， ，
当 时，
则 （无解）或
解得： ，故C选项正确；
当 时，则 或
解得： 或 ，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
4．A
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求
出a，然后写出点N的坐标即可．
【详解】解：∵点 与点 在同一条平行于x轴的直线上，
∴ ，
∵N到y轴的距离等于4，
∴ ，
∴点N的坐标为 或 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的距离等于横坐
标的绝对值．
5．C
【分析】根据平移的性质，求出 ，四边形 的面积等于四边形 的
面积，求出四边形 的面积是 ，即可的答案．
【详解】解： 沿x轴正方向平移 个单位长度得到 ，
，四边形 的面积等于四边形 的面积，
，
，
四边形 的面积 ，
四边形 的面积是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了平移的性质，解题的关键是求出四边形 的面积．
6．B
【分析】根据C点坐标可知C点在直线y=-2上，当AC⊥BC时，线段AC最短，此时可知C点坐标为(2,-
2)，则可求出AC=6，BC=5，则△ABC的面积可求．
【详解】∵C点坐标(x,-2)，
∴C点在直线y=-2上，
∴B点坐标(-3,-2)，
∵B点在直线y=-2上，
根据垂线段最短可知，当AC⊥BC时，线段AC最短，
∵A点坐标(2,4)，AC⊥BC，
∴C点横坐标与A点横坐标相等，即为2，
∴C点坐标(2,-2)，
∴AC=4-(-2)=6，BC=2-(-3)=5，
∵AC⊥BC，
∴△ABC的面积为：6×5÷2=15，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角坐标系中坐标的特点、垂线段最短等知识，根据C点坐标判断出C点在直线y=-2
上，是解答本题的关键．
7．A
【分析】根据题意得出A点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：∴
由放置得，
将 绕原点O顺时针旋转 后得到 ，相当于将线段 绕点O顺时针旋转，依次得到
发现是8次循环，所以，
∴点 的坐标是
故选：A
【点拨】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．
8．D
【分析】分两种情况，利用运动表示出OD，OE，进而表示出△AOD和△AOE的面积，建立不等式求解，
即可得出结论．
【详解】解：∵点A坐标为（6，4）， 轴于B， 轴于C，∠COB=90°，
∴四边形ABOC为矩形，
∴AC=OB=6，AB=OC=4，
由运动知， ， ，
当点D在OB上时，即 ，
则 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
当点D在BO的延长线上时，即 ，则 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，t应满足 或 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了动点问题，点的坐标，三角形的面积，理解利用了坐标系中点的坐标与图形的线
段长度的关系来求解是解答关键．
9．A
【分析】利用平移的性质得到点D的坐标，由点C、D、P在一条直线上，则三点的坐标都符合同一个关
系式，由此解答即可．
【详解】 ，A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），
设A的平移后的对应点位H，
当B与C对应时，先向下平移2个单位，再向左平移5个单位，
将点C、H代入答案中，
m+2n＝﹣5的解析式符合两个点，
故选：A．
【点拨】本题考查坐标与图形的性质，平移的性质，掌握坐标变化规律时关键．
10．C
【分析】根据题意探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意可知 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， …，如图：故第一象限中点特征为 ，第二象限中点特征为 ，第三象限中点特征为 ，第四象限中点特征
为 ；
故 在第三象限，
∵ ， ， ，
故第三象限中点
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查点坐标的规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．
11．
【分析】第一个数表示排，第二个数表示号，将位置问题转化为有序数对．
【详解】解： 排2号可用有序数对 表示，
排5号用数对可表示为 ．
【点拨】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解用有序数对表示位置是解题关键．
12．【分析】由点 经过平移到达 ，可知线段 的平移规律，然后确定点 坐标即可．
【详解】解：由点 经过平移到达 ，
可知线段 向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度得的 ，
所以，点 的对应点 坐标为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了图形的平移与坐标，弄清线段 的平移规律是解题关键．
13． 或
【分析】先求出 轴， 轴，设 ，根据点坐标平移的特点求出 ，再根据点E
到 的距离等于点F到 的距离进行求解即可．
【详解】解：∵正方形 四个顶点的坐标分别是 ， ， ， ，
∴ 轴， 轴，
设 ，
∵线段 平移之后得到线段 ，点 的对应点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E到 的距离等于点F到 的距离，
∴
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，坐标与图形，点到坐标轴的距离，正确用m、n表示
出点F的坐标是解题的关键．
14． 或
【分析】由题意知， 的横坐标差的绝对值为 ，纵坐标差的绝对值为 ，
由两点的“切比雪夫距离”可得①当 时， ，②当 时， ，分别求解即可．
【详解】解：由题意知， 的横坐标差的绝对值为 ，纵坐标差的绝对值为
，
①当 时， ，解得 或 ，
当 时， ，此时 ，故 不符合题意；
当 时， ，此时 ，故 符合题意；
②当 时， ，解得 或 ，
当 时， ，此时 ，故 符合题意；
当 时， ，此时 ，故 不符合题意；
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了点坐标，新定义运算，绝对值．理解新定义的含义是解题的关键．
15． /（0.5，0）
【分析】根据 ，yk＝1﹣yk ，求出前几个点的坐标会发现规律，这些点每6个为一个循环，根
﹣1
据规律求解即可．【详解】解：∵A（2，1），A（﹣1，0），…，Ak（xk，yk），…，（k为正整数），且满足 ，
1 2
yk＝1﹣yk ，
﹣1
∴A（ ，1），A（2，0），A（﹣1，1），A（ ，0），A（2，1），A（﹣1，0），
3 4 5 6 7 8
通过以上几个点的坐标可以发现规律，这些点每6个为一个循环，
∵2022＝6×337，
∴A 的坐标为（ ，0）．
2022
故答案为：（ ，0）．
【点拨】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
16． 5 10
【分析】根据“直角距离”的定义即可求解；由直角距离的定义得P，Q的“直角距离”为|x-x|+|y-y|
1 2 1 2
=|x-2|+|x+5+3|=|x-2|+|x+8|，由绝对值的意义求出最小值即可．
【详解】解：若P（-1，1），Q（2，3），则P，Q的“直角距离”为|-1-2|+|1-3|=3+2=5；
∵Q为直线y=x+5上任意一点，
设Q（x，x+5），
∵P（2，-3），
P，Q的“直角距离”为|x-x|+|y-y|=|x-2|+|x+5+3|=|x-2|+|x+8|，
1 2 1 2
而|x-2|+|x+8|表示数轴上的x到-2和8的距离之和，其最小值为10，
故答案为：5；10．
【点拨】本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确P（x，y）、Q（x，y
1 1 2 2）
两点之间的“直角距离”的含义．
17． /
【分析】明确三角形部分与 形状大小完全相同，即可求解；明确 的长度定了，不管怎么放，三
角形部分，形状大小完全一样， 长度一样，即可求解．
【详解】 平移之后，如图所示，三角形部分与 形状大小完全相同，
∴三角形部分的面积 ，，平移后两端点落在正方形边上，
∵ ， ，
∴ 不垂直四条边，
把正方形分成两部分为三角形部分和另一部分多边形，两部分的面积为 ，
可得 ，
的长度定了， 的面积确定了，不管怎么放，三角形部分，形状大小完全一样，则 长度一样，
令 在如图位置，且 ，
解得 ，
∴ 的坐标为 ， 的坐标为 ，
∴中点 的坐标为 ，即 的坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查四边形的综合题和移动线段问题，解题的关键是理解题意，画出图形，学会利用特殊点
解决问题．
18．（8，8）
【分析】求出过无数次移动后的为移动的距离总和即可求出结果．
【详解】解：设完成 次移动，
第一次移动的距离为4个单位长度到达点 ，以后每一次移动的距离都是前一次移动距离的一半，可以看作第一次移动的距离为8个单位长度的一半，即：移动的距离为4个单位长度，到达点 ，则余下
一半，
第二次移动的距离为第一次的移动距离一半，则余下还前一次的一半，
……
第 次移动的距离为第 次的移动距离一半，则余下还前一次的一半，即余下
即： 次移动的距离总和= ，
∴点 最终接近的那个点的坐标为（8，8），
故答案为：（8，8）．
【点拨】本题主要考查了点的平移规律，求出 次移动的距离总和的近似值是解题关键．
19． 或 ， 或
【详解】 轴，∴点 的横坐标为2．
轴，∴点 的纵坐标为1．
设点 、点 的坐标分别为 ，
． 解得 或 ．
或 ．
． 解得 或6．
或 ．
20．(1)2；
(2)6
【分析】（1）根据y轴上的点，其横坐标为零；根据到两坐标轴距离相等以及第二象限点的坐标特点列式，
结合绝对值的意义，计算即可解答；
（2）先根据平行于 轴的两点的纵坐标相等列式求得m，进而得点Q的坐标，然后根据两点坐标确定点与点M的距离即可．
【详解】（1）解：∵点 在 轴上，
∴ ，
解得： ；
∵点 位于第二象限，
∴ ，
∵点 到两坐标轴的距离相等，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：2， ．
（2）解：∵点 与点 的连线平行于 轴，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∴点 与点 之间的距离为： ．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形、点到两坐标的距离、平面直角坐标系中点的坐标特点、绝对值的意
义、两点之间的距离，熟练掌握相关的知识点是解答本题的关键．
21．(1) ，
(2)(3)
【分析】（1）根据非负性得出 ， ，进而得出坐标即可；
（2）设 ，根据三角形的面积关系式得出 ，进而根据平移的性质解答即可；
（3）设 交 于点 ，则 ，根据面积公式得出不等式解答即可．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
， ，
（2）解：连接
： ： ，
∴ ，设 ，
则 ， ，
∵ ，∴
∴
∵
即
∴
解得：
∵根据平移可得，
；
（3）解：如图所示，设 交 于点 ，
，则
∴
，
，，
，
，
故 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题是三角形的综合题，熟练掌握非负性，线段平移的性质是解题的关键．
22．(1) ， ， ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）利用非负数的性质求出 、 的值即可解决问题；
（2）设点 根据 构建方程求出 即可解决问题；
（3）连接 、 ，由 ，推出 ，由此构建方程求出 即可解决问题．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
， ；
（2） 点 在 轴上，
设点 ，
，
由（1）可知点 ， ，， ，
，
，
，
，
或者 ；
（3）点 坐标为 ，
理由如下：连接 、 ，如图所示
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题属于三角形综合题，坐标与图形，考查了三角形的面积，平行线的性质，非负数的性质等知
识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．(1)
(2)(3) 或
【分析】（1）根据 的坐标得到 ，即可得到 点坐标；
（2）分割法求 即可；
（3）设 ，根据 ，得到 ，求出 的值，进而求出
，根据（2）中的结论，求出 的值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点C坐标 ，点D坐标 ，
∴ ，
∵过点C、D分别作x轴，y轴平行线交于点B，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵点 在直线 上， 轴，
∴点 的纵坐标为： ，
∴ ；
（3）设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
由（2）知 ，当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
∴ 或 ．
【点拨】本题考查坐标与图形．熟练掌握分割法求三角形的面积，是解题的关键．
24．(1) ，
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）先求出 ， ，再利用三角形面积公式求解即可；
（2）连接 ，利用三角形面积求解即可；
（3）按照（2）的方法表示n与x之间的数量关系,再根据 求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 为边长为8的正方形，点D为 的中点，点E在 上，且
，
∴ ， ， ，
∴ ，
．
（2）解：当点 是线段 上的动点时，连接 ，
， ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
当点 是线段 上的动点时，连接 ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上， ，
（3）解：连接 ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点 是线段 上的动点时， ，即 ，
解得， ， ，
点Q的坐标为 ．
当点 是线段 上的动点时， ，
即 ，
解得， ．
，
点Q的坐标为 ．
综上，点Q的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查图形与坐标，解题关键是熟练运用面积得出点的横纵坐标的关系，列出方程解决问题．
