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必考点 14 分式程的常见的实际应用
一、列分式方程解应用题的六个步骤：
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．验：检验，是否是分式方程的根，是否符合实际意义.
6．答：注意单位和完整地写出答句．
二、分式方程常见的几种类型：
工程问题；行程问题；商品销售问题；顺水逆水问题等.
●题型一 分式方程在工程问题中的应用
【例题1】（2021秋•红河县期末）甲做320个零件与乙做400个零件所用的时间相同，已知两人每天共
做90个零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程（ ）
320 400 320 400
A． −90= B． =
x x 90−x x
320 400 320 400
C． + =90 D． =
x x x 90−x
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做320个零件与乙做400个零件所用的时间相同，列出方程即可．
320 400
【解答】解：根据题意得： = ．
x 90−x
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．
【例题2】（2022春•深圳期中）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作 30天可完成，若
单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的 2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 90
天．
【分析】设乙工程队单独完成此项工程需要 x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天，根据甲工程队完成的任务量+乙工程队完成的任务量＝工程总量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得
出结论．
【解答】解：设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天，
30 30
依题意得： + = 1，
2x x
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，
则2x＝90．
答：甲工程队单独完成此项工程需要90天．
故答案为：90．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
【例题3】（2021春•渠县校级期末）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200件新产品进
行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂
了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
【分析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5
倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数﹣乙工
厂单独加工完成这批产品的天数＝10列出方程．
【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
1200 1200
依题意得 − = 10，
x 1.5x
解得：x＝40．
经检验：x＝40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x＝60．
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．
【点评】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解
题的关键．注意分式方程一定要验根．
【例题4】（2021秋•龙湖区期末）一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000
元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的 1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．
（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需 a天，则乙公司单独完成此项工程需 1.5a天，根据合作12
1 1 1
天完成可列出方程 + = ，解方程即可得到答案，注意要验根；
x 1.5x 12
（2）设甲公司每天的施工费为 y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，依据共需付施工费
102000元列方程求解，进而分别求得两个公司施工所需费用，比较即可得到结论．
【解答】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需a天，则乙公司单独完成此项工程需1.5a天．
1 1 1
根据题意，得 + = ，
a 1.5a 12
解得x＝20，
经检验知x＝20是方程的解且符合题意．
1.5x＝30，
答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司单独完成此项工程需30天；
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，
根据题意得12（y+y﹣1500）＝102000，解得y＝5000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100000（元）；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）＝105000（元）；
故甲公司的施工费较少．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会利用未知数，构建方程解决问题．
【解题技巧提炼】
工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．
基本关系式：
①总工作量=工作效率×工作时间；
②总工作量=各单位工作量之和．
●题型二 分式方程在行程问题中的应用
【例题5】（2022•云冈区二模）小明和小亮相约到汾河公园健身步道上参加健步走活动，他们同时同地
出发，线路长度为8公里．已知小明的速度是小亮的1.5倍，小明比小亮提前12分钟走完全程，设小
亮的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（ ）8 8 8 8
A． − =12 B． − =12
x 1.5x 1.5x x
8 8 12 8 8 12
C． − = D． − =
x 1.5x 60 1.5x x 60
【分析】设小亮的速度为xkm/h，则小明的速度为1.5xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合小明比小亮提前
12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
12
【解答】解：12分钟= h．
60
8 8 12
根据题意，得 − = ，
x 1.5x 60
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例题6】（2022•南昌模拟）北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式．北京赛区到延庆赛区
乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘
班车少40分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为 分钟．
【分析】设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，由题意：北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘
班车通行路程均约60公里，高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，列
出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，
60 60
由题意得： = ×3，
x x+40
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意；
即从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为20分钟，
故答案为：20．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例题7】（2021秋•潍坊期末）甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京
4
到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的 倍，全程运行时间比
3
列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．
【分析】设列车甲从北京到上海运行的时间为x小时，则列车乙从北京到上海运行的时间为（x+1.5）小
4
时，利用平均速度＝路程÷时间，结合列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的 倍，即可得出关
3于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设列车甲从北京到上海运行的时间为 x 小时，则列车乙从北京到上海运行的时间为
（x+1.5）小时，
1320 4 1320
依题意得： = × ，
x 3 x+1.5
解得：x＝4.5，
答：列车甲从北京到上海运行的时间为4.5小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例题8】（2021秋•乌苏市期末）某班组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国主义教育活
动，基地离学校有90千米，队伍8：00从学校出发，王老师因有事情，8：30从学校自驾小轿车以大
巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前 15分钟到达基地．求大巴车与小轿
车的平均速度各是多少？
【分析】根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时
间”列分式方程求解可得．
【解答】解：设大巴的平均速度为x公里/小时，则小车的平均速度为1.5x公里/小时，
90 90 1 1
根据题意，得： = + + ，
x 1.5x 2 4
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
所以1.5x＝1.5×4＝60．
答：大巴的平均速度为40公里/小时，则小车的平均速度为60公里/小时．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据
相等关系列出方程．
【例题9】（2022秋•栖霞市期中）喜迎党的二十大胜利召开，某校八年级全体师生前往栖霞市抗大爱国
教育基地研学，活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结
果两辆车同时到达目的地．已知学校到栖霞市抗大爱国教育基地的路程是150km，2号车的平均速度是
5
1号车平均速度的 倍，求1号车从学校到目的地所用的时间．
4
【分析】根据题意可知：1号车所用时间﹣0.5＝2号车所用时间，即可列出相应的方程，然后求解即可．
5
【解答】解：设1号车的速度为xkm/h，则2号车的速度为 xkm/h，
4150 150
−0.5=
由题意可得： x 5 ，
x
4
解得x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，
∴1号车从学校到目的地所用的时间为150÷60＝2.5（小时），
即1号车从学校到目的地所用的时间是2.5小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
【解题技巧提炼】
相遇问题：
甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离；
若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间；
追击问题：
快者走的路程－慢者路程=追击路程；
若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间；
●题型三 分式方程在销售问题中的应用
【例题10】（2021秋•紫阳县期末）元旦节前后，小丽两次到同一超市购买同一种彩带用于装饰，节前，
按标价购买，用了90元；节后由于超市打折促销，按标价的5折购买，用了60元，两次一共购买了
35卷．这种彩带每卷标价多少元？设这种彩带每卷标价x元，则可列方程为（ ）
90 60 90 60
A． + =35 B． + =35
x 0.5x x 5x
90 60 90 60
C． + =35 D． + =35
0.5x x 5x x
【分析】设这种彩带的标价是x元/卷，则节后的价格是0.5x元/卷，根据数量＝总价÷单价结合两次一共
购买了35卷，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设这种彩带的标价是x元/卷，则节后的价格是0.5x元/卷，
90 60
依题意，得： + =35．
x 0.5x
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问
题的关键．
【例题11】（2021•越城区校级开学）某服装店的老板，在广州看到一种夏季衬衫，就用8000元购进若干
件，以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，但这次
每件进价比第一次多4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完，问：该服装店这笔生意是否盈利，若盈利，请你求出盈利多少元？
【分析】第一个问题根据题目中的“第二次每件进价比第一次多 4元”可得出相等关系，设两次购进件
数，就可以表示单价，列方程．
第二个问题用两次的卖价之和﹣两次的进价之和，差是正数表示盈利．
【解答】解：设第一次购进衬衫x件．
8000 17600
根据题意得： +4= ．
x 2x
解得：x＝200．
经检验：x＝200是原方程的解．
∴服装店这笔生意盈利＝58×（200+400）﹣（17600+8000）＝9200（元）＞0
答：该服装店这笔生意是盈利，盈利9200元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关
键．
【例题12】（2021秋•岳池县期末）某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，它们的进价和售价如下表
所示．已知用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同．
甲 乙
进价/（元/袋） m m﹣2
售价/（元/袋） 20 13
（1）求m的值．
（2）现在要购进甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，且总利润不少于4800元，则该超市至少要购进甲种
绿色袋装食品多少袋？
【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列
出方程并解答；
（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元
一次不等式组解答．
2000 1600
【解答】解：（1）由题意得： = ，
m m−2
解得：m＝10．
经检验m＝10是原分式方程的解．
答：m的值为10；
（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，则购进乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，
根据题意得：（20﹣10）x+（13﹣10+2）（800﹣x）≥4800解得：x≥160．
答：该超市至少购进甲种绿色袋装食品160袋．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求
的量的等量关系列出方程．
【解题技巧提炼】
商品销售问题
进价、售价、利润、利润率、让利、打折相关概念及其关系：成本有时也叫进价，售价有时也叫标价．
利润=售价-进价=成本×利润率； 实际售价=标价×折扣； 标价=成本×（1+利润率）
利润 售价－成本
利润率= ×100% = ×100%
成本 成本
※※注意：“商品利润=售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是
按标价的十分之几或百分之几十销售．
●题型四 分式方程在顺水逆水中的应用
【例题13】（2021秋•播州区期末）已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆
水航行90千米所需的时间相同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方
程为（ ）
120 90 120 90
A． = B． =
x+3 x−3 x−3 x+3
120 90 120 90
C． = D． =
x x−3 x+3 x
【分析】根据水流的速度及轮船在静水中的速度，可得出轮船顺水航行的速度为（x+3）千米/时，轮船逆
水航行的速度为（x﹣3）千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水
航行90千米所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵水流速度为3千米/时，轮船在静水中的速度为x千米/时，
∴轮船顺水航行的速度为（x+3）千米/时，轮船逆水航行的速度为（x﹣3）千米/时．
120 90
根据题意得： = ．
x+3 x−3
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例题14】一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流返回甲地，已知水流速度是每小时3km/h，去3
时所用时间是回来所用时间的 ，求轮船在静水中的速度？
4
【分析】顺流速度＝静水速度+水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度．由此可设出未知数，列出相
应方程．
【解答】解：设轮船在静水中的速度是 km/h，甲乙两地的距离为 ，
λ 3 λ μ λ
依题意得： = × ，
μ+3 4 μ−3
解得： ＝21．
经检验μ＝21是原方程的解，
故轮船在μ静水中的速度是21km/h．
【点评】该题考查了分式方程在解决行程问题方面的应用问题；解题的关键是深刻把握题意、正确列出
方程、准确求解计算．
【解题技巧提炼】
航行问题：
顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度.
顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速.
往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程
●题型五 分式方程在耕地问题中的应用
【例题15】有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜 1500
千克和2100千克已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克若设第一块试验田每亩的产量为x
千克，则根据题意列出的方程是（ ）
1500 2100 1500 2100
A． = B． =
x−200 x x x−200
1500 2100 1500 2100
C． = D． +200=
x x+200 x x
【分析】设第一块试验田每亩的产量为x千克，根据题意列出方程解答即可．
1500 2100
【解答】解：设第一块试验田每亩的产量为x千克，可得： = ，
x x+200
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程
要检验．
【例题16】（2022•东明县三模）现有两块面积相同的小麦试验田，第一块种植原品种，第二块种植新品
种，结果分别收获小麦12000kg和14000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，求第一块试验田每公顷的产量．
【分析】设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据有两块面积相同的小麦试验田，以试验田的面积作为
等量关系可列方程求解．
【解答】解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第二块试验田每公顷产量为（x+1500）kg，
12000 14000
由题意得： = ，
x x+1500
解得：x＝9000，
检验：当x＝9000时，x（x+1500）≠0，
所以x＝9000是方程的解．
答：第一块试验田每公顷的产量为9000kg．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出以两块面积相同的试验田作为等量关系是解决问
题的关键．
【解题技巧提炼】
耕地问题的数量关系是：总产量=单位面积的常量÷总面积
◆◆◆题型一 分式方程在工程问题中的应用
1．（2021秋•西华县期末）在我市“绿水青山”行动中，某工程队承接了 50万平方米的河滩绿化任务，
为了应对雨季的到来，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前20天完成了这项任务．设原计划
每天的绿化面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
50 50 50 50
A． − =20 B． − =20
x (1+20%)x (1+20%)x x
50 50×(1+20%) 50×(1+20%) 50
C． − =20 D． − =20
x x x x
【分析】设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前 20
天完成任务，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，
50 50
根据题意可得： − = 2．
x (1+20%)x
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2．（2022春•龙华区校级期中）甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工
数量的1.5倍，两厂各加工600套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 套校服．
【分析】设乙厂每天加工x套校服，则甲厂每天加工1.5x套校服，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，
结合两厂各加工600套校服时甲厂比乙厂少用2天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出
结论．
【解答】解：设乙厂每天加工x套校服，则甲厂每天加工1.5x套校服，
600 600
依题意得： − = 2，
x 1.5x
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴乙厂每天加工100套校服．
故答案为：100．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2022秋•海淀区校级月考）列分式方程解应用题：
2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操
作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40kg，
A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多
少原料？
【分析】设B种机器人每小时搬运xkg原料，则A种机器人每小时搬运（x+40）kg原料，由题意：A型机
器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设B种机器人每小时搬运xkg原料，则A种机器人每小时搬运（x+40）kg原料，
750 500
根据题意得： = ，
x+40 x
解得：x＝80，
经检验，x＝80为原方程的解，且符合题意，
则x+30＝110，
答：A种机器人每小时搬运110kg原料，B种机器人每小时搬运80kg原料．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．（2022•绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排
甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队
改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需
改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作多少天？
【分析】设乙工程队每天能改造道路的长度为 x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 1.5x米．由题
意：甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．列出分式方程，得出x＝60，则1.5x＝
2400−90m
90，再设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 天，然后由题意：若甲队工作一天需付费用7
60
万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，列出
一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．
720 720
根据题意得： − = 4，
x 1.5x
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝90．
即乙工程队每天能改造道路的长度为60米，甲工程队每天能改造道路的长度为90米．
2400−90m
设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 天，
60
2400−90m
根据题意得：7m+ ×5≤195．
60
解得：m≥10．
答：至少安排甲队工作10天，
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
◆◆◆题型二 分式方程在行程问题中的应用
5．（2022秋•莱阳市期中）甲、乙两个火车站相距720km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，
从甲站到乙站的时间缩短1.2h，则火车原来的速度为 ．
【分析】设火车原来的速度为xkm/h，则提速后的速度为1.2xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合提速后
从甲站到乙站的时间缩短1.2h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设火车原来的速度为xkm/h，则提速后的速度为1.2xkm/h，720 720
根据题意得： − = 1.2，
x 1.2x
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
∴火车原来的速度为100km/h．
故答案为：100km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2021秋•玉溪期末）连接云南昆明与老挝首都万象的中老铁路于2021年12月3日正式开通，这是国
家“一带一路”倡议提出后，首条以中方为主投资建设、全线采用中国技术标准、使用中国设备并与
中国铁路网直接联通的国际铁路．在这条铁路线上，甲站与乙站相距 240千米，实际提速后高铁的速
度是原计划的2倍，时间比原计划减少1.5小时，求实际提速后高铁的速度．
【分析】设原计划的速度为x千米/小时，则实际提速后高铁的速度为2x千米/小时，由题意：实际提速后
时间比原计划减少1.5小时，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划的速度为x千米/小时，则实际提速后高铁的速度为2x千米/小时，
240 240 3
由题意得： − = ，
x 2x 2
解得：x＝80，
经检验：x＝80是原方程的解，且符合题意，
则2x＝2×80＝160，
答：实际提速后高铁的速度为160千米/小时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2021秋•岱岳区期末）岱岳区革命史展览馆位于泰安市岱岳区祝阳镇陈良村西南岱岳烈士陵园内，
该馆记录了1937年7月至1945年8月中国共产党领导泰安县人民英勇抗战的众多历史事件和革命先
驱，该馆现已成为泰安市青少年爱国主义教育基地．泮河中学八年级（1）班组织同学乘大巴车前往该
基地开展“建党百年，学习党史”活动，基地离学校有60公里，队伍早上7：00从学校出发，张老师
负责队伍后勤保障，因整理扩音设备及应急药品，比队伍晚出发 15分钟，7：15从学校自驾小车以大
巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴后按原来速度继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴车与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【分析】（1）设大巴车的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，根据“大巴车
行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”，列出分式方程，解
方程即可；（2）设张老师追上大巴的地点与学校的距离为m公里，根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车
晚出发时间＝大巴车从学校到相遇点所用时间”，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设大巴车的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
60 15 60 15
由题意得： − = + ，
x 60 1.5x 60
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×40＝60，
答：大巴车的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
（2）设张老师追上大巴的地点与学校的距离为m公里，
m m 15
由题意得： − = ，
40 60 60
解得：m＝30，
则张老师追上大巴的地点到基地的路程为：60﹣m＝60﹣30＝30（公里），
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
◆◆◆题型三 分式方程在销售问题中的应用
8．（2022春•封丘县期中）受疫情的影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用4000元购进一批“84”
消毒液后，供不应求，商场又用6750元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍，
但每瓶单价贵了1元；则该商场第一批购进“84”消毒液每瓶的单价为 元
【分析】设该商场第一批购进“84”消毒液每瓶单价为x元，由题意：某商场用4000元购进一批“84”
消毒液后，商场又用6750元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍，但每瓶单价贵
了1元；列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设该商场第一批购进“84”消毒液每瓶单价为x元，
4000 6750
依题意得： ×1.5= ，
x x+1
解得，x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
即该商场第一批购进“84”消毒液每瓶的单价为8元，
故答案为：8．
【点评】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（2022秋•同心县校级期末）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了
6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是
第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数量×3．
（2）盈利＝总售价﹣总进价．
【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x+4）元
2000 6300
则： ×3= ．
x x+4
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
2000 6300
（2） ×（120﹣80）+ ×（120﹣84）＝3700（元）．
80 84
答：商店共盈利3700元．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本
题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．（2021秋•弥勒市期末）鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典
点心代表．某超市购进A、B两种口味的鲜花饼，其中A种口味鲜花饼每盒的价格比B种口味的鲜花饼
贵10元，用800元购买A种口味鲜花饼的数量与用600元购买B种口味鲜花饼的数量相同．
（1）求购买的A、B两种口味的鲜花饼每盒分别是多少元？
（2）若计划用不超过5000元的资金再次购进A、B两种口味的鲜花饼共计150盒，已知A、B两种口味
的鲜花饼成本不变，求A种口味的鲜花饼最多能购进多少盒？
【分析】（1）设B种口味的鲜花饼的价格为每盒x元，则A种口味的鲜花饼的价格为每盒（x+10）元，
由题意：用800元购买A种口味鲜花饼的数量与用600元购买B种口味鲜花饼的数量相同．列出分式方
程，解方程即可；
（2）设A种口味的鲜花饼购进m盒，则B种口味的鲜花饼购进（150﹣m）盒，由题意：计划用不超过
5000元的资金再次购进A、B两种口味的鲜花饼共计150盒，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设B种口味的鲜花饼的价格为每盒x元，则A种口味的鲜花饼的价格为每盒（x+10）
元，800 600
根据题意，得： = ，
x+10 x
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40，
答：A种口味的鲜花饼的价格为每盒40元，B种口味的鲜花饼的价格为每盒30元；
（2）设A种口味的鲜花饼购进m盒，则B种口味的鲜花饼购进（150﹣m）盒，
根据题意，得：40m+30（150﹣m）≤5000，
解得：m≤50，
答：A种口味的鲜花饼最多能购进50盒．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
◆◆◆题型四 分式方程在顺水逆水中的应用
11．（2022秋•云溪区期中）A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆
流返回A地．共用去9小时，已知水流速度为4千米/小时，若设该轮船在水中的速度为x千米/小时，
则可列方程（ ）
48 48 48 48
A． + =9 B． + =9
x+4 x−4 4+x 4−x
48 96 96
C． +4＝9 D． + =9
x 4+x 4−x
【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间＝9小时．
48 48
【解答】解：顺流时间为： ；逆流时间为： ．
x+4 x−4
48 48
所列方程为： + = 9．
x+4 x−4
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
12．（2021秋•广饶县期末）一艘轮船顺水航行60km所用的时间与逆水航行40km所用时间相同，若水流
速度为3km/h，则轮船在静水中的速度为 km/h．
【分析】顺水速度＝水流速度+静水速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度．根据“轮船顺水航行 60千
米所需要的时间和逆水航行40千米所用的时间相同”可列出方程．
【解答】解：设船在静水中的速度是x千米/时．60 40
由题意得： = ．
x+3 x−3
解得：x＝15．
经检验：x＝15是原方程的解．
即船在静水中的速度是15千米/时．
故答案为：15．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关
键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法．
◆◆◆题型五 分式方程在耕地问题中的应用
13．（2022•黔西南州）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作
水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水
田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（ ）
36 30 36 30
A． =2× B． =2×
x−4 x x+4 x
36 30 36 30
C． =2× D． =2×
x x−4 x x+4
【分析】根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半列出方程即可．
36 30
【解答】解：根据题意得： =2× ．
x x+4
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出方程．
14．“退耕还林还草”是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积共69000公顷，退耕
还林与退耕还草的面积比为5：3，设退耕还林的面积为x公顷，下列所列方程哪一个是不正确的？（
）
x 5 5
A． = B．69000﹣x= x
69000−x 3 3
69000−x 3 69000 5+3
C． = D． =
x 5 x 5
【分析】关键描述语为：“退耕还林与退耕还草的面积比为5：3”；本题的等量关系为：退耕还林的面
积：退耕还草的面积＝5：3，那么退耕总面积：退耕还林的面积＝8：5，看所给选项中哪一个与得到等
式不符即可．
【解答】解：退耕还林的面积为x公顷，则退耕还草的面积为（69000﹣x）公顷，
x 5
故 = ，A正确；
69000−x 35 3
故69000﹣x＝x÷ = x，B错误；
3 5
69000−x 3
故 = ，C正确；
x 5
根据第二个等量关系可得D正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据退耕还林与退耕还草的面积比为 5：3列出等式，合理变形
是解决本题的关键．
1．（2022•丘北县一模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，平均每人
每天比原来多投递5件，公司投递快件的能力由每天320件提高到480件，若快递公司的快递员人数
不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件 x件，根据题意可列方程
为（ ）
320 480 320 480
A． = B． =
x x−5 x x+5
480 320 320 480
C． = −5 D． +5=
x x x x
【分析】设原来平均每人每天投递快件 x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）
件，根据该快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每天投递快件 x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件
（x+8）件，
320 420
依题意得： = ．
x x+5
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022•牙克石市模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时
间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（
）
400 450 450 400
A． − =1 B． − =1
x x−50 x−50 x400 450 450 400
C． − =50 D． − =5
x x+1 x+1 x
【分析】设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，根据“现在生产400
台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，
450 400
根据题意，得 − = 1．
x−50 x
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生
产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键．
3．（2021秋•广阳区校级期末）寒假期间，几名同学包租一辆车外出旅游，车的租金为200元，出发时
又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了5元车费，设原来计划租车的人数为x人，则所列
方程为（ ）
200 200 200 200
A． − =5 B． − =5
x x+2 x+2 x
200 200 200 200
C． − =5 D． − =5
x x−2 x−2 x
200 200
【分析】原来计划租车的每个同学分担的车费为： 元，出发时每名同学分担的车费为： 元，根
x x+2
据每个同学比原来少分摊了5元车费即可得到等量关系．
200 200
【解答】解：根据题意得： − = 5．
x x+2
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，
找到合适的等量关系．
4．（2021春•南岸区期末）我国西北地区某村的耕地面积为70hm2，森林面积20hm2，为了治理该地区的
土地沙化问题，该村决定退耕还林，计划将部分耕地改为种植树木，使得耕地面积与森林面积之比为
4：7．设有xhm2的耕地改为种植树木，那么x满足的方程为（ ）
70−x 4 70−x 4
A． = B． =
20+x 7 20 7
20+x 4 20 4
C． = D． =
70−x 7 70−x 7
【分析】设有xhm2的耕地改为种植数目，那么现在树木的种植面积为（x+20）hm2，耕地面积为（70﹣
x）hm2，等量关系为：耕地面积与森林面积之比为4：7，依此列出方程即可．70−x 4
【解答】解：设有xhm2的耕地改为种植树木，根据题意得 = ，
20+x 7
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
5．（2022春•枣庄期末）枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有 48
件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高 5%，则甲厂产品的合格率为
．
【分析】设甲厂产品的合格率为x%，则乙厂产品的合格率为（x﹣5）%，由题意：枣庄市质检部门抽取
甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，列出分式方
程，解方程即可．
【解答】解：设甲厂产品的合格率为x%，则乙厂产品的合格率为（x﹣5）%，
48 45
根据题意得： = ，
x% (x−5)%
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
即甲厂产品的合格率为80%，
故答案为：80%．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2012春•渝中区校级月考）某自来水公司水费计算如下：若每户每月用水不超过 5m3，则每立方米
收费1.5元，若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费．1月份，张家用水量
2
是李家用水量的 ，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，则超出5m3的部分每立方米收
3
费（ ）元．
A．1 B．2 C．2.5 D．2.9
【分析】设超出5m3的部分每立方米收费x元，从交水费判断用水量都超过 5m3，则张家当月水量为
17.5−1.5×5 27.5−1.5×5 2
+ 5，李家当月水量为 + 5，根据张家用水量是李家用水量的 ，列方程求解．
x x 3
【解答】解：设超出5m3的部分每立方米收费x元，依题意得，
17.5−1.5×5 2 27.5−1.5×5
+5= （ +5）
x 3 x
解得x＝2，经检验x＝2为方程的解．即超出5m3的部分每立方米收费2元．
故选：B．
【点评】本题考查了列分式方程，解应用题的一般步骤，关键是要表示两家的用水量，根据题意建立等
量关系，难度一般．
7．（2021秋•延边州期末）张明3h清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作
1.2h清点完另一半图书，如果李强单独清点这批图书需要几小时？
【分析】先设李强单独清点这批图书需要的时间是 x小时，根据“张明3小时清点完一批图书的一半”和
“两人合作1.2小时清点完另一半图书”列出方程，求出x的值，再进行检验，即可得出答案．
【解答】解：设李强单独清点这批图书需要x小时，
1
1
根据题意，得1.2（2 1）= ，
+ 2
3 x
解得：x＝4，
经检验x＝4是原方程的根．
答：李强单独清点这批图书需要4小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的
关键．此题涉及的公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
8．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班
的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
【分析】设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），根据“甲、乙两班的学生数相同”列出方
程并解答．
【解答】解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），
48 45
依题意得： = ，
x+6% x
解这个方程，得x＝0.9，
经检验，x＝0.9是所列方程的根，并符合题意．
答：乙班的达标率为90%．
【点评】本题考查了分式方程的应用．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要
学会分析题意，提高理解能力．
9．（2022•皇姑区一模）在防疫新型冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用
3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
【分析】设第一次购进医用口罩x个，则第二次购进医用口罩（x﹣200）个，根据单价＝总价÷数量，结
合第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出
结论．
【解答】解：设第一次购进医用口罩x个，则第二次购进医用口罩（x﹣200）个，
3000 3000
依题意得： =1.25× ，
x−200 x
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣200＝1000﹣200＝800（个）．
答：第一次购进医用口罩1000个，第二次购进医用口罩800个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（2021秋•双辽市期末）学校田径队的小勇同学参加了两次有氧耐力训练，每一次训练内容都是在
400米环形跑道上慢跑10圈．若第二次慢跑速度比第一次慢跑速度提高了20%，则第二次比第一次提
前5分钟跑完．
（1）小勇同学一次有氧耐力训练慢跑多少米？
（2）小勇同学两次慢跑的速度各是多少？
【分析】（1）根据“在400米环形跑道上慢跑10圈”可得答案；
（2）设第一次慢跑速度为x米/分，则第二次慢跑速度为1.2x米/分，利用关键语句“第二次比第一次提
前5分钟跑完”列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）400×10＝4000（米），
答：小勇同学一次有氧耐力训练慢跑4000米；
（2）设第一次慢跑速度为x米/分，则第二次慢跑速度为1.2x米/分，由题意得：
4000 4000
− =5，
x 1.2x
400
解得：x= ，
3
400
经检验：x= 是原分式方程的解，且符合题意，
3
400
1.2× =160（米/分），
3
400
答：第一次慢跑速度为 米/分，则第二次慢跑速度为160米/分．
3【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知
数，列出方程．
11．（2022秋•九龙坡区校级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有
带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平
均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．
（1）求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？
（2）小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路
5
去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行，已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的 ，
7
5
下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的 ，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多
4
少米？
1
【分析】（1）设小伟在平路上跑步的平均速度是x米/分钟，则小伟在平路上步行的平均速度是 x米/分
4
钟，利用时间＝路程÷速度，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
2 1
（2）设这段坡路的总路程是y米，则上坡路程是 y米，下坡路程是 y米，利用时间＝路程÷速度，即可
3 3
得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
1
【解答】解：（1）设小伟在平路上跑步的平均速度是x米/分钟，则小伟在平路上步行的平均速度是 x
4
米/分钟，
2800 2800
+ =
依题意得： 1 x 50，
x
4
解得：x＝280，
经检验，x＝280是原方程的解，且符合题意．
答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟．
2 1
（2）设这段坡路的总路程是y米，则上坡路程是 y米，下坡路程是 y米，
3 3
2 1
y y
3 3
依题意得： + = 9，
5 5
×280 ×280
7 4
解得：y＝2100．答：这段坡路的总路程是2100米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
12．（2021秋•宁远县校级期中）甲、乙两个小服装厂可加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量比
乙厂多25套，甲厂加工900套防护服与乙厂加工600套防护服需要的天数相同．
（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？
（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是1500元和1200元，疫情期间，某医院紧急需要
1000套这种防护服，甲、乙两厂决定合作，请问需要多少天可以完成任务，医院共需要支付多少元？
【分析】（1）设甲厂每天加工x套防护服，则乙厂每天加工（x﹣25）套防护服，由题意：甲厂加工900
套防护服与乙厂加工600套防护服需要的天数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）需要m天可以完成任务，由题意：某医院紧急需要1000套这种防护服，甲、乙两厂决定合作，列
出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设甲厂每天加工x套防护服，则乙厂每天加工（x﹣25）套防护服，
900 600
根据题意，得： = ，
x x−25
解得：x＝75，
经检验：x＝75是所列方程的解，且符合题意．
则x﹣25＝75﹣25＝50．
答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；
（2）需要m天可以完成任务，
由题意得：75m+50m＝1000，
解得：m＝8，
∴8×（1500+1200）＝21600（元），
答：需要8天可以完成任务，医院共需要支付21600元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
13．（2021秋•黔西南州期末）小李从家出发去相距4.5km的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一
天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的
速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李上班步行的速度和骑自行车的速度；（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5km后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不
计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？
【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从A
地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了 5分钟．第
二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，
4.5 5 4.5 10
由题意得： − = + ，
x 60 1.5x 60
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
则1.5x＝9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，
1.5 3 2
由题意得： + ≤ ，
9 m 3
解得：m≥6，
答：跑步的速度至少为6千米每小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分
式方程和一元一次不等式．
14．（2022秋•岳阳楼区月考）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，
经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天．若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队
合做，36天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天
内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队全
程共同完成省钱？说明理由．
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．若由
乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，结合（1）的结果列出一元一次方程，解方程，即可解决
问题．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天．1 1 1
由题意得： ×20+（ + ）×36＝1，
x 120 x
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
（2）由甲、乙两队全程共同完成更省钱．理由如下：
由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）；
甲队独做工期超过90天，不符合要求；
设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，
1 1
由题意得：（ + ）y＝1，
120 80
解得：y＝48，
需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元），
∵192＜200，
∴由甲、乙两队全程共同完成更省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
15．（2021秋•岱岳区期末）泰安市在2021年12月迎接全国文明城市复检工作中，全市人民积极参与，
身穿红马甲的创城志愿者分布在城乡的各个角落，为文明城市创建贡献自己的一份力量．幸福社区为
了进一步美化小区环境，要在小区内建造一座假山，需要租用车辆运送泥土．租用甲、乙两车运送，
两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完用土量，乙车所运趟数是甲车
的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完用土量各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【分析】（1）设甲车单独运完用土量需运x趟，则乙车单独运完用土量需运2x趟，根据“租用甲、乙两
车运送，两车各运12趟可完成”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲车单独运完用
土量所需趟数，再将其代入2x中，可求出乙车单独运完用土量所需趟数；
（2）设甲车每趟运费为y元，则乙车每趟运费为（y﹣200）元，根据两车各运12趟需支付运费4800
元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，将其代入18y及36（y﹣200）中，可分别求出
单独租用甲、乙两车所需运费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲车单独运完用土量需运x趟，则乙车单独运完用土量需运2x趟，12 12
根据题意得： + = 1，
x 2x
解得：x＝18，
经检验，x＝18是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×18＝36．
答：甲车单独运完用土量需运18趟，乙车单独运完用土量需运36趟．
（2）设甲车每趟运费为y元，则乙车每趟运费为（y﹣200）元，
根据题意得：12y+12（y﹣200）＝4800，
解得：y＝300，
∴18y＝18×300＝5400，36（y﹣200）＝36×（300﹣200）＝3600．
∵5400＞3600，
∴若单独租用一台车，租用乙车合算．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
16．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标
2
书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ；若由甲队先做10
3
天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500
万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万
元？请给出你的判断并说明理由．
【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效
率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
2
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要 x天．根据题意，
3
10 1 1
+30( + )=1
得 2 2 x ．
x x
3 3
解得 x＝90．
经检验，x＝90是原方程的根．2 2
∴ x= ×90＝60．
3 3
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
1 1
则有 y( + )=1．
60 90
解得 y＝36．
需要施工费用：36×（8.4+5.6）＝504（万元）．
∵504＞500．
∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
【点评】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强．
17．（2022•绥中县二模）某传媒公司计划购买A，B两种型号的演出服．已知A型演出服比B型演出服
每套多30元，且用1000元购买A型演出服的套数与用800元购买B型演出服的套数相同．
（1）求A，B两种型号的演出服每套分别是多少元？
（2）该公司计划采购A，B两种型号的演出服共20套，要求所用费用不得少于2800元，则至少购进A型
演出服多少套？
【分析】（1）设B型演出服每套x元，则A型演出服每套（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用
1000元购买A型演出服的套数与用800元购买B型演出服的套数相同，即可得出关于 x的分式方程，解
之经检验后，可得出B型演出服每套的价格，再将其代入（x+30）中，即可求出A型演出服每套的价
格；
（2）设购进A型演出服m套，则购进B型演出服（20﹣m）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不得少
于2800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，
即可得出结论．
【解答】解：（1）设B型演出服每套x元，则A型演出服每套（x+30）元，
1000 800
根据题意得： = ，
x+30 x
解得：x＝120，
经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝120+30＝150．
答：A型演出服每套150元，B型演出服每套120元．
（2）设购进A型演出服m套，则购进B型演出服（20﹣m）套，
根据题意得：150m+120（20﹣m）≥2800，40
解得：m≥ ，
3
又∵m是正整数，
∴m的最小值为14．
答：至少购进A型演出服14套．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．（2021秋•昭阳区期末）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少10元，
用600元购进A种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍．请解答下列问题：
（1）A、B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于19个，购进A、B两
种书包的总费用不超过4350元，若设该商场购进A种书包n个（n≥0，且n为整数）．请你求出该商场
有哪几种进货方案．
【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，每个B种书包的进价为（x﹣10）元，根据题意，即可得出
关于x的分式方程，解之即可得出A，B两种书包每个的进价；
（2）设购进A种书包m个，则购进B种书包（2m+5）个，根据“购进A种书包不少于19个，且购进
A，B两种书包的总费用不超过3450元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取
值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设每个A种书包的进价为x元，每个B种书包的进价为（x﹣10）元，
600 350
依题意得： = ×2，
x x−10
解得：x＝60．
经检验x＝60是原方程的解，
所以x﹣10＝50，
答：每个A种书包的进价为60元，每个B种书包的进价为50元．
（2）设购进A种书包m个，则购进B种书包（2m+5）个，
{ m≥19
依题意得： ，
60m+50(2m+5)≤4350
解得：19≤m≤20．
又∵m为正整数，
∴m可以取19，20，
∴该商场共有3种进货方案，
方案1：购进A种书包19个，B种书包43个；方案2：购进A种书包20个，B种书包45个．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程
组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
19．（2022秋•沙坪坝区校级期中）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作10天可完
成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了 m天，每天需付施工费3万元，乙
工程队做另一部分工程用了n天，每天需付施工费1.4万元，若m，n都是正整数，乙工程队做的时间不
到17天，求出此项工程总施工费用的最小值．
1
【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为 ，乙工程队的工作效
x
1 1
率为（ − ），由题意：甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成．即可得出
10 x
关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
m n 1
（2）由题意得 + =1，则m＝15− n，设此项工程总施工费用为w，则w＝3m+1.4n﹣0.1n+45，再
15 30 2
由一次函数的性质即可得出结论．
1
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为 ，乙工程队的工
x
1 1
作效率为（ − ），
10 x
1 1 1
依题意得：5× +20（ − ）＝1，
x 10 x
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
1 1 1 1
∴1÷（ − ）＝1÷（ − ）＝30．
10 x 10 15
答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
m n
（2）由题意得： + =1，
15 30
整理得：2m+n＝30，
1
∴m＝15− n，
2
设此项工程总施工费用为w，1
则w＝3m+1.4n＝3×（15− n）+1.4n＝﹣0.1n+45，
2
∵﹣0.1＜0，
∴w随n的增大而减小，当n最大时，w最小，
∵n＜17，m，n都是正整数，
∴n的最大值为16，
∴当n＝16时，w的最小值＝﹣0.1×16+45＝43.4，
答：此项工程总施工费用的最小值为43.4万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
