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培优专题 27 与解直角三角形有关的重难点题型
类型一：求非直角三角形的面积
1．（2019·山东泰安·九年级期中）.如图，已知:在△ABC中，∠A=60°,∠B=45°,AB=8.求△ABC的面积
（结果可保留根号）．
【答案】48-16
【详解】过C作CD⊥AB于D，利用直角三角形的性质求得CD的长．已知AB的长，根据三角形的面积公
式即可求得其面积．
解答：解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt ADC中，∵∠CDA=90°，
△
∴ =cot∠DAC=cot60°= ，即AD=CD× ．
在Rt BDC中，∵∠B=45°，
∴∠BC△D=45°，
∴CD=BD．
∵AB=DB+DA=CD+CD× =8，
∴CD=12-4 ．
∴S = AB×CD= ×8×（12-4 ）=48-16 ．
ABC
△
答： ABC的面积为48-16 ．
△
2．（2020·浙江嘉兴·九年级期末）如图，已知 ABC，∠A＝60°，AB＝6，AC＝4．
（1）用尺规作 ABC的外接圆O； △
（2）求 ABC△的外接圆O的半径；
（3）求△扇形BOC的面积．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）分别作出线段BC，线段AC的垂直平分线EF，MN交于点O，以O为圆心，OB为半径作
⊙O即可．
（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出BC，即可解决问题．
（3）利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）如图⊙O即为所求．（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=4，∠A=60°，
∴∠ACH=30°，
∴AH AC=2，CH AH=2 ，
∵AB=6，
∴BH=4，
∴BC 2 ，
∵∠BOC=2∠A=120°，OB=OC，OF⊥BC，
∴BF=CF ，∠COF ∠BOC=60°，
∴OC ．
（3）S OBC ．
扇形
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，解直角三角形，三角形的外接圆与外心等知识，解答本
题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．（2020·江西抚州·九年级期末）如图，在 中， ， ，夹边 的长为6，求的面积．
【答案】△ABC的面积是 .
【分析】作CD⊥AB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出CD和BD的长，再利用三角函数求出AD的
长，最后用三角形的面积公式求解即可.
【详解】如图，作CD⊥AB于点D.
∵ ∠B=45°，CD⊥AB
∴ ∠BCD=45°
∵ BC=6
∴ CD=
在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣45°=30°
∴
∴
∴
∴ △ABC的面积是 .
【点睛】本题考查了三角函数的应用以及三角形的面积，掌握特殊三角函数的值以及三角形的面积公式是
解题的关键.类型二：求线段的长或三角函数值
4．（2022·四川广元·中考真题）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处
测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得
山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．
【答案】隧道EF的长度 米．
【分析】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角
函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有 ，最后问题可求解．
【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示：
由题意得： ，
∴△EAD是等腰直角三角形，
∴AG=EG=DG，
设AG=EG=DG=x，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
答：隧道EF的长度 米．【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
5．（2022·新疆·模拟预测）根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打
开一定角度，其中一端固定在窗户边 上的点 处，另一端 在边 上滑动，如图2为某一位置从上往
下看的平面图，测得此时 是45°， 长为20cm．（参考数据： ， ，
， ，结果精确到1cm）
（1）求固定点 到窗框 的距离；
（2）若测得 ，求 的长度．
【答案】（1）14cm；（2）23cm．
【分析】（1）过 作 于 ，解直角三角形ABD即可；
（2）根据（1）中AD的长，解直角三角形ADO即可．
【详解】解：（1）过 作 于 ，
则 的长就是 到 的距离，
在 中，
∵ ，
， ，
∴ ，
即 ，
∴ cm．（2）∵ ，
在 中，
∵ ，
， ，
∴ ，
即 ，
∴ cm．
【点睛】本题考查了作高构造直角三角形，并解直角三角形，熟练掌握构造高线构造直角三角形，并灵活
求解是解题的关键．
6．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与
灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路
灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．
【答案】灯杆AB的长度为2.8米．
【分析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．设AF＝x
知EF＝AF＝x、DF＝ ＝ ，由DE＝13.3求得x＝11.4，据此知AG＝AF−GF＝1.4，再求得
∠ABG＝∠ABC−∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．
【详解】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．
由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．设AF＝x．
∵∠E＝45°，
∴EF＝AF＝x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝ ，
∴DF＝ ＝ ＝ ，
∵DE＝13.3，
∴x+ ＝13.3．
∴x＝11.4．
∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．
∴AB＝2AG＝2.8，
答：灯杆AB的长度为2.8米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握
三角函数的定义及其应用能力．
类型三：解决不规则图形的面积
7．（2021·安徽淮南·八年级期末）已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组
想要求出它的面积，经过测量知： ，请你根据以上测量结
果求出不规则四边形的面积？
【答案】36
【分析】连接 ，构造直角三角形，用勾股定理即可．
【详解】解：如图，连接 ，在 △ ，
又∵在△
∵ ，
∴
∴△ 是直角三角形， ，
∴
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握构造直角三角形是解题的关键．
8．（2020·山东烟台·九年级期中）如图，在△ABC中，sinB＝ ， ，AC＝5，则△ABC的面积
为多少？
【答案】10.5
【分析】作AD⊥BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，BC
即可求得S 的值．
ABC
△
【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在RtΔACD中， ， AC＝5，∴CD=AC cosC＝5 =4．
∴由勾股定理得：AD＝ ＝3．
∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°．
∴∠BAD＝∠B＝45°．
∴BD＝AD＝3．
∴S ＝ BC•AD＝ （3+4）×3＝10.5．
ABC
△
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构
造直角三角形．
9．（2019·江苏·海安市城南实验中学九年级期末）如图， 的角平分线 ， ， 、
所对的边记为 、 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的面积（用含 ， 的式子表示即可）；
（3）求证： ， 之和等于 ， 之积.
【答案】（1）2；（2） ；（3）详见解析.
【分析】（1）过点 作 于点 ，利用直角三角形30度角的性质可知BE长，得 ，即点
E、点D重合，中线与高线重合，可知AB=AC，即 ；
（2）表示方法有两种，可能情形1：过点 作 于点 ，过点 作 延长线于点 ，解直
角三角形可得 ， ，利用三角形面积公式可得
和 的面积相加即可；可能情形2：过点 作 于点 ，解直角三角形可得 ，直接利用三角形面积公式求解即可；
（3）由（2）中面积的两种表示方法可直接证得结论.
【详解】解：（1）过点 作 于点
∵ 平分 ，∴ .
在 中， ， .
∵ ，∴点 与点 重合，∴ .
∴ .
（2）答案不唯一.
可能情形1：过点 作 于点 ，过点 作 延长线于点
∵ 平分 ，∴ .
∵在 中， ， ，
在 中， ，
∴
.可能情形2：过点 作 于点 ，用含 的式子表示出 ，
于是 .
（3）从上面 两种面积表示方法 ， ，可得 ，化简得 ，
即 ， 之和等于 ， 之积.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用直角三角形中的特殊角与边的关系求线段长是解
题的关键.
类型四：求物体的高度
10．（2021·全国·九年级专题练习）邓州杏山地质公园位于河南省邓州市西南约50公里处，紧邻丹江口水
库南水北调渠首，面积32.5平方公里．公园地质景观及自然景观为原始状态，是一座集岩溶地貌、典型底
层剖面和地质构造为主，水体为辅、人文和生态相互辉映的综合性公园（如图1）．双休日期间，小明携
带测量工具随妈妈到杏山地质公园游览，为测量杏山主峰的高度，如图2，小明在坡角为
的斜坡C处测得峰顶A的仰角为 ，沿斜坡CD走 到平坦地面上点D处，测得峰
顶A的仰角为 ．
（1）求主峰到地面的高度AB（结果保留整数，参考数据）
（2）妈妈借助手机某项功能得到杏山主峰海拔为 ，所测水平地面的海拔为 ，请你算出小明测
量主峰高度的误差，并帮助他提一条减小误差的方法．
【答案】（1）主峰到地面高度AB约为 ；（2）误差：2m，见解析．
【分析】（1）过点C作 于点F，作 于点G，设AB为x，然后在 中运用三角函
数求得CG、DG,再用x表示出BD、AB、AF、CF,最后 根据三角函数列方程求出x即可；
（2）用杏山主峰海拔减去主峰高度和水平地面的海拔即可求出误差，减小误差的主要方法为多次测量求
平均值．
【详解】解：（1）过点C作 于点F，作 于点G，
设AB为x，在 中，BF=
在 中，
在 中,CF=BG=DG+BD= +x，AF=AB-BF=x-40
，
即 ，
解得： ．
答：主峰到地面高度AB约为 m；
（2）误差： （m）
减小误差，合理即可：如多次测量，取测量数据的平均值．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，灵活应用三角函数以及理解海拔的概念成为解答本题
的关键．
11．（2022·河南南阳·二模）宝轮寺塔——中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”．当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的
高度（ ）进行测量．因塔底部 无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面
处测得塔尖 的仰角（ ）为45°，因广场面积有限，无法再向 点的正后方移动，故操控无人机飞到
点正上方10米的 处测得塔尖 的仰角为32°， ， ， ， 四点在同一个平面内，求塔高（ ）
为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ）
【答案】塔高（ ）为26.3米
【分析】过点 作 于点 ，根据矩形的性质得到 ，设 ，则 ，求
得 ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过点 作 于点 ，
则四边形 为矩形；
∴
设 ，在 中，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
在 中，
∵ ， ， ，
，∴ ，即 ，
∴
答：塔高（ ）为26.3米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2020·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）智能手机如果安装了一款测量软件“Smart
Measure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头
部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示
， ， ，求此时CD的高．（结果保留根号）（ ， ，
）
【答案】 m
【分析】过点 作 于 ，由锐角三角函数的定义求出 、 的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图②中，过点 作 于 ，
在 中， ， ，
m， m，
m，
m，
m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
属于中考常考题型．类型五：求两地间的距离
13．（2021·全国·九年级课时练习）根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积（结果取
整数）．（提示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积）
【答案】
【分析】过B作 交于点D，过点C作CE垂直于DB延长线于点E．利用三角函数分别求出BD、
AD、BE、CE，再利用 代入计算即可．
【详解】解：如图所示，过B作 交于点D，过点C作CE垂直于DB延长线于点E．
在Rt△ABD中，∠BAD＝62°，AB＝1700km．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在Rt△BCE中，∠BCE＝54°，BC＝2720km，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴≈ ．
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确引出辅助线及掌握求某个角的三角函数值是解题的关键．
14．（2022·四川广元·九年级期末）如图，点A是一个半径为 的圆形森林公园的中心，在森林公园附
近有 两村庄，现要在 两村庄之间修一条长为 的笔直公路将两村连通，现测得 ，
．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计进行说明
【答案】公路不会穿过深林公园
【分析】过A点作AD丄BC于D，根据三角函数求出AD的长，与圆的半经作比较．若AD﹥半经，则公
路不会穿过森林，若AD<半经，则公路会穿过森林．
【详解】
过点A作AD⊥ BC于点D
∵∠ABC=45°，∠ACB=30°
∴ BD=AD ， AC=2AD
∵BC=1000m∴BD+CD=AD+ =1000
>300
∴公路不会穿过森林公园．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系解决实际问题．当圆心到直线的
距离大于半经时直线与圆相离，当圆心与直线的距离等于半经时直线与圆相切，当圆心与直线的距离小于
半经时直线与圆相交．掌握以上知识是解题的关键．
15．（2022·山东威海·中考真题）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流
宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB
＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ，sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ．
【答案】约为17.1m
【分析】过点M作MN⊥AB，利用正切函数得出AN≈ ，BN≈ ，结合图形得出
，然后求解即可．
【详解】解：过点M作MN⊥AB，
根据题意可得： ，
∴AN≈
，∴BN≈
∵AN+BN=AB=50，
∴ ，
解得：MN= (m)，
∴河流的宽度约为17.1m．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解决实际问题，理解题意，结合图形进行求解是解题关键．
类型六：航海问题
16．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测
站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，
从B测得小船在北偏东45°的方向．
(1)求点P到海岸线l的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．
求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
【答案】(1)点P到海岸线l的距离为（ -1）km；
(2)点C与点B之间的距离为 km．
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt PBD，用含x的代数式表示BD，再解
Rt PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列△出关于x的方程，解方程即可；
（△2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt ABF，得出BF=1km，再解Rt BCF，得出BC即可．
（1） △ △
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD= PD= xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+ x=2，
x= -1，
∴点P到海岸线l的距离为（ -1）km；
（2）
解：如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF= AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC= BF= km，
∴点C与点B之间的距离为 km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
17．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以 海里 的速度由西向东追赶鱼群，在 处测得小
岛 在船的北偏东 方向； 后，渔船行至 处，此时测得小岛 在船的北偏东 方向．已知以小
岛 为中心，周围 海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？【答案】没有危险，见解析
【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与10的大小．因此作CD⊥AB于D点，求CD的长．
【详解】解：作CD⊥AB于D，
根据题意， （海里）， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
所以没有危险．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，“化斜为直”是解三角形的常规思路，常需作垂线（高），构
造直角三角形．原则上不破坏特殊角（ ）．
18．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）为了维护我国海域安全，某巡逻艇从码头A出发向东航
行40海里后到达B处，再从B处沿北偏东30°方向行驶40海里到达C处，然后沿北偏西60°方向航行到D
处，发现码头A在正南方向．求此时巡逻艇与码头A的距离．(结果保留根号）【答案】
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△BCF中，解直角三角形求出CF和BF，在Rt△DEC中，解直
角三角形求出DE，即可求出DA．
【详解】解：过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CE于点F，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=40，AE=BF，
由题可知∠CDE=60°，
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，BC=40，
∴CF= BC=20，
∴
在Rt△DEC中， ，
∴
∴ （海里）．
答：巡逻艇与码头A的距离为 海里．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决问题的关键．
类型七：运动变化问题
19．（2020·广东梅州·九年级期末）如图，在 中， ，动点 从点 出发，
沿 以每秒 个单位长度的速度向终点 运动.过点 作 于点 (点 不与点 重合)，作，边 交射线 于点 .设点 的运动时间为 秒.
(1)用含 的代数式表示线段 的长.
(2)当点 与点 重合时，求 的值.
(3)设 与 重叠部分图形的面积为 ，求 与 之间的函数关系式.
【答案】(1) ；(2)t=1；(3) .
【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；
（2）利用AD＋DQ＝AC，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论.
【详解】解： 在 中 ，.
，
在 中， ，
.
在 中， ，
.
点 和点 重合， ，
；当 时， ；
当 时，如图2，
，
在 中， ，
，
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出图形是解
本题的关键．
20．（2023·河北·九年级专题练习）如图，已知 为不完整 的直径， 为弦且 ，
，点M、N为 上的点，连接 ，点N从点A开始沿优弧 运动，当点M与点B重合
时停止．已知 ，以 为直径向 内作半圆P．
(1)求 的半径；
(2)当点N与点A重合时，求半圆P与 所围成的弓形的面积；
(3)①点P的运动路径长是___________；②当半圆P与 相切时，求 与 夹角的正切值．
【答案】(1)4
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）根据 为 的直径，可得∠ABC=90°，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，可证得△OAM是等边三角形，从而得到∠OAM=60°，
AP=2，进而得到△APQ为等边三角形，再由半圆P与 所围成的弓形的面积等于 ，即可求
解；
（3）①由BC=4， ，可得点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，求出OP，即可求解；
②设半圆P与 相切于点D，连接PD，OP，分两种情况讨论：当点D在线段OC上时，当点D在线段
OA上时，即可求解．
（1）
解：∵ 为 的直径，
∴∠ABC=90°，
∵ ， ，
∴ ，
∴BC=4，
∴ 的半径为4；
（2）
解：如图，设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，
由（1）得：OA=OM=4，∵ ，
∴OA=AM=OM，
∴△OAM是等边三角形，
∴∠OAM=60°，AP=2，
∵AP=PQ，
∴△APQ为等边三角形，
∴ ，AQ=2，
∴半圆P与 所围成的弓形的面积等于 ；
（3）
解：①如图，连接OP，OM，ON，
∵BC=4， ，
∴当M与点B重合时，点N与点C重合，
∴点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，
由（1）得：OA=OM=ON=4，BC=4，
∵ ，
∴ON=AM=OM，
∴△ONM是等边三角形，
∴∠NOM=60°，
∴ ，
∴点P的运动路径长是 ；
故答案为：
②如图，设半圆P与 相切于点D，连接PD，OP，当点D在线段OC上时，PD⊥OC，
由（2）得：PD=2，由①得： ，
∴ ，
∴ ；
当点D在线段OA上时，PD⊥OA，
同理 ，
综上所述， 与 夹角的正切值为 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，求扇形面积等知识，熟
练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（2021·北京四中房山校区九年级期中）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E
为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG．
（1）依题意，补全图形；
（2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由；
（3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值．【答案】（1）见解析；（2）不可能，见解析；（3）
【分析】（1）根据题意画出图形即可．
（2）如图1中，结论：不可能．连接BD．只要证明平行时，点E与B重合，不符合题意即可．
（3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．解直角三角形求出CT，GT，根据CG≥CT﹣
GT，求出CG的最小值即可．
【详解】解：（1）图形如图1所示：
（2）如图1中，结论：不可能．
理由：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠BDC＝30°，
∵点B关于直线AE的对称点为点F，
∴AF＝AB＝AD，∠AFE＝∠ABE＝60°，
∵点G为DF中点，
∴FG＝DG，
∴AG⊥DF，
若EF AG，则EF⊥DF，
∴∠EFG＝90°，
∴∠AFG＝30°，
∵∠AFD＝∠ADF，
∴∠ADF＝30°，
∴∠ADB＝∠ADF，此时点F与B重合，不符合题意，∴不可能存在EF AG．
（3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ACD是等边三角形，
∵AT＝TD，
∴CT⊥AD，
∴CT＝CD•sin60°＝ ，
∵AG⊥DF，
∴∠AGD＝90°，
∵AT＝TD，
∴TG＝ AD＝1，
∵CG≥CT﹣GT，
∴CG≥ ﹣1，
∴CG的最小值为 ﹣1．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形的性质，解直角三角形，三角形三边关系等；
解题的关键是准确作出辅助线．
类型八：方案设计问题
22．（2022·江苏无锡·模拟预测）小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小
聪通过查阅资料发现:我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小,楼房的影子会
最长,如果这一天正午有太阳照射,那么整年都不会有问题．（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层,层高3米,南､北楼的间距为60米．小
聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你,你将建议父母选择第几层以上？说明你的理由．（该市区所在纬度
约是32.5°N,冬至日的正午太阳高度角为90°﹣32.5°﹣23.5°＝34°． sin34°≈0.6,cos34°≈0.8,tan34°≈0.7）
（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y=－60(n－15)2＋16375． 小聪爸妈期望每平方米单
价不超过13000元,请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．
【答案】（1）建议选择10层楼以上; （2）建议购买1到7层
【分析】（1）设AB与右边楼交于点F,过点B作 ,垂足为点E,得到 ,然后解直角三角形,
得出EF的长,即可求出答案．
（2）根据题意,列出不等式 ,求出n的取值范围,即可得到答案．
【详解】
（1）如图,设AB与右边楼交于点F,过点B作 ,垂足为点E,
由题意可知:BE=30m, ,
在 中, ,即 ,解得EF=21m,
则有 ,
∴建议选择10层楼以上．
（2）由题意可知 ,即 ,
解得: （不合题意,舍去）或 ,又∵ 且为整数,
∴n可以取1､2､3､4､5､6､7
故建议购买1到7层．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际运用,用不等式解决实际问题,解题的关键是根据题意构造出
直角三角形,列出相应的不等式．
23．（2021·陕西·九年级专题练习）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进
行了探究．过程如下：
问题提出：
如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限
度地使冬天温暖的阳光射入室内．
方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC的遮阳篷CD．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD的夹
角∠ADC最大（∠ADC＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最
小（∠BDC＝30.560）；窗户的高度AB＝2m．
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.560≈0.51， cos30.560≈0.86， tan30.560≈0.59，sin77.440≈0.98，
cos77.440≈0.22，tan77.440≈4.49）．
【答案】0.5m
【分析】根据正切的定义分别用CD表示出BC、AC，根据题意列式计算即可
【详解】解：在 中， ，
∵ ，
∴BC＝CD⋅tan∠BDC，
在 中， ，∵ ，
∴AC＝CD⋅tan∠ADC，
∵AC－BC＝AB，
∴ ，
即 ，
，
∴CD＝0.5，
答：遮阳篷CD长为0.5m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（2022·山西·九年级专题练习）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制
定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，
分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以
及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量
测量角度的仪器，皮尺等
工具
说明：线段GH表示旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m，
测量
测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接
示意 测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，
图
E在同一直线上，点E在GH上．
第一
测量项目 第二次 平均值
次
测量
数据 ∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°A，B之间的距离 5.4m 5.6m
…… ……
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是______m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．(参考数据：
sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方
案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么?（写出一条即可）
【答案】任务一：5.5；任务二：旗杆GH的高度为14.7m；任务三：答案不唯一，如没有太阳光，旗杆底
部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等
【分析】任务一：根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案；
任务二：设EC＝xm，解直角三角形即可得到结论；
任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）．
【详解】解：任务一：平均值=(5.4+5.6)÷2=5.5m
故答案为：5.5；
任务二：由题意可得，四边形ACDB，ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=xm，
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°= ，
∴DE= ，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°= ，
∴CE= ，
∵CD=CE－DE，
∴ － =5.5，
∴x=13.2，∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.
答：旗杆GH的高度为14.7m.
任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
类型九：新定义问题
25．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边
分别为a，b，c．
∵ ，
∴ ，
∴
(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究 ， ，
之间的关系，并写出探究过程．
(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝
60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】(1) ，证明见解析
(2) 米【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB，
AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可．
（1）（拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中， ，同理： ，
．
． ．
． ．
（2）（解答问题）解：在ΔABC中，
∴ 解得： 答：点A到点B的距离为 m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出
是解题的关键．
26．（2022·浙江舟山·九年级专题练习）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介
绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．
“ 某某”模式时，表示 ，如“ 看电视”模式时 ．已知沙发靠背AB长为
50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm， ，初始状态时 ．
(1)求“125°阅读”模式下 的度数．
(2)求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．
(3)小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A， 之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：
， ， ）
【答案】(1)
(2) cm
(3)133cm
【分析】（1）直接利用 代入求值即可;
（2）利用弧长公式计算即可;
（3）过点A作 交CB的延长线于点E，过点 作 于点F．分别求得 ， ，利用
即可求解．
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：由条件得 ，
过点A作 交CB的延长线于点E，
过点 作 于点F．∴ ，
∴
所以点A， 之间的水平距离为133cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，弧长公式的应用，在解直角三角形时构造直角三角形是解题的
关键．
27．（2021·四川凉山·一模）阅读材料：
关于三角函数有如下的公式：
，
，
，
，利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来
求值．
例： ．请根据上
述材料，结合你所学的知识选择适当的公式解答下面问题：
(1)计算： ； ；
(2)为了纪念红军长征胜利五十周年，1986年1月1日彝海结盟纪念碑在西昌市中心顺利落成，成为西昌市标志性建筑物之一（图1），某校课外兴趣活动小组学生用所学知识来测量该建筑物的高度，如图2，某同
学站在离纪念碑底A距离3米的C处，测得纪念碑顶点B的仰角为75°，该同学的眼睛D点离地面的距离
DC为1.6米，请帮助他求出纪念碑的高度．（精确到0.1米，参考数据 ， ）
【答案】(1) ， ；
(2)纪念碑的高度约为12.8米；
【分析】（1）根据题意代入公式计算，即可求出结果；
（2）解直角三角形求出BE的长，即可求解．
（1）
解： ，
，
，
，
，
，
＝
（2）
解：由题意得： 米， 米，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 米，∴ 米，
故纪念碑的高度约为12.8米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：仰角俯角问题以及实数的运算，由锐角三角函数定义求出BE的
长是解题的关键．
类型十：几何综合问题
28．（2021·全国·九年级课时练习）如图，花园边墙上有一宽为 的矩形门 ，量得门框对角线
的长为 ，现准备打掉部分墙体，使其变成以 为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的面积是多少？
（结果精确到 ）
【答案】约 ．
【分析】连接AC，BD，交于点O，作OE⊥BC，垂足为E，证明点O为以 为直径的圆的圆心，由AC＝
2，BC＝1，可求AB ，且可得到∠BAC＝30°，于是∠ACB＝60°，可以知道△OBC是等边三角形，因
此OE ．打掉墙体的面积＝S O﹣S ﹣S OBC+S OBC，计算各部分的面积就可求解．
矩形 扇形
⊙ △
【详解】解：连接AC，BD，交于点O，作OE⊥BC，垂足为E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC、BD相等且互相平分，
∴OA=OB=OC=OD，
∴点O为以 为直径的圆的圆心，
∵矩形ABCD的AC＝2m，BC＝1m，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AB ，∴AC、BD均为⊙O的直径，
∴⊙O的半径R 1（m），
∵BO＝CO＝BC＝1m，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°．
在Rt△OEB中，OB＝1（m），∠OBE＝60°， ，
∴OE＝OB•sin∠OBE （m），
应打掉的墙体面积为S＝S O﹣S ABCD﹣S OBC+S OBC
矩形 扇形
⊙ △
m2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形、矩形、三角形、圆的面积公式及勾股定理的使用，熟知相关知识
并利用割补法求不规则图形面积是解题关键．
29．（2021·湖北孝感·二模）如图，已知 ，以 为直径的 与 交于点D，与 交于点E．过
点D作 的切线正好与 垂直，垂足为点F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据切线性质以及平行线性质证明 ，根据等角对等边即可证明；（2）连接 ， ，根据圆周角定理以及已知条件，先证明 ，然后证明 为 的中
位线即可求得BE的值，根据 ，可求得CF=2，设 的半径为r，则 ，在 中，
利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ． ，
．
为 切线，
．
又 ，
，
．
，
．
（2）连接 ， ．
为直径，
，
又 ，
．
为直径，
．
又 ，
，
，
．
为 的中位线，
．
在 中， ， ，．
设 的半径为r，则 ，
．
在 中， ，
．
解得 ．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性质与判定，锐角三
角函数，勾股定理等知识点，作出合理辅助线熟知以上知识点是解题的关键．
30．（2022·浙江省东阳市外国语学校九年级期中）如图，在等腰 ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O
与AC相交于点D，与CB的延长线相交于点E，过点D作DF⊥BC△交AB的延长于点F，垂足为点M．
（1）判定直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝4，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线DF与⊙O相切于点D，理由见解析；（2） ．
【分析】（1）连接OD，BD，根据 ， ，可得 ，则有 ，得
，根据 ，可得 ，即可得直线DF与⊙O相切于点D；
（2）连接OE，过点D作DN⊥OF于点N，根据 ， ， ，可得弦 与 围
成的弓形面积＝弦 与 围成的弓形面积，则有 ，在 中，根据 ，
，可求得 ，在 中，可求得 ，据此可求得阴影的面积．
【详解】解：（1）直线DF与⊙O相切于点D，理由如下：
连接OD，BD，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线DF与⊙O相切于点D；
（2）连接OE，过点D作DN⊥OF于点N，
∵ ， ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴ ， ,
∴弦 与 围成的弓形面积＝弦 与 围成的弓形面积.
∴ ,
在 中， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形，熟悉相关性质是解
题的关键．
